Kelompok 4 Present

1. Kelompok 4Present Akbar Darmawan (11.6524)Ezra Priska Donny Anggoro (11.6646) Fradina Sri Oktaviani ( 11.6670)Jacob Da Costa (11.6720)KarmilaPutri (11.6738)SulastinSavitri (11.6914)Wa Ode Hasmayuli (11.6948) Model BerpangkatTidakPenuh (model anova): pengujianhipotesisuntuk model klasifikasi 2 arahtanpadandenganinteraksi

2. DUA FAKTOR DESAIN TANPA INTERAKSI: EFEK FIX • contoh, seorangahlikimiamungkininginmempelajaripengaruhbaiktekanandantemperaturpadaviskositasperekat, seoranginsinyurakanmempelajaripengaruhkecepatanmesindanlainya. • Untukmemahamiperbedaanantaradesainduafaktor, perluuntukmenjelaskaninteraksi. Contohharusmenggambarkanide. Misalkandalammempelajaridansuhudipelajaripadaduatingkat. Misalkanbahwarespon rata-rata teoritisuntukkombinasitekanansuhudelapanadalah:

3. ArtisketsainiditunjukkanpadaGambar 6.1. Perhatikanperilakutidakkonsistendariresponterhadapperubahantekananuntukduatemperaturditunjukkanoleh crossover(penyeberangan) dalamsketsa. Padatekanan 1, 3, dan 4 rata-rata responuntuksuhu 2 melebihidarisuhu 1, namun, sebaliknyaadalahbenarpadatekanan 2. Inkonsistensisepertiinimenunjukkanadanya "interaksi" antaratekanandantemperatur. Jikatidakadainteraksiada, makaberubahdarisuhu 1 sampai 2 suhumemilikiefek yang samapersispadaviskositaspadasetiaptingkattekanan. Misalnya, jikaviskositasuntuksuhu 2 melebihidarisuhu 1 olehempat unit padatekanan 1. Makaakanmelakukannyapadasetiaptekanan lain juga. Hal inimenghasilkansebuahsketsadimanasegmengarisuntukduasuhuparalel.

4. Crossover barismenunjukkaninteraksiantaratekanandan temperature Gambar 6.1

5. Gambar 6.2 mengilustrasikanide. • (a) Sebuahdesain yang seimbangpadaduafaktordenganinteraksi yang dibuktikandenganefek Crossover, (b) Sebuahdesain yang seimbangduafaktordenganinteraksi yang dibuktikandengangaris nonparallel tanpa Crossover, (c) Sebuahdesain yang seimbangduafaktortanpainteraksisebagaimanadibuktikanolehsegmengarisparalel

6. Gambar 6.2

8. MODEL TAMBAHAN • Jikaadainteraksi, model inidikatakanaditif. Secaramatematis, haliniiniberartibahwarespondapatdinyatakansebagaijumlahdariefekkarenafaktor I, efekkarenafaktor II, danefekakibatpengaruhacak. Di sinidiasumsikanbahwa factor I dipelajariditingkat a, faktor II padatingkat b, dantepatsaturespondiukurpadamasing-masingkombinasiperlakuan ab. Model untukdesainduafaktortanpainteraksi

9. Berikutmenunjukkanefekkarenafaktabahwarespondiukurpadatingkatidarifaktor I; menunjukkanefekkarenafaktabahwarespondiukurpadatingkat j faktor II; menunjukkanefekkarena random pengaruhpadarespon. Dalambentukdiperluas, model inimenjadi

11. Sisteminidinyatakandalambentukmatriksseperti: Dimana

12. Dan

13. TESTABLE HYPOTHESES

14. Matriks ab x ( a+b+1 )

15. Asumsi • Nampak bahwa dari kolom ke-2 sampai a+1 adalah independen linear dan terjumlah pada kolom 1. Serta dari kolom a+2 sampai a+b+1 adalah independen linear yang terjumlah pada kolom 1. Oleh karena itu rank matriks X (a+b+1)-2=a+b-1 yang berarti “lessthanfullrank” • TestableHypotheses mengasumsikan bahwa : H0 : Cβ = 0 dimanaC adalah rank m a+b-1

16. Hipotesis Dua hipotesis yang penting yaitu : • Ho : τ1 = τ2 = ... = τa : Tidak ada perbedaan pada efek yang terkait pada level dari faktor I • Ho : β1 = β2 = ... = βb : Tidak ada perbedaan pada efek yang terkait pada level dari faktor II Untuk melihat bahwa testable, pertama perlu melihat bahwa kontras dari τ dan β dapat diestimasi. Untuk itu, kita gunakan matriks X’X.

