Ekonometria stosowana

1. Ekonometria stosowana Wykład 2 Autokorelacja składnika losowego Andrzej Torój- Lato 2013/2014

2. Sferyczność macierzy E(eeT)

3. Dodatnia autokorelacja

4. Dlaczego autokorelacja jest zła?(1) ... nie skorzystaliśmy z założenia o sferycznej macierzy kowariancji składnika losowego, więc jego złamanie nie spowoduje, że parametry będą obciążone. (Pamiętajmy, że autokorelacja może być symptomem błędu specyfikacji, a ten może powodować obciążenie.)

5. Dlaczego autokorelacja jest zła?(2) z diagonali tej macierzy otrzymujemy błędy standardowe oszacowań przy sferycznych zakłóceniach: przy niesferycznych zakłóceniach: • WNIOSKI: • utrata efektywności • błędne wnioskowanie oparte na macierzy kowariancji skł. losowego • nieadekwatność wnioskowania ze statystyk t i F

6. Przyczyny autokorelacji • Inercja zjawisk gospodarczych • Podejście autokorelacyjne • Błąd specyfikacji modelu • Funkcyjnej • Dynamicznej • Pominięcie zmiennej objaśniającej • Podejście respecyfikacyjne

7. Ćwiczenie • funkcja produkcji • rynek paliw w USA • model popytu na benzynę • brytyjskie dane makroekonomiczne • krzywa Philipsa wsparta (adaptacyjnymi) oczekiwaniami

8. Szacujemy podstawowe równanie regresji: ...i drugie pomocnicze równanie, w którym składnik losowy uzależniamy dodatkowo od jego P poprzednich wartości: jeżeli nie ma autokorelacji, poprzednie wartości epsilona nie objaśnią bieżącej wniosek: R2 pomocniczego modelu powinno być niskie ~ Test mnożnika Lagrange’a (LM) UWAGA! test asymptotyczny

9. autokorelacja ? brak ? autokorelacjadodatnia autokorelacji ujemna 0 dL dU 2 4-dU 4-dL 4 współczynnik autoregresji pierwszego rzędu Test Durbina-Watsona • ograniczenia: • model z wyrazem wolnym • bez opóźnionej zmiennej objaśnianiej • normalny rozkład składnika losowego • wykrywa maksymalnie autokorelację rzędu 1 • posiada obszar niekonkluzywności

10. Test h-Durbina Odpowiedź Durbina na zarzut, że test DW jest zbyt skłonny nie wykrywać autokorelacji, gdy regresorem jest opóźniona zmienna objaśniana. (Nerlove, Wallis 1966 – zob. na stronie) Wysokie wartości d świadczą o autokorelacji. d~N(0,1).

11. Statystyka Ljunga-Boxa • Statystyka testowa, za pomocą której orzekamy, czy występuje autokorelacja do rzędu P włącznie: • Wysokie wartości (statystyczna istotność) Q świadczą o autokorelacji.

12. Ćwiczenie • Czy w naszych modelach jest autokorelacja? • Czy możemy stosować test DW w każdym z tych trzech przypadków? • Rozważ autokorelację wyższych rzędów. • Uzupełnij specyfikację krzywej Philipsa o regresor d_infl opóźniony o 1 okres. Jaki jest wynik testu h-Durbina?

13. Odporne błędy oszacowań • Newey i West (1987) skonstruowali estymator macierzy wariancji-kowariancji parametrów w warunkach autokorelacji:

14. Ćwiczenie • Oszacuj jeszcze raz modele z odpornymi błędami oszacowań. • Porównaj poprzednie i nowe wartości statystyk t i ich nowe p-value. Jakie decyzje weryfikacyjne uległy (mogły ulec) zmianie?

15. Pomnóżmy obie strony równania lewostronnie: Składnik losowy po przekształceniu danych X i y jest sferyczny: Estymator UMNK to estymator MNK dla równania z przekształconymi danymi: Uogólniona MNK (UMNK, GLS) ~

16. UMNK – zastosowanie • Niekiedy znamy (zakładamy) macierz kowariancji parametrów. • Skąd wziąć macierz W, gdy po prostu mamy model z autokorelacją? • Zakładamy określony schemat autokorelacyjny dla składnika losowego. • Macierz W jest wtedy funkcją parametrów ri. • Same parametry ri możemy oszacować na podstawie modelu KMNK. itd.

17. Metoda Cochrane’a-OrcuttaUMNK dla autokorelacji I rzędu • Model KMNK z autokorelacją, na jego podstawie przyjmujemy r (wsp. autokorelacji I rzędu reszt). • Transformujemy dane (y, x) jak wyżej. • Szacujemy model na transformowanych danych.

18. Metoda Praisa-Winstena • Cochrane i Orcutt przy transformacji danych pomijają pierwszą obserwację. • Prais i Winsten nie usuwają jej, a transformują w inny sposób:

19. Uogólniona metoda Cochrane’a- Orcutta • Ogólniejsza niż klasyczna metoda C-O, ale wciąż szczególny przypadek UMNK • Zakładamy dla składnika losowego proces AR rzędu P: • Z modelu KMNK z autokorelacją szacujemy parametry. Macierz W jest funkcją tych parametrów. • Szacujemy model UMNK za pomocą macierzy W.

20. Ćwiczenie • Oszacuj nasze 3 modele (o ile to uzasadnione) za pomocą UMNK, zakładając autokorelację odpowiedniego rzędu. • Przyjmij autokorelację I rzędu i porównaj wyniki oszacowań metodą C-O, P-W i H-L. • Porównaj parametry modelu UMNK i MNK. Co się zmieniło? Porównaj wyniki różnych testów. • Sprawdź, czy w modelach oszacowanych za pomocą UMNK nie ma dodatkowej autokorelacji. W tym celu zapisz reszty modelu, oszacuj dla nich odpowiedni proces autoregresyjny i dokonaj analizy jego reszt.

21. Literatura do wykładu 2 • Welfe 3.1, 3.2 • … więcej o opisie problemów spowodowanych autokorelacją składnika losowego i zróżnicowaniu ich przyczyn • Welfe 3.3 • Jak uprościć ogólny schemat autoregresyjny do schematu I rzędu • Welfe 3.5-3.7 • UMNK – niektóre warianty • Dla chętnych: • Klasyczny tekst uzasadniający nieadekwatność statystyki DW do modeli autoregresyjnych (na stronie) • Welfe – cały rozdział 3