Révision des systèmes LIT, convolution et s érie de Fourier

1. ELG3575 Introduction aux systèmesde télécommunication Révisiondes systèmes LIT, convolution et série de Fourier

2. Introduction • Le diagramme bloc d’un système de télécommunication est démontré ci-dessous Source Émetteur Canal Récepteur Destination Présentation 1

3. Éléments d’un système de télécommunication • Source • Produit un message d’information • Destination • Récipiendaire qui va utiliser l’information produite. • Canal • Le lien physique qui porteral’information de la source à la destination. Présentation 1

4. Éléments d’un système de télécommunication • Émetteur • L’émetteur transforme le message de sa forme actuel à une forme qui permettra sa transmission sur le canal. • Récepteur • Le récepteur fait l’opération inverse de l’émetteur et, si possible, du canal. • Erreur quadratique • Taux d’erreurs. Présentation 1

5. But de l’ingénieur • Concevoir des émetteurs et des récepteurs qui • ne sont pas dispendieux à produire • minimisent la largeur de bande requise • maximisent le transfert d’information (la similarité du signal reçu au signal transmis) • utilisent efficacement la puissance • Parfois les buts sont contraire aux autres • Par exemple, on améliore le transfert d’information en augmentant la puissance du signal transmis • Il faut parfois échanger des qualités désirées contre des autres Présentation 1

6. Signauxutiles L’impulsion 1 t Présentation 1

7. Signauxutiles • L’impulsionrectangulaire 1 t -0.5 0.5 Présentation 1

8. Signauxutiles • L’impulsiontriangulaire 1 -1 1 t Présentation 1

9. Signauxutiles • sinc Présentation 1

10. Signauxutiles • Sinccarré Présentation 1

11. Révisiondes systèmes LIT • Un système avec x(t) comme entrée produit une sortie y(t) = H(x(t)). x(t) y(t) = H(x(t)) H(•) Présentation 1

12. Systèmes linéaires • Un système est linéaire si la propriété de superposition s’applique • Supposons le système produit la sortie y1(t) pour l’entrée x1(t) et la sortie y2(t) pour l’entrée x2(t). Alors • y1(t) = H(x1(t)) et • y2(t) = H(x2(t)) • le système H est linéaire si pour x3(t) = ax1(t)+bx2(t), y3(t)=H(x3(t)) = aH(x1(t))+bH(x2(t)) = ay1(t)+by2(t). Présentation 1

13. Exemple 1 • y(t) = x2(t). • Pour l’entrée x1(t), la sortie est y1(t) = x12(t) et pour l’entrée x2(t), la sortie est y2(t) = x22(t). • Pour x3(t) = ax1(t) + bx2(t), la sortie est y3(t) = x32(t) = (ax1(t) + bx2(t))2 = a2x12(t) + 2abx1(t)x2(t) + b2x22(t). • Si le système est estlinéaire, y3(t) doit être ay1(t) + by2(t) = ax12(t) + bx22(t) ≠ y3(t) ; alors ce système n’est pas linéaire. Présentation 1

14. Exemple 2 • y(t) = tx(t). • Pour x3(t) = ax1(t) + bx2(t), la sortie est y3(t) = t(ax1(t) + bx2(t)) = a(tx1(t)) + b(tx2(t)) = ay1(t) + by2(t). • Alors ce système est linéaire. Présentation 1

15. Système invariant en temps • Un système est invariant en temps si un délai à l’entrée ne cause que le même délai à la sortie.. • Si y1(t) est la sortie qui correspond à l’entrée x1(t) et x2(t) = x1(t-t) est l’entrée qui produit une sortiey2(t). • Le système est invariant en temps si y2(t) = y1(t-t). Présentation 1

16. Exemples • y(t) = tx(t)? • y(t) = 3+4x2(t)? Présentation 1

17. SystèmesLIT • Un systèmeest LIT s’ilest linéaire et invariant en temps • Un système LIT est décrit par sa réponse impulsionnelle. • Réponse impulsionnelle , h(t), est la sortie qui correspond à l’entréex(t) = d(t). • Propriétés du signal d(t). • . • . • . Présentation 1

18. La sortie d’un système LIT • Si x(t) est l’entrée d’un système LIT, la sortie correspondante esty(t) = x(t)*h(t), où * indique la convolution. Présentation 1

