Rotasi Benda Tegar

1. Rotasi Benda Tegar

2. TujuanPembelajaran • Mendefinisikangerakrotasibendategardengankoordinatsudut, kecepatansudutdanpercepatansudut • Menganalisarotasibendategarsaatpercepatansudutkonstan • Menganalisahubunganantararotasibendategardengankecepatandanpercepatan linier disuatutitikpadabenda • Menjelaskanarti momentum inersiasuatubendaterhadapsuatusumburotasidanmenghubungkannyadenganenergikinetikrotasi • Menghitungmomeninersiasuatubenda

3. Bab yang akandipelajari • KecepatandanPercepatanSudut • RotasidenganPercepatanSudutKonstan • EnergidalamGerakRotasi • TeoremaSumbuSejajar

4. Pendahuluan • Sebagianbesaralattransportasi yang kitagunakandalamkehidupansehari-harimenggunakanprinsipbendaberputar. Kendaraandaratsepertimobil, sepeda motor, bus, dansepedamenggunakanrodasebagaialatutamauntukbergerak. • Jikadikatakanbahwasuatubendamelakukangerakrotasi (berputar) makadalambenakkitaterbayangsuatugerakdenganlintasanberbentuklingkarandengansumbuputartertentu. • Salahsatuvariabelfisis yang berubahketikabendamelakukangerakrotasiadalahsudut. • Jikadalamgerak linier kitamemilikibesaranperpindahandanjarak yang dinyatakandalamsatuanpanjangmakadalamgerakmelingkarkitamemilikibesaranperpindahansudut yang diukurdalam radian atauderajat

5. Perhatikanilustrasiberikutini. Sebuahpiringan ban mobilmelakukangerakmelingkar. TitikPpadasaattberadapadaposisisudut1relatifterhadapsumbux.

6. Beberapasaatkemudian, titikPbergerakselamatsehinggaposisisudutnyaberubahmenjadi2. • Demikianjugadengangerakmelingkar, perubahanposisisudut yang dilakukansuatutitiksetiapwaktumenyatakanlajuperubahanposisisudutterhadapwaktu • Besaraninidisebutdengankecepatansudut

7. Kecepatan dan Percepatan Sudut • JikatitikPbergerakmelingkarselamaselangwaktutmakatitikPmenempuhbusursebesars

8. Kecepatan linier titikPdapatdituliskansebagai • Untukperpindahan linier yang sangatkecil, sds, makaperpindahanangularnya pun akankeciljuga, d

9. Hubunganantaraduabesaraninidinyatakandalampersamaanberikut • Denganradalahjari-jarilintasan yang ditempuholehtitikP

10. Jikakitamenyatakanposisi angular titikP padasaattadalah(t) danposisititikPsetelahbergerakselamatadalah(t + t), makaperpindahan angular titikPdapatkitatuliskansebagaiberikut:  = (t + t) – (t)

11. Lajuperubahansudut rata-rata titikPselamabergerakdalamselangwaktuthingga (t + t) adalah: • JikatitikPbergerakselamaselangwaktu yang sangatkecil, tdt, makakecepatankecepatansudutsesaattitikPdapatkitatentukanyaitu:

13. Hal iniberlakujugauntuksemuatitik yang beradapadapiringan • Artinyakecepatansudutsetiaptitikpadapiringan, bukanhanyatitikP, adalahsama • Kecepatansudutmerupakanbesaranvektordimanaarahgerakrotasisuatubendaadalahsepanjangsumbuputarnya • Arahkecepatansudutrotasidapatdiketahuidenganmenggunakanaturantangankanan

14. ArahPutar • jari-jaritangan yang menekukmenunjukkanarahputarbendasedangkanibujarimenunjukkanarahkecepatansudutnya. Contoh yang paling mudahditemuiadalahsekrup. ω

15. Arahputarrotasisuatubendamemilikitanda yang berlawananuntukarahputar yang berlawanan • Jikaarahputarrotasisearahjarum jam, makaarahputartersebutbertandanegatif • Jikaarahputarberlawanandenganarahjarum jam makaarahputartersebutbertandapositif -x -y -z

