ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น

1. ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น โดย ครูภรเลิศ เนตรสว่าง โรงเรียนเทพศิรินทร์

2. เนื้อหาของทฤษฎีจำนวนเบื้องต้นเนื้อหาของทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น 1. การหารลงตัว (Exact Division) 2. ขั้นตอนวิธีหาร (Division Algorithm) 3. ตัวหารร่วมมาก (The Greatest Common Divisor) 4. จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ 5. ผลรวมเชิงเส้น (linear combination)

3. 1. การหารลงตัว (Exact Division) บทนิยาม ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็ม โดยที่b 0 b หาร a ลงตัว ก็ต่อเมื่อมีจำนวนเต็ม c ที่ทำให้ a = bc เรียก b ว่าเป็นตัวหาร (divisor) ของ a และเรียก a ว่า พหุคูณ (multiple) ของ b ใช้สัญลักษณ์ b|a แทน “b หาร a ลงตัว”และ b |a แทน “b หาร a ไม่ลงตัว” เช่น 3 |15 เพราะ 3x5 = 15 -4 |12 เพราะ (-4)(-3) = 12 5 | 21 เพราะ ไม่มีจำนวนเต็ม c ที่ทำให้ 5c = 21

4. ทฤษฎีบทที่ 1 ให้ a , b และ c เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ a 0 และ b 0 ถ้า a | b และ b | c แล้ว a | c ทฤษฎีบทที่ 2 ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่ง a | b แล้ว a b ทฤษฎีบทที่ 3 ถ้า a , b และ c เป็นจำนวนเต็มโดยที่ a | b และ a | c แล้ว a | (bx+cy) เมื่อ x และ y เป็นจำนวนเต็มใดๆ bx+cy เรียกว่า ผลรวมเชิงเส้น (linear combination) ของ b และ c บทนิยาม จำนวนเต็มบวก p เป็นจำนวนเฉพาะ ก็ต่อเมื่อ p 1 และถ้าจำนวนเต็ม x หาร p ลงตัว แล้ว x { , -1 , p ,-p} ทฤษฎีบทที่ 4 จำนวนเต็มบวกทุกจำนวนที่มากกว่า 1 สามารถเขียนได้ในรูปผลคูณของ จำนวนเฉพาะได้เพียงแบบเดียวเท่านั้น ทั้งนี้ไม่รวมการสลับที่ตัวคูณหรือการคูณด้วย 1

5. 2. ขั้นตอนวิธีหาร (Division Algorithm) ทฤษฎีบทที่ 5 ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ b 0 แล้ว จะมีจำนวนเต็ม q และ r ชุดเดียวซึ่ง a = bq + r โดย 0 r < | b | เรียก q ว่า ผลหาร (quotient) และเรียก r ว่า เศษเหลือ (remainder) ตัวอย่าง จงหาผลหารและเศษเหลือจาก(-24) 5 วิธีทำเพราะว่า -24 = 5(-5) + 1 ดังนั้น ผลหาร คือ -5 เศษ คือ 1 บทนิยาม จำนวนเต็ม a เป็นจำนวนคู่ ก็ต่อเมื่อ a = 2k เมื่อ k เป็นจำนวนเต็ม จำนวนเต็ม a เป็นจำนวนคี่ ก็ต่อเมื่อ a = 2k+1เมื่อ k เป็นจำนวนเต็ม จากบทนิยาม จะได้ว่า 0 เป็นจำนวนคู่ เพราะว่า 0 = 2(0) และเมื่อ a เป็นจำนวนคู่ จะได้ a = 2k และ a2 = 2(2k2) ดังนั้น a2เป็นจำนวนคู่ด้วย

6. ตัวอย่าง จงพิสูจน์ว่า “ผลคูณของจำนวนคู่กับจำนวนคี่เป็นจำนวนคู่” พิสูจน์ ให้ a เป็นจำนวนคู่ จะได้ a = 2k เมื่อ kเป็นจำนวนเต็ม และ b เป็นจำนวนคี่ จะได้ b = 2k+1 เมื่อ kเป็นจำนวนเต็ม จะได้ ab = 2k(2k+1) = 4k2+2k = 2(2k2+k) ดังนั้น 2(2k2+k) เป็นจำนวนคู่ เมื่อ k เป็นจำนวนเต็ม นั่นคือ ผลคูณของจำนวนคู่กับจำนวนคี่เป็นจำนวนคู่ ทฤษฎีบทที่ 6 ให้ b เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 1 จำนวนเต็มบวก n ใดๆ สามารถเขียนใน รูปการกระจายฐาน b ได้เป็น n = akbk+ak-1bk-1+…..+a1b+a0เมื่อ k เป็นจำนวนเต็ม และ a0,a1,a2,…,akเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบและน้อยกว่า b และ ak 0