17. Matriks X’X • Tampak bahwa matriks ini mempunyai dua ketergantungan antar kolom terhadap X. • Oleh karena itu suatu matriks (a+b+1) x (a+b+1) memiliki ranka+b-1 • Matriks tersebut digunakan untuk menentukan perkiraan kontras dari τ.

18. Theorema 6.4.1 • Pada desain dua faktor yang tidak berinteraksi, setiap kontras dari τ dapat diestimasi (estimable) • Bukti : ω = a1τ1 + a2τ2 + ... + anτn = [ 0 a1 a2 ... an 0 0 ... 0 ]β = a’β • Menyatakan kontras. Berdasarkan teorema 5.4.1, a’β dapat diestimasi (estimable) jika terdapat solusi pada sistem (X’X)z = a.

19. Berdasarkan Theorema 5.4.1 • Sistem tersebut memiliki solusi jika r [ X’X | a ] = r ( X’X ) dengan

20. ...lanjutan • Karena ω adalah kontras, . Oleh karena itu baris ke-2 sampai ke a+1 akan terjumlah pada baris ke-1, • begitu juga baris ke- a+2 hingga a+b+1. Sehingga rank dari [X’X|a] adalah a+b+1-2=a+b-1= r[X’X|a] maka terbukti.

21. Kontras dari • Argumentasi yang sama akan menunjukkan bahwa setiap kontras β dapat diestimasi (estimable). • Untuk menunjukkan bahwa Ho testable, ingat bahwa hal itu setara dengan τ1– τ2 = 0 τ1+ τ2 - 2τ3 = 0 τ1 + τ2 + τ3 - 3τ4 = 0 τ1+ τ2 + τ3 + + τ a-1 – (a-1) τ a = 0 • Ini adalah bentuk kontras ortogonal yang independen linear dan juga dapat diestimasi. Berdasarkan definisi 6.1.1, Ho merupakan testable. Dalam bentuk matriks kita menguji Ho : Cβ = 0

22. ... lanjutan dimana C adalah matriks (a-1) x ( a+b+1 ) sebagai berikut :

23. Sum of Squares Regresi • Seperti pada satu faktor, testablehypotheses dapat dicari dengan berbagai metode, misalnya F ratio, reparameterisasi menjadi fullrank, atau membagi ke dalam subvektor β. • Secara khusus, Sum of Squares Regresi untuk model penuh (full model) ditemukan maka Sum of Squares Regresi untuk model yang mengasumsikan τ1 + τ2= ... = τa,ditemukan. • Perbedaan antara keduanya adalah SSreg (hypothesis) digunakan untuk menguji Ho.

24. Sum of SquaresRegresi (2) • Ingat bahwa Sum of SquaresRegresi untuk Full model adalah sebagai berikut : SSreg(full) = y’X (X’X)cX’y = b’X’y • Karena Sum of SquaresRegresinya invarian terhadap berbagai solusi persamaan normal, maka solusi dari sistem ( X’X )b =X’y • dapat digunakan untuk menghitung SSfull. Secara teori, satu solusi dapat ditemukan dengan menghitung ( X’X )cX’y • dimana ( X’X )c adalah conditionalinverse dari X’X.

25. Kendala ( Constraints ) • Karena tidak mudah menemukan nilai eksplisit ( X’X )c untuk desain ini, maka akan digunakan pendekatan lain. “kendala” akan diterapkan untuk memecahkan sistem persamaan normal. • Kendala adalah batasan yang ditempatkan pada elemen dari solusi vektor "b" yang dikenakan semata-mata untuk tujuan mempercepat solusi dari persamaan normal. • Secara umum, jumlah kendala yang diperlukan adalah p - rdimanap merupakan jumlah kolom dari X, dan r adalah rank-nya. Pada kasus ini, jumlah kendala yang diperlukan adalah ( a+b+1 ) – ( a+b-1 ) = 2 • Seperti yang anda lihat, kendalanya

26. Untuk mengetahui kenapa kendala diperlukan, ingat bahwa X’y adalah sebagai berikut : y.. menyatakan jumlah respons, yi. menyatakan jumlah respon pada level ke-i dan faktor I, dan y.jmenyatakan jumlah respons pada level ke-j dari faktor II.