16. Perpindahansudutdiukurdalamsatuan radian dimanasatuputaransamadengan 2atausetaradengan 3600. Untukmengubahsatuanderajatmenjadi radian biasanyadigunakanpersamaanberikutini:

17. Perhatikan kembali dua persamaan awal, jika kita subtitusikan kedua persamaan tersebut, maka akan kita dapati hubungan

18. Dalamgerakmelingkar, dikenaljugabesaranlainnyayaitufrekuensidanperiode • Jarak yang ditempuhselamabendaberputarsatulingkaranpenuhadalahsamadengankelilinglingkaranyaitu 2r

19. Kecepatansudutbendamenyatakanseberapacepatbendatersebutmenempuhsatulingkaranpenuh. Dengandemikian, variabeltpadapersamaantidak lain adalahperiode • Frekuensidiukurdalamsatuan Hertz (Hz)

20. Denganmenggunakankecepatansudutbendamakakitabisamengetahuiposisisudutbendasetiapsaat.Denganmenggunakankecepatansudutbendamakakitabisamengetahuiposisisudutbendasetiapsaat. • Jikakitamenyatakanperubahansudutsebagaihasil kali antarakecepatan linier denganwaktukemudiandibagidenganjari-jarilintasanmakaakankitaperolehpersamaandisamping:

21. Padakasusgerakmelingkarberaturanmakakecepatansudutadalahkonstan.Padakasusgerakmelingkarberaturanmakakecepatansudutadalahkonstan. • Jika persamaan terakhir kita integrasikan, maka : • Inimerupakanpersamaanumummenyatakanperpindahan angular (sudut) untukgerakbendamelingkarberaturan

22. Rotasi dengan Percepatan Sudut Konstan • Jikasuatubendabergerakmelingkardengankecepatansudut yang tidakkonstanmakabendatersebutbergerakdenganpercepatansuduttertentu • Percepatansudut, α, didefinisikansebagailajuperubahankecepatansuduttiapsatusatuanwaktu

24. Secaramatematik, percepatansudutαdidefinisikansebagai • Percepatansudutsesaat, ataupercepatansudutsaja, adalahlajuperubahankecepatansudutsesaat

25. Padakasusgerakmelingkardenganpercepatansudutkonstanmakakecepatansudutbertambahsecara linier

26. Denganmenintegrasikanpersamaansebelumnya, diperolehposisisudutbendasetiapsaatyaitu

27. Relasi tersebut mirip dengan relasi pada kasuspersamaangeraklinear • Denganmenggunakananalogi yang samapadagerak linier • Jika kita mensubtitusikan dua persamaan sebelumnya, kita akan mendapatkan relasi:

28. Sebuahrodapejaldenganjari – jariRberputarpadasumbuputarnyadengankecepatansudut • SebuahtitikPberadapadajarakrdarititikpusat • Rodaberputardenganpercepatansudut α ω P

29. TitikPmengalamipercepatan radial yang besarnyasamadengan ω P

30. EnergidalamGerakRotasi • Setiapbenda yang bergerakselalumemilikienergikinetik • Padabenda yang bergerakmelingkar, setiaptitikpadabendatersebutbergerakdengankecepatan linier yang berbeda-beda

32. Jikaenergikinetiktitikke – iadalah ½ mivi2makaenergikinetik total bendaadalah:

33. Karenabendabergerakmelingkarmakasetiaptitikpadabendatersebutjugabergerakmelingkardengankecepatansudut yang sama, . Kecepatan linier setiaptitikdapatditentukandenganpersamaan: vi = ri

34. Dalam kasus gerak melingkar, dengan mensubtitusikan kecepatan sudut, maka kita dapati : • Persamaan ini kita kenal dengan nama energi kinetik rotasi

