§3.1 中值定理

1. §3.1中值定理 一、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理

2. 一、罗尔定理 • 观察与思考 设连续光滑的曲线 y=f(x) 在端点 A、B 处的纵坐标 相等 提问： f(x) ? 提示： f(x)0

3. 罗尔定理 • 如果函数yf(x)在闭区间[ab]上连续 在开区间(ab)内可导 且有f(a)f(b) 那么至少存在一点x(ab) 使得 • f(x)0 简要证明 (1)若f(x)是常函数 则f (x)0 定理的结论显然是成立的

4. 罗尔定理 • 如果函数yf(x)在闭区间[ab]上连续 在开区间(ab)内可导 且有f(a)f(b) 那么至少存在一点x(ab) 使得 • f(x)0 简要证明 (2)若f(x)不是常函数 则f(x)在(ab)内至少有一个最大值点或最小值点 不妨设有一最大值点x(ab) 于是  因此必有f (x)=0

5. 罗尔定理 • 如果函数yf(x)在闭区间[ab]上连续 在开区间(ab)内可导 且有f(a)f(b) 那么至少存在一点x(ab) 使得 • f(x)0 应注意的问题： 如果定理的三个条件有一个不满足 则定理的结论有可能不成立

7. 二、拉格朗日中值定理 • 观察与思考 • 设连续光滑的曲线y=f(x)在端点A、B处的纵坐标不相等 提问： 直线AB的斜率k=?f(x)? 提示： 直线AB的斜率

8. 拉格朗日中值定理 如果函数f(x)在闭区间[ab]上连续 在开区间(ab)内可导 那么在(ab)内至少有一点x 使得 f(b)f(a)f(x)(ba) 直线AB的斜率

9. 拉格朗日中值定理 如果函数f(x)在闭区间[ab]上连续 在开区间(ab)内可导 那么在(ab)内至少有一点x 使得 f(b)f(a)f(x)(ba) 简要证明 则函数j(x)在区间[ab]上满足罗尔定理的条件 于是至少存在一点x(ab) 使j(x)0 即 由此得f(b)f(a)f(x)(ba)

10. 拉格朗日中值定理 如果函数f(x)在闭区间[ab]上连续 在开区间(ab)内可导 那么在(ab)内至少有一点x 使得 f(b)f(a)f(x)(ba) • 拉格朗日中值公式 f(b)f(a)f(x)(ba) f(xDx)f(x)f(xqDx)Dx (0<q <1) Dyf(xqDx)Dx (0<q <1) 注： dyf(x)Dx是函数增量Dy的近似表达式 f(xDx)Dx是函数增量Dy的精确表达式

11. 拉格朗日中值定理 如果函数f(x)在闭区间[ab]上连续 在开区间(ab)内可导 那么在(ab)内至少有一点x 使得 f(b)f(a)f(x)(ba) • 拉格朗日中值公式 f(b)f(a)f(x)(ba) f(xDx)f(x)f(xqDx)Dx (0<q <1) Dyf(xqDx)Dx (0<q <1) • 定理 • 如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零 那么f(x)在区间I上是一个常数 >>>

12. 例2 证明设f(x)ln(1x) 显然f(x)在区间[0x]上满足拉格朗日中值定理的条件 根据定理 就有 f(x)f(0)f(x)(x0) 0<x<x  又由0<x<x有

13. 三、柯西中值定理 • 柯西中值定理 • 函数f(x)及F(x)在闭区间[ab]上连续 在开区间(ab)内可导 且F(x)在(ab)内恒不为零 那么在(ab)内至少有一点x 使得 ———柯西中值公式 显然 如果取F(x)x那么F(b)F(a)baF(x)1因而柯西中值公式就可以写成 f(b)f(a)f(x)(ba) (a<x<b) 这样就变成了拉格朗日中值公式了

14. 三、柯西中值定理 • 柯西中值定理 • 函数f(x)及F(x)在闭区间[ab]上连续 在开区间(ab)内可导 且F(x)在(ab)内恒不为零 那么在(ab)内至少有一点x 使得 • 定理的几何意义