27. menyelesaikan sistem ( X’X )b = X’y • Sisi kiri dari persamaan menjadi

28. menyelesaikan sistem ( X’X )b = X’y • Bila kita menerapkan kendala, kita dapatkan • lalu disederhanakan menjadi • Oleh karena itu, kita definisikan nilai dan dengan

29. Karena diketahui (exercise 30 hal.301) • Sehingga adalah solusi yang cukup dari persamaan normal ( exercise 31 hal.301 ). Solusi ini digunakan untuk menemukan SSreg (full) . Secara umum, SSreg (full) =

30. ...lanjutan • Kemudian direduksi secara aljabar ( disederhanakan ) menjadi SSreg (full) = • Untuk menemukan bentuk sederhananya, kita asumsikan bahwa Dan menghasilkan i = 1, 2, ... , a b=1, 2, ... , b dimana . ini merupakan one-wayclassification model dengan N=ab, nj=a, dan k=b.

31. Darisection 6.2 ( Hal. 245 ), terlihat bahwa Sum of SquaresRegresi dari model tersebut adalah SSreg(reduced) = • Sum of Squares yang terkait dengan hipotesis Ho : adalah SSreg(Hyposhesis) = SSreg (full) - SSreg (reduced) = =

32. Derajat Bebas untuk Ho • Jumlah derajat bebas yang terkait dengan full model adalah sama dengan rank dari X (a+b-1), sedangkan jumlah derajat bebas dari reduced model adalah b, • Sehingga jumlah derajat bebas yang terkait dengan hipotesis pada level of Factor I adalah (a+b-1)-b=a-1. Sum of SquaresRegresi memiliki ab-(a+b-1)=ab-a-b+1=(a-1)(b-1) derajat bebas. F ratio yang digunakan untuk menguji Ho adalah Fa-1, (a-1)(b-1) =

33. Derajat Bebas untuk H’o • Dengan metode yang sama, dapat juga menunjukkan F ratio yang digunakan menguji H’o: H0 : β1 = β2 = ... = βb adalah Fb-1, (a-1)(b-1) =

34. Table 6.7Anova table for the two – factor design with no interaction and one response measured at each of the ab treatment combinations

35. Table 6.8Tabel ANOVA untukdesaindua – faktortanpainteraksidansaturespondiukurpadamasing-masingkombinasiperlakuanabberdasarkan total yang dikoreksi.

36. Contoh 6.4.1 • Sebuahstudikelarutanduapreparatenzim yang paling seringdikemasdilakukan. Tujuandaripenelitianiniadalahuntukmengetahuipengaruhjeniskapsuldancairanbiologispadawaktu yang dibutuhkanpenghancurankapsul. Duacairanbiologis, lambungdan duodenum, danduajeniskapsul, A dan B, yang digunakandalampenelitianini. Empatsampelidentikuntukpersiapandiperoleh. Duadipilihsecaraacakuntukdikemasdalamjeniskapsul A, yang lain yang dikemasdalamtipe B. Satudarimasing-masingjeniskapsulkemudiandipilihsecaraacakdandilarutkandalamcairanlambung, yang lain dilarutkandalam jus duodenum.

37. Data tersebutdiperoleh

38. Penyelesaian :

39. Cont . . .

40. ANOVA dengan format dari table 6.8 ditunjukkandalamtabel 6.9

41. Keputusan = KarenaFhit(5.70,17.846)≤39.86 maka Ho diterima. • Kesimpulan = Dengantingkatkepercayaan 10%, dapatdisimpulkanbahwaτ1 = τ2 (Tidakadaperbedaandalamresponantaraduacairanbiologis) β1= β2 ( Tidakadaperbedaandalamresponantaraduajeniskapsul)

42. 6.5 RANCANGAN ACAK BLOK LENGKAP : EFEK TETAP • Salah satutesbiasanyadisajikandalam program statistikdasaradalahuji t berpasangan. Iniadalahtes yang digunakanuntukmembandingkanduacaraperlakuanpadakeberadaansuatuvariabelasing. Sebuahvariabelasingadalahvariabel yang hadirdan yang dapatmempengaruhirespontapiitutidakmenariklangsungkepeneliti. • Sebagaicontoh, dalammembandingkanmasaketahanandari 2 cat, lokasi di mana cat yang digunakandapatdianggapsebagaivariabelasing. Lokasibukanfokuspenelitian, tapijelasmempengaruhimasahidup cat danefeknyaperludikontrol. Dalammempelajarikemampuandariduajenistabirsurya yang berbedauntukmelindungiindividudaripembakaran, variabel "jeniskulit" mungkindipandangsebagaivariabelasing.