35. Perhatikan bahwa disini kita mengenal adanya momen inersia • Momen inersiamenyatakantingkatresistensibendaterhadapgaya yang membuatnyaberputar

36. Namununtukbenda-benda yang memilikibentukdandistribusimassatidakmeratamakauntukmenentukanmomeninersiabendatersebuttidakcukuphanyadenganpersamaan ½ mr2. • Makaenergikinetikrotasidapatdituliskankembalidalamnotasi yang lebihkompaksepertiberikutini

37. TeoremaSumbuSejajar • Untuksistembendakontinum, selaindipengaruhiolehdistribusimassamomeninersiasuatubendadipengaruhijugaolehbentukbendatersebut • Perhatikan kembali perumusan umum momen inersia • Terlihatbahwamomeninersiatiada lain merupakanpenjumlahanelemenmassadikalidenganjarakmasing-masingelementersebutkesumburotasi.

38. Jikakitamengambilelemenmassa yang sangatkecil, midmimakapersamaandapatkitatuliskansebagaiberikut

39. Karena persamaan tersebut cukup sulit untuk ditentukan secara analitik, Kita akanmenggunakanvariabel lain untukmenyatakanvariabeldm • Sepertikitaketahui, massasuatubendaberhubunganmassajenisnya

40. Elemenmassadmdapatdisubstitusidengan (r) dVsehinggakitaperoleh • Massa jenisbendasamadenganmassajeniselemen-elemennyadannilainyaselalukonstan • Integral padapersamaandiatasmenunjukkan integral volume untukbendaberdimensitiga.

41. Untukbendaduadimensi yang memilikirapatjenis, momeninersiabendatersebutdapatdinyatakandenganpersamaan

42. Untukbendasatudimensi yang memilikirapatjenis, momeninersiabendatersebutdapatdinyatakandenganpersamaan

43. Adasatucaralagi yang seringdigunakanuntukmenghitungmomeninersiabendayaituteoremasumbusejajar • Teoremainimenghubungkanmomeninersiaterhadapsumbu yang melaluipusatmassabendadenganmomeninersiaterhadapsumbukedua yang sejajardengansumbupertama

44. Secaramatematikteoremainidapatdituliskansebagaiberikut I = Ipm + Mh2 • Yang manaMmenyatakanmassa total benda • Ipmmenyatakanmomeninersiabendaterhadapsumbupusatmassa • Imenyatakanmomeninersiabendaterhadapsumbusejajar yang berjarakhdarisumbupusatmassa

45. Kita dapatmembuktikanrelasipadapersamaanTeoremaSumbuSejajar • Energikinetiksuatusistempartikeladalahpenjumlahanenergikinetikpusatmassaditambahdenganenergikinetikrelatifterhadappusatmassa. EK = ½ MV2pm+ EKrelatif

46. Perhatikan, sebuahbendategardiputarpadasumbu yang berjarakhdaripusatmassanya

47. Jikabendaberputardanmenempuhsudutmakabendaakanberputardanmenempuhsudut yang samaketikadiputardengansumbuputar yang berjarakhdaripusatmassa • Gerakanrelatifbendaterhadappusatmassaadalahrotasiterhadapsumbupusatmassadengankecepatan angular yang samayaitu

48. Energikinetikdarigerakanrelatifiniadalah • Kecepatanpusatmassarelatifterhadapsetiaptitikpadasumbuputar: EKrelatif = ½ Ipm2 Vpm = h

49. Dengandemikian, energikinetikpusatmassaadalah: • Jadienergikinetik total bendaadalah: EKpm = ½ MVpm2 = ½ M (h)2 EKpm = ½ Mh22 EKtotal = ½ Mh22 + ½ Ipm2 EKtotal = ½ (Mh2 + Ipm)2

50. Mengacupadapersamaanumumenergikinetikrotasi, EKrotasi = ½ I2makasukudalamkurungmenunjukkanmomeninersiabenda. EKtotal = ½ Mh22 + ½ Ipm2 EKtotal = ½ (Mh2 + Ipm)2