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M.H. ALLOUCHE , V. BOTTON, S. MILLET, D. HENRY, H. BEN HADID, F. ROUSSET*

Transformations de Squire pour un fluide purement visqueux. Ecoulement à surface libre sur plan incliné. M.H. ALLOUCHE , V. BOTTON, S. MILLET, D. HENRY, H. BEN HADID, F. ROUSSET* . Laboratoire de Mécanique des Fluides et d’Acoustique,. 1. Etude de stabilité.

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  1. Transformations de Squire pour un fluide purement visqueux Ecoulement à surface libre sur plan incliné M.H. ALLOUCHE, V. BOTTON, S. MILLET, D. HENRY, H. BEN HADID, F. ROUSSET* Laboratoire de Mécanique des Fluides et d’Acoustique, 1

  2. Etude de stabilité S.Millet et.al (2007)

  3. Plan • Stabilité d’écoulement de fluide newtonien en canal plan (Squire H.B 1933) • Stabilité d’écoulement à surface libre de fluide newtonien sur plan incliné (Yih C.S 1955 et Chang-Demekhin) • Stabilité d’écoulement de fluide purement visqueux en canal plan (Nouar et.al 2007) • Stabilité d’écoulement à surface libre de fluide purement visqueux sur plan incliné

  4. Equation d’Orr-Sommerfeld • 3 Equations de Navier-Stokes + continuité • [u,p] (x,y,z,t)=champ de base + [u’,p’] (x,y,z,t) => 4 Equations aux perturbations • On élimine p’, u’ et w’ => 1 équation d’ordre 4 en v’ • Perturbations périodiques : • CL en canal plan : non glissement aux parois • CL à surface libre : non glissement au fond + contraintes tangentielles et normales à la SL + condition cinématique

  5. Fluide newtonien en canal plan

  6. Fluide newtonien en canal plan Squire H.B. 1933 • Perturbations (Orr-Sommerfeld) : • Relations de Squire : • Théorème de Squire : • Pour étudier les instabilités 3D, il suffit d’étudier les instabilités 2D. • Les instabilités 2D sont les plus dangereuses.

  7. Fluide newtonien sur plan incliné

  8. Fluide newtonien sur plan incliné Chang-Demekhin et Yih C.S. • Champ de base : • Nombres adimensionnels :

  9. Fluide newtonien sur plan incliné Chang-Demekhin et Yih C.S. • Eq d’Orr-Sommerfeld identique • CL différentes :

  10. Fluide purement visqueux en canal plan

  11. Fluide purement visqueux en canal plan • Eq d’Orr-Sommerfeld généralisée 3D Avec θ tenant compte de la perturbation de viscosité fluide purement visqueux • Les relations de Squire sont-elles applicables ? • Terme en Dw : pas de relation de Squire ! • Introduire une équation supplémentaire ? • Nouar et.al (2007) : • Etude numérique 3D  • En forçant θ=η... • La viscosité perturbée n’intervient qu’au niveau des contraintes de cisaillement dans le plan (x,y)

  12. Fluide purement visqueux sur plan incliné

  13. Fluide purement visqueux sur plan incliné Champ de base Avec Nombres adimensionnels :

  14. Fluide purement visqueux sur plan incliné • Eq d’Orr-Sommerfeld généralisée • CLs avec des perturbations 3D :

  15. Merci de votre attention

  16. Équations aux perturbations : • Interprétation de q : où 19/40

  17. Fluide non newtonien en canal plan C.Nouar et al • Modèle de Carreau • Perturbation de contrainte • Equations aux perturbations 3D

  18. Fluide non newtonien en canal plan C.Nouar et.al 2007 • Sous quelles conditions le théorème de Squire est-il applicable ?

  19. Seuil de stabilité (approche Orr-Sommerfeld) 22 Recr Angle d’inclinaison Seuils de stabilité selon l’angle d’inclinaison (Millet et al. 2007) • L = 0 dans le cas d’un fluide newtonien • L = 0.5 dans le cas d’un fluide de Carreau et I = 10-3, n = 0.5.

  20. Prise en compte de la perturbation de viscosité. h 1 On peut écrire : avec : Pente de la loi constitutive en échelles log 23

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