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第三节 格林公式及其应用

第三节 格林公式及其应用. 一 格林公式. 格林公式建立了重积分与曲线积分的联系，我们先从. 特殊的区域来看这种联系，然后再推广到一般的情况. 平面单连通区域：如果 D 内任一闭曲线所围的部分都属于 D ，. 则称 D 为平面单连通区域，否则称为复连通区域. 通俗的说，平面单连通区域是不含有“洞”的区域. l. L. 若 L 是平面区域 D 的边界曲线，规定 L 的正向如下：. 我们沿 L 的方向行走时， D 内在我们近处的那一部分总在我们. 的左边. 例如 :D 为复连通区域，其边界曲线为 L 与 l. 作为 D 的正向边界，.

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第三节 格林公式及其应用

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  1. 第三节 格林公式及其应用 一 格林公式 格林公式建立了重积分与曲线积分的联系，我们先从 特殊的区域来看这种联系，然后再推广到一般的情况. 平面单连通区域：如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D， 则称D为平面单连通区域，否则称为复连通区域. 通俗的说，平面单连通区域是不含有“洞”的区域.

  2. l L 若L是平面区域D的边界曲线，规定L的正向如下： 我们沿L的方向行走时，D内在我们近处的那一部分总在我们 的左边. 例如:D为复连通区域，其边界曲线为L与l. 作为D的正向边界， L的正向是逆时针方向，l的正向是顺时针方向.

  3. 设平面域D:{(x,y)|a≤x≤b,y1(x)≤y≤y2(x)}，因 连续，故 x a b y2(x) y E F D C A y1(x) B 定理1 (格林公式) 设平面有界闭区域D由分段光滑闭曲线L 围成，P(x, y)、Q(x, y)在D上有一阶连续偏导数，则 其中L为D的取正向的边界曲线. 证明: (1)先证D是X型又是Y型的情形.

  4. 同理，设D:{(x, y)| c≤y≤d，x1(y)≤x≤x2(y)}，可证明 两式同时成立,合并后得到格林公式. (2)若D是一般单连通区域,这时可用几段光滑曲线将D分成 若干个既是X型又是Y型的区域. (3)若D为复连通区域，这时可用光滑曲线将D分成若干个单 连通区域从而变成(2)的情形.

  5. 中取 在公式 ，即得

  6. 的面积S. 例1 求椭圆 解：

  7. 解：记 则 例2 设C是任意一条分段光滑的闭曲线,计算

  8. Y A B x O 1 例3 求 其中D是以O(0,0),A(1,1),B(0,1)为顶点 的三角形闭区域. 解:

  9. y 其中L是圆周 例4 计算 x 0 方向是顺时针方向. 解法一 :

  10. 解法二: 利用圆的参数方程转化为定积分计算

  11. 解法三：利用格林公式计算

  12. C y D x 例5 计算 其中C是一条不经过原点的分段 光滑的不自相交的简单闭曲线，方向取逆时针方向. 解: 下面分两种情况计算.

  13. Y C L D1 x 选取适当小的r>0，作位于D内的圆周 对C和L所围成的闭区域应用 格林公式，得

  14. 例6 计算 y N x o A(a,0) 其中A(a,0),o(0,0),ANO是沿x2+y2=ax 的上半圆. 解:

  15. 二 平面上曲线积分与路径无关的条件 在计算对坐标的曲线积分时,有的曲线积分和积分曲线的 路径无关而只与曲线的起点和终点有关.这时我们可以取简 单的积分路径处理. 现在我们来讨论这个问题. 设P(x, y), Q(x, y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数，在D 内任意指定两点A、B，从A到B任取两条在D内的路线C1和 C2，若有 则称该曲线积分在D内与积分路径无关.

  16. y C2 B C-2 C1 A D x 如果与路径无关,再注意一下曲线积分 的方向,可把上式写成 其中C1+C2-形成一个通过A,B两点的闭路,而且是任意的闭路, 因此我们得到:如果在D内曲线积分与路径无关,那么沿D内 任意闭曲线积分为零;反过来若沿D内的任意闭路曲线积分 为零,则该曲线积分在D内与路径无关.

