Lebensdauer eines x-jährigen

1. Lebensdauer einesx-jährigen Manuel Sampl Proseminar Bakkalaureat TM 13.12.2005

2. Modell • Person mit Alter x • zukünftige Lebensdauer T = T(x) • x+T Todesalter der Person

3. Verteilsfunktion von T • T eine Zufallsvariable • Verteilsfunktion • G(t) = Pr(T ≤ t), t ≥ 0. • t fest • G(t) die Wahrscheinlichtkeit, innerhalb von t Jahren zu sterben

4. Verteilsfunktion von T • Funktion • stetig • Wahrscheinlichkeitsdichte • g(t) = G‘(t) • Beispiel • g(t) dt = Pr(t < T < t + dt) • Wahrscheinlichkeit des Todes in diesem Intervall

5. Symbolik • internationale Symbolik in der Versicherungsmathematik • tqx = G(t) • tpx = 1 – G(t) • sItqx = Pr(s < T < s+t) = G(s+t) – G(s) = s+tqx - sqx

6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten • tpx+s eine bedingte Wahrscheinlichkeit • tpx+s = Pr(T > s+t I T > s) = (1 – G(s+t)) / (1 – G(s)) • tqx+s = Pr(T ≤ s+t I T > s) = (G(s+t) – G(s)) / (1 – G(s))

7. Lebenserwartung • ėx als Symbol für die E(T) des x-jährigen ∞ • ėx = ∫t g(t) dt 0 • Verteilsfuntkion von T ∞ ∞ • ėx = ∫(1 – G(t)) dt = ∫tpx dt 0 0

8. Vereinfachungen der Notation • Präfixe der Symbole • tqx , tpx , sItqx • für t =1 • qx , px , sIqx

9. Die Sterblichkeitsintensität • Definition • μx+t = g(t) / (1 – G(T)) = - d/dt ln(1 – G(t)) • weil • g(t) dt = Pr(t < T < t+dt) und tpx = 1 – G(t) • alternativer Ausdruck • Pr(t < T < t+dt) = tpxμx+t dt

10. Lebenserwartung • Schreibweisen ∞ • ėx = ∫t tpxμx+tdt 0 ∞ • ėx = ∫t g(t) dt 0 ∞ ∞ • ėx = ∫(1 – G(t)) dt = ∫tpx dt 0 0

11. Analytische Verteilung von T • analytisch bzw. „mathematisch“, falls G(t) durch eine einfache Formel beschrieben wird • Vorteil • wenig Paramter • Nachteil • ungenau

12. Beispiele von analytischen Verteilungen

13. De Moivre (1724) • oberstes Alter ω • T gleichverteilt im Intervall (0 , ω-x) • g(t) = 1 / (ω – x) • Sterblichkeitsintensität • μx+t = 1 / (ω – x – t) für 0 < t < ω – x • wachsende Funktion

14. Gompertz (1824) • exponentielles Wachstum • μx+t = B cx+t mit B, c, t > 0 • Vergleich zu De Moivre • bessere Beschreibung menschlichen Alterns • oberstes Alter ω überflüssig

15. Makeham (1860) • Verallgemeinerung von Gompertz • μx+t = A + B cx+t mit A > 0

16. konstante Sterblichkeitsintensität • Gompertz • μx+t = B cx+t • c = 1 • Makeham • μx+t = A + B cx+t • B = 0

17. Weibull (1939) • Wachstum • nicht exponentiell • wie eine Potenz • μx+t = k (x + t)n mit k, n > 0

18. Die gestutzte Lebensdauer • Modell • μx+t = g(t) / (1 – G(T)) = - d/dt ln(1 – G(t)) • Pr(t < T < t+dt) = tpxμx+t dt

19. Zufallsvariabelen • K = K(x) • S = S(x)

20. Sei • K = [T] die ganzzahlig gestutzte zukünftige Lebensdauer • Pr(K = k) = Pr(k < T < k+1) für k = 0, 1, ... • Erwartungswert von K heißt die gestutzte Lebenserwartung bezeichnet mit ex

21. Sei • S der Bruchteil des Jahres im Todesjahr • S im Intervall ( 0 , 1 ) • T = K + S • Approximation mit S = ½ • ėx ≈ ex + ½ als Näherung

22. Verwendung in der Praxis um die vollständige Lebenserwartung auszurechnen • Vorteil • einfacher auszuwerten • Nachteil • nicht ganz so genau