§4 － 2 布洛赫（ Bloch ）定理

1. §4－2布洛赫（Bloch）定理 求晶体中的电子态，要解定态薛定谔方程 2(k,r)＋E －V(r)(k,r)＝0 其中势能函数V(r)具有晶格周期性，即 V(r)＝V（r＋Rn） ＝V（r+n1a1+n2a2+n3a3）

2. 一．布洛赫定理 晶体中的电子波函数是按照晶格周期性进行的调幅平面波. 即（以一维为例） （k ,x）＝u（k，x）eikx 其中 u（k，x）＝u（k ,x+na） 晶体中的电子波又称为Bloch波。

3. 讨论： 1．电子出现的几率具有正晶格的周期性。 ∣（k ,x）∣2＝∣u（k，x）∣2 ∣（k ,x＋na）∣2=∣u（k ,x+na）∣2 ∵ u（k，x）= u（k ,x+na） ∴∣（k ,x）∣2=∣（k ,x＋na）∣2

4. 2. 布洛赫定理的另一种表示 （k ,x+na）＝（k ,x）eikna

5. 证明: ∵ （k ,x）＝u（k，x）eikx u（k，x）＝u（k ,x+na） 得：u（k，x）＝（k,x）e-ikx (A) u（k ,x+na）=（k ,x+na）e-ik(x+na) = e-ikx [e-ikna（k ,x+na）] (B) 以上证明各步均可逆，故Bloch定理的两种表示等价。 比较（A）（B）二式，左右分别相等 ∴ （k ,x+na）＝（k ,x）eikna

6. （k ,x＋na）＝u（k，x+na）eik(x+na) = u（k，x+na）eikx× eikna = u（k，x）eikx× eikna = （k ,x）eikna 而一般情况下 ∵ k不是倒格矢 eikna≠1 3．函数（k ,x）本身并不具有正晶格的周期性。 ∴ （k ,x＋na）≠ （k ,x）

7. （k ,x＋na）≠ （k ,x） ∣（k ,x）∣2=∣（k ,x＋na）∣2 讨论：波函数的物理意义

8. 二．Bloch 定理的证明 1．由于势能函数V(x)具有晶格周期性，适当选取势能零点，它可以作如下的付里叶级数展开：

9. 说明： ∴ (1)

10. 2.将待求的波函数ψ（r）向动量本征态――平面波eik•x展开2.将待求的波函数ψ（r）向动量本征态――平面波eik•x展开 (2) 求和是对所有满足波恩－卡曼边界条件的波矢k’进行的。(讨论）

11. 将（1）式和（2）式 代入薛定谔方程  2(k,x)＋E －V(x)(k, x)＝0

12. 得: (3)

13. 将此式两边乘e－ik.x,然后对整个晶体积分。并利用平面波的正交归一性将此式两边乘e－ik.x,然后对整个晶体积分。并利用平面波的正交归一性 得到

14. 利用δ函数的性质，得（4）式 该方程实际上是 动量表象中的薛定谔方程，称作中心方程。

15. K态与其相差不是一个倒格矢的态之间无耦合 方程（4）说明，与K态系数C(K)的值有关的态是与K态相差任意倒格矢Gn的态的系数C(K－Gn)…….与K相差不是一个倒格矢的态不进入方程（4）。 该结论也应适用于波函数 (k,x)。

16. 因此波函数 应当可写成

17. 与Bloch定理比较（k ,x）＝u（k，x）eikx需证明 =u(K,x+na) ∵Gh·Rn＝2m， 一维情况Rn=na, Ghna=2m

18. 于是布洛赫定理得证。

19. 三． 布洛赫定理的一些重要推论 （1）K态和K＋Gh态是相同的状态，这就是说： （A）（K＋Gh,r）＝ （K，r） （B）E（K＋Gh）＝E(K) 下面分别证明之。 ∵ （k ,x） 求和遍取所有允许的倒格矢

20. 令G‘n－Gn=Gn’’,则 因为求和也是遍取所有允许的倒格矢 即相差任意倒格矢的状态等价。

21. 由薛定谔方程 (k,r)=E(k)(k,r) 与 等价 ∴ E（k）=E(k+Gn) 可见，在波矢空间，布洛赫电子态具有倒格子周期性，为了使波矢K和状态一一对应，通常限制k在第一B.Z.内变化。 第一B.Z.内的波矢又叫简约波矢。

22. （2）E（k）＝E（－k） 即能带具有k=0的中心反演对称性。 （3）E（k）具有与正晶格相同的对 称性。