43. Ketikamembandingkanperlakuandengan ≥ 2 di hadapansebuahvariabelasing, rancanganacaklengkapdigunakan. Variabelasingdigunakanuntukmembentukbloksebanyak b di manablokadalahkelompokdari unit eksperimental yang hampirsamasepertikemungkinanrelatifterhadapvariabelasingatauvariabel yang diblokkan. Sebuahperlakuansecaraacakditugaskanuntuk unit percobaandalamsetiapblok. Dan hasilnyaadalahkombinasikemungkinanperlakuan-blokab , masing-masingterkaitdengansatu unit eksperimental. Model untukdesaintersebutadalah • yij = μ + τi + βj + εiji = 1, 2 , . . . , a j= 1, 2, . . . , b

44. τ disini, merupakanefekpengobatandan βj efekblok. Terlihat model initampaknyasamadengan yang disajikanpadabagianterakhir. Namun, Ada perbedaanpenting. Pengacakandisniterjadihanyasekali. Kami menetapkansecaraacakperlakuanuntuk unit percobaandalamblok, kitatidakmenetapkansecaraacakblokke unit percobaan. Setiap unit didapatsecaraalamimenjadisalahsatudari b bloktergantungpadanilaidarivariabelasing. Akibatnya, satu-satunyahipotesisnol yang dapatdiujiadalah • H0 : τ1 = τ2 = . . .= τa

45. Hipotesisinidiujipersissepertidalamdesaindua - faktortanpainteraksi. Tidakadates yang tepatuntukmenentukankeefektifandaripemblokkan. Karenaitu • H0 : β1 = β2 = . . . = βb tidakdapatdiujidenganmenggunakanuji F(ujitesbiasa). Namun, penggunaanpemblokkandapatdinilai. Biasanyainidilakukandenganmenghitung relative efisiensidarirancanganacaklengkapdibandingkandengandengandesainklasifikasisatu - cara. Bentukumumdariefisiensisebagaiberikut • RE =

46. Dimana S2 adalah mean square residual diperolehdari ANOVA aslidan • SSblocks= • DalamdesainduafaktortanpainteraksijumlahinikuadratdisebutSSreg (hypothesesII). Setiapnilai RE yang melebihi 1 menunjukkanbahwapemblokkanefektifsampaibatastertentu. Namun, adacara yang lebihmudahuntukmenilaiefektivitaspemblokkan. SuatuFratio “pseudo” yang mengambilbentuk yang samaseperti yang digunakanuntukmengujiperbedaanantaratingkatfaktor II dalamdesainduafaktortanpainteraksisehinggadapatdibentuk : • Fpseudo=

47. Arnold, Letner, danHinklemen, [2] telahmenunjukkanbahwaFpseudodan RE yang berhubungan linier melaluipersamaan. • RE = c + (1 - c). Fpseudo • Dimana c = b (a - 1) / (ab - 1).Sangatmudahuntukmelihatbahwa c ≤ 1 dan • JikaFpseudo <1, Kemudian RE <1 • JikaFpseudo = 1, Kemudian RE = 1 • JikaFpseudo> 1, Kemudian RE> 1 • OlehkarenaitumeskipunFpseudorasiotidakdapatdigunakanuntukmelakukanuji Format F padaperbedaanantarblok, namunitudapatdigunakanuntukmenilaiefektivitas block persiscara yang samasepertiefisiensiukuranrelatifbiasa.

48. Contoh6.5.1 • Departemenjalanrayasedangmempelajariempatjenisofpavinguntukkemungkinanpenggunaan di jalanrayaantarnegara. Karenadiketahuibahwalokasidalamnegaradapatmempengaruhihasilkarenaperbedaandalampolacuacadanlalulintas, lokasidiperlakukansebagaivariabelasing. BagianTGhreejalanraya di berbagaibagiannegara yang dipilihuntukeksperimen. Setiapbagianmerupakansuatublok. Masing-masingdibagimenjadiempatpotongandanempatjenis paving ditugaskansecaraacakuntukmembagidalamsetiapblok. Ide inidiilustrasikanpadaGambar 6.3

49. Jenis Paving secaraacakditugaskanuntukmembagisetiapbagiandarijalanraya

50. Satutahunsetelah paving, jumlahpemakaianuntuksetiappotongandipastikan. Kami inginmenguji • H0 : τ1 = τ2 = τ3 = τ 4 (Tidakadaperbedaandalamjumlahpemakaianantaraempatjenis paving) • Diperoleh data berikut (nilai yang lebihtinggimerupakanpemakaian yang lebihbesar):