  17. 续的偏导数,则曲线积分 在G内与路线无关(或 定理2 设G一个单连通区域,P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连 是沿G内任意闭曲线的曲线积分为零)的充分必要条件是 在G内恒成立.

  18. 证明：(充分性) 在G内任取一闭曲线C,因为G是不带“洞”的单连通区域, 所以由C围成的闭区域D完全包含在G内,由于在G内有 所以由格林公式

  19. 用反证法,假设在M0(x0, y0)处 (必要性) 作以M0为中心, 足够小的ξ>0为半径的小圆域: (x-x0)2+(y-y0)2≤ ξ2 记这小圆域为k,由dP/dy和dQ/dx的连续性,那么在k内处处有 再由格林公式:

  20. 其中L是k的边界,这样就与在G内任意闭曲线积分为零的假其中L是k的边界,这样就与在G内任意闭曲线积分为零的假 设矛盾.因此G内的这样的点M0不可能存在,即证明了在G内 处处有 注:定理中要求平面区域G内不能有“洞”(即一定要单连通区 域),且P,Q在G内具有一阶连续偏导数,这两个条件缺一不可.

  21. 判断它是否与路径 例1 设有曲线积分 有关?其中C是平面区域D的边界曲线(取正向) (1)D为圆域(x-3)2+y2≤1; (2)D为1<x2+y2≤4的圆环域. 解：(1) 在此区域内,dP/dy,dQ/dx连续且处处相等.由定理2可知,积分 和路径无关.

  22. (2)此时的区域D为1<x2+y2≤4,是一个带“洞”的环形域,虽然(2)此时的区域D为1<x2+y2≤4,是一个带“洞”的环形域,虽然 在D内有 但是它得不出积分与路线无关的结果.我们取C: 则：

  23. 三 二元函数的全微分求积 现在讨论：函数P(x,y),Q(x,y)满足什么条件时,表达式 P(x,y)dx+Q(x,y)dy才是某个二元函数u(x,y)的全微分；当 u(x,y)存在时,求出u(x,y). 定理3 设G为单连通区域.函数P(x,y)和Q(x,y)在G内有一阶 连续偏导数,则在G内Pdx+Qdy是某一函数u(x,y)的全微分的 充分必要条件是

  24. 证明 先证必要性.因为du=Pdx+Qdy，则 由于P,Q偏导数的连续性，所以它们的二阶偏导数也连续，

  25. 由于在G内有 恒成立,所以曲线积分 再证明充分性： 在G内和路线无关,如果点M0(x0,y0)已经取定,那么这曲线积分 将取决于终点M(x,y),所以是终点M(x,y)的函数.记 事实上这个函数就是我们要找的.即证明

  26. 按偏导数的定义 又 起点是M0(x0,y0),终点是N(x+Δx,y),由于该积分与路线无关, 于是取MM0和MN两段路线,使MN平行于x轴.于是有

  27. y M(x,y) N(x+Δx,y) M0(x0,y0) x

  28. 两边除以Δx,并令Δx→0,得到极限 即 同理可得

  29. 现在我们知道u(x,y)的全微分是du=Pdx+Qdy,如何求出原函数现在我们知道u(x,y)的全微分是du=Pdx+Qdy,如何求出原函数 u(x,y)?此原函数的值就是求积分 由讨论知道,该积分与路线无关,那么可以取特殊的路线使积 分简单.

  30. S(x0,y) M(x,y) y R(x,y0) M0(x0,y0) x

  31. y (x,y) x o (x,0) 例2 验证在整个xoy平面内,xy2dx+x2ydy是某个函数u(x,y)的 全微分, 并求出原函数. 解: 所以,xy2dx+x2ydy是某个函数u(x,y)的全微分.

  32. 例3 在整个平面上,是否有u(x,y)使得 du=(4x3+10xy3-3y4)dx+(15x2y2-12xy3+5y4)dy 若有,试求u(x,y). 解: 这里P= 4x3+10xy3-3y4 Q=15x2y2-12xy3+5y4 于是 所以原式在整个平面上是某个函数u(x,y)的全微分.

  33. 取M0(0,0)，则

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