19. Propriétés • x(t)*(y1(t) + y2(t)) = x(t)*y1(t) + x(t)*y2(t). Présentation 1

20. Convolution avec l’impulsion Présentation 1

21. Exemple • y(t) = P(t) *P(t) • Utilisez des dessinsafin de trouver les limitesd’intégration. Présentation 1

22. Causalité • Un système est causal si la sortie ne dépend pas des valeurs futures de l’entrée. • Pour un système LIT • Quandl < 0, y(t) depend de x(t-l)=x(t+|l|). Pour que le système LIT soit causal ilfautqueh(l)=0 quandl <0. Présentation 1

23. Stabilité • Un système est stable si, pour n’importe quelle entrée bornée, la sortie est aussi bornée. • Pour qu’unsystème LIT soit stable, ilfautque Présentation 1

24. Représentation des signaux dans le domaine fréquentiel: Série de Fourier généralisée • Supposons que nous ayons un jeu de fonctions {fn(t)}n=0,1,2,…,Noù • Si cn= 1 pour n’importe quelle valeur de n, on dit que le jeu est un jeu de fonctions orthonormales. Présentation 1

25. Série de Fourier généralisée • Prenons une fonction x(t). On veut approximer la fonction x(t) sur l’intervalle (to, to + T) par la fonction xa(t) qui est donnée par : • L’erreur quadratique moyenne (mean square error – MSE) est donnée par :

26. Série de Fourier généralisée • La meilleure approximation, xa(t), est la fonction qui minimise l’erreur quadratique moyenne.

27. Série de Fourier généralisée • le terme est 0 quand n ≠ i et c’est |Xn|2cn quand n = i. • Soit

28. Série de Fourier généralisée eN est minimisée quand Xn = (1/cn)yn.

29. Série de Fourier généralisée • Alors la meilleure approximation est • Où • Et

30. Exemple 2 Le signal x(t) = t2. Nous voulons trouver la meilleure approximation pour x(t) sur l’intervalle 0 ≤ t ≤ 1 avec les fonctions orthogonales démontrées ci-dessous. Trouvez et pour N = 2 et 3.

31. Exemple 2: Solution

32. Exemple 2: Solution eN diminue en augmentant N.

33. Introduction à la série de Fourier exponentielle complexe Il existe des jeux de fonctions orthogonales {fn(t)}-∞ ≤ n ≤ ∞, pour lequel l’approximation s’approche au signal originale sur l’intervalle to ≤ t ≤ to + T.

34. La fonction exponentielle complexe n est un entier La fonction est périodique avec période Tp. Donc Tp = m/nfo et la période fondamentale, Tf, est la plus petite valeur positive de Tp. Donc la période fondamentale est Tf = 1/|n|fo.

35. Orthogonalité et la constante cn Sur l’intervalle to ≤ t ≤ to+T, pour fo = 1/T. = Pour m≠n Pour m=n

36. La série de Fourier exponentielle complexe La série de Fourier exponentielle complexe du signal x(t) sur l’intervalle to ≤ t ≤ to + T est  où

37. La Série de Fourier exponentielle complexe pour les signaux périodiques • Considérons le signal sur l’intervalle -∞ ≤ t ≤ ∞. • Nous savons que les fonctions exponentielles complexes sont périodiques. • La période fondamentale d’une fonction exponentielle complexe est T/|n|. • La sommation des fonctions périodiques est aussi périodique s’il existe un plus petit commun multiple des périodes des fonctions individuelles. • Dans ce cas, le plus petit commun multiple des périodes est T.

38. La Série de Fourier exponentielle complexe pour les signaux périodiques 2 • est périodique avec période T = 1/fo. • La fréquence fondamentale est l’inverse de la période fondamentale, donc fo est la fréquence fondamentale. • Donc si x(t) est aussi périodique avec période T, =x(t) pour -∞ < t < ∞ • Alors un signal périodique, x(t), avec période T a une série de Fourier x(t) =

39. La Série de Fourier exponentielle complexe pour les signaux périodiques 3 • Nous pouvons déterminer les coefficients de Fourier en faisant l’intégral sur n’importe quelle période de x(t)

40. Exemple Trouvez la série de Fourier exponentielle complexe du signal périodique x(t)

41. Solution • Il faut déterminer • La période de x(t) ainsi que fo. • Les coefficients Xn • La série de Fourier

42. Solution 2 • Dans notre exemple, la période est 0.5, alors fo = 2. • Le jeu de fonctions est ej4pnt. • Alors

43. Solution 3 • Pour n = 0, nous avons X0 = 0/0.

44. Les propriétés de la série de Fourier exponentielle complexe • Supposons que le signal x(t) est un signal réel. • C'est-à-dire que Im{x(t)} = 0. • Le conjugué complexe du coefficient de Fourier Xn* est donné par :