7. ตัวอย่าง จงเขียน 52 ในรูปการกระจายฐาน 3 วิธีทำ 52 = 3(17) + 1 17 = 3(5) + 2 5 = 3(1) + 2 1 = 3(0) + 1 เมื่อแทนค่าย้อนกลับ 52 = 3 (17) + 1 = 3[3(5) + 2] + 1 = 32(5) + 3(2) + 1 = 32[3(1) + 2] + 3(2) + 1 = 33(1) + 32(2) + 3(2) +1 ดังนั้น 52 = (1x33) + (2x32) + (2x3) + 1 = 12213

8. ตัวอย่าง จงเขียน 1324 ในรูปตัวเลขฐาน 5และฐาน 12 วิธีทำ 1324= 5(264) + 4 264 = 5(52) + 4 52 = 5(10) + 2 10 = 5(2) + 0 2 = 5(0) + 2 ดังนั้น 1324 = 202445 1324 = 12(110) + 4 110 = 12(9) + 2 9 = 12(0) + 9 ดังนั้น 1324 = 92412

9. 3. ตัวหารร่วมมาก (The Greatest Common Divisor) บทนิยาม กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็ม เรียกจำนวนเต็ม c ที่สามารถหารทั้ง a และ b ลงตัวว่าเป็น ตัวหารร่วม ของ a และ b เช่น ตัวหารร่วมของ 8 และ 12 คือ บทนิยามให้ a และ b เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ a และ b ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน จำนวนเต็ม บวก d ที่มีค่ามากที่สุด ซึ่ง d|a และ d|b เรียกว่า เป็นตัวหารร่วมมาก ของ a และ b แทน ด้วย (a,b) ตัวอย่างจงหา ห.ร.ม. ของ 48 และ 72 วิธีทำ48= 2 x 2 x 2 x 2 x 3 72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 ดังนั้น (48 , 72) คือ 2 x 2 x 2 x 3 = 24 *

10. ทฤษฎีบทที่ 7 ( ขั้นตอนวิธีของยุคลิด ) กำหนดให้ a และ b เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่ b < a โดยใช้ขั้นตอนวิธีหาร a = bq1 + r1 ; 0 < r1 < b b = r1q2 + r2 ; 0 < r2 < r1 r1 = r2q3 + r3; 0 < r3 < r2 : rk-2 = rk-1qk + rk ; 0 < rk < rk-1 rk-1 = rkqk+1 + 0 ดังนั้น rkซึ่งเป็นเศษตัวสุดท้ายที่ไม่ใช่ศูนย์ จะเป็น ห.ร.ม. ของ a และ b

11. ตัวอย่างจงหา ห.ร.ม. ของ 48 และ 72 วิธีทำ 72 = 48(1) + 24 48 = 24(2) + 0 ดังนั้น ( 48 , 72 ) = 24  ตัวอย่าง จงหา ห.ร.ม. ของ 132 และ 424 วิธีทำ 424= 132(3) + 28 132 = 28(4) + 20 28 = 20(1) + 8 20 = 8(2) + 4 8 = 4(2) + 0 ดังนั้น ( 132 , 424 ) = 4 บทนิยาม ให้ a1, a2 , … , an เป็นจำนวนเต็มบวกที่ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน จำนวนเต็มบวก D ที่มีค่ามากที่สุดซึ่ง D|a1, D|a2, … , D|anเรียกว่า ตัวหารร่วมมาก (ห.ร.ม.) ของ a1, a2 , … , an แทนด้วย (a1, a2 , … , an)

12. ตัวอย่าง จงหาจำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากที่สุดที่หาร 420 , 356 และ 244 แล้วมีเศษเท่ากัน วิธีทำ ให้ x เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากที่สุดที่หาร 420 , 356 และ 244 แล้วมีเศษ r เท่ากัน ดังนั้น 420 = ax + r …………. (1) 356 = bx + r …………..(2) 244 = cx + r …………..(3) (1) – (2) 64 = (a-b)x …………..(4) (2) – (3) 112 = (b-c)x …………..(5) (1) – (3) 176 = (a-c)x …………..(6) จาก (4) , (5) , (6) แสดงว่า x|64 , x|112 และx|176 ดังนั้น x = ( 64 , 112 , 176 ) = 16 นั่นคือ 16 เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากที่สุดที่หาร 420 , 356 และ 244 แล้วมีเศษเท่ากัน

13. 4.จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ บทนิยาม จำนวนเต็ม a และ b เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ ก็ต่อเมื่อ ( a , b ) = 1 เช่น 9 และ 10 เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ เพราะ ( 9 , 10 ) = 1 9 และ 12 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ เพระ ( 9 , 12 ) = 3 ทฤษฎีบทที่ 8 a และ b เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม x และ y ที่ทำให้ ax + by = 1 ทฤษฎีบทที่ 9 กำหนดจำนวนเต็ม a , b และจำนวนเฉพาะ p ถ้า p|ab จะได้ p|a หรือ p|b

14. 5. ผลรวมเชิงเส้น(linear combination) d = ax + by เมื่อ d = ( a , b )