Die goldenen Linien auf dem Geobrett und das ägyptische Dreieck

1. Horst Steibl, TU Braunschweig GDM-Tagung Berlin 2007 Die goldenen Linien auf dem Geobrett und das ägyptische Dreieck Wie Tim und Tom, die Winkelwichtel, helfen, den Durchblick zu behalten Horst Steibl

2. C Die Aufgabe: P Q M A B L Falten Sie in einem quadratischen Blättchen die gezeichneten Linien exakt durch Punkt-auf-Punkt-Faltung und beweisen Sie, dass die gefärbten Dreiecke ägyptische Dreiecke sind. Erlaubte Hilfsmittel: Winkelsumme im Dreieck, Strahlensätze, Ähnlichkeit, Horst Steibl

3. Die Diagonale im Doppelquadrat S Halbiere das Quadrat längs einer Mittellinie. Du erhältst zwei Rechtecke, deren lange Seiten doppelt so lang sind wie die kurzen. Man bezeichnet es auch als Doppelquadrat. B In Jedem Rechteck gilt: Um die Diagonale zu falten, faltet man zunächst die Mittelsenkrechte der Diagonale. Bringt man dann die Endpunkte dieser Faltlinie aufeinander, so erhält man die Diagonale. P M Die diagonale Raute im Rechteck Horst Steibl

4. Die goldenen Linien im Quadrat Dies Verbindungslinie eine Seitenmitte des Quadrates mit einem nicht benachbarten Eckpunkt bezeichne ich als goldene Linie im Quadrat. 5/4 1² Berechnet man die Länge dieser Strecke im Einheitsquadrat , so ergibt sich: (1/2)² g = ½*Ö5 = 1,618... t = ½ + ½*Ö5 Somit lässt sich hiermit die Konstante t des goldenen Schnittes konstruieren Horst Steibl

5. Das 3. Elementardreieck Dieses Dreieck, dessen Katheten im Verhältnis 1 : 2 stehen heißt auch nach Platon: Elementardreieck Nr 3 Man kann sie zum Quadrat mit Loch umlegen und damit etwa ausgehen vom 10 * 10 Quadrat die Länge von g elementar berechnen ~: A = (1 + ¼) Beim Versuch, solche Quadrate mit Loch zu legen (es gibt noch eine 2. Möglichkeit), kann sich folgendes ergeben: Horst Steibl

6. Das goldene Rechteck Es entsteht ein Rechteck mit Loch, dessen Seiten im Verhältnis des goldenen Schnittes stehen. Für das Loch gilt das gleiche. Hans Walser´s goldene Spirale Horst Steibl

7. Figuren aus vier Dreiecken Grundfiguren: Quadrat, Rechteck. Raute, Trapez Parallelogramm Spiegelachsen Figuren mit Loch Drehsymmetrie Horst Steibl

8. Die Knautsche Figur Wie viele goldene Linien sind das? Zeichnet (oder faltet) man alle 8 goldenen Linien im Quadrat, so entsteht eine ansprechende Sternfigur: die Knaut´sche Figur Horst Steibl

9. Die Knaut´sche Figur auf dem Geobrett Horst Steibl

10. Das Parallelogramm und der Drachen als erzeugende Elemente der Knaut´schen Figur Horst Steibl

11. Vierecke aus den goldenen Linien 1/5 1/3 1/4 ½ - 1/12 –3/20= 4/15 1 – 3* 1/8 – 2* 4/20 = 9/40 ½ - 1/12 –1/8 = 7/24 Horst Steibl

12. Der Drittelpunkt Schnittpunkte Es gibt drei Klassen von Schnittpunkten Diagonalen des Rechtecks In welchem Verhältnis schneiden sich diese goldenen Linien hier ? Die Diagonalen im Trapez teilen einander im Verhältnis der parallelen Seiten Das Verhältnis heißt hier 1 : 2 Damit können wir das Blatt in 9 Quadrate zerlegen Der Punkt drittelt jede Querlinie , die von einer Seite zur Gegenseite geht Horst Steibl

13. Der Fünftel-Punkt g1 und g2 schneiden sich im rechten Winkel Im rechtwinkligen Dreieck teilt die Höhe auf die Hypotenuse dieses in zwei zum Ausgangsdreieck ähnliche Dreiecke 4 3 2 Sie teilt diese im Verhältnis der Quadrate der Katheten 1 Damit haben wir gezeigt, dass diese 3 g-Linien ein ägyptisches Dreieck bestimmen. Später dazu mehr. 5 4 3 Falten Sie ein 5 + 5 Feld ohne aufzurollen! Nicht durch den Punkt, sondern auf den Punkt falten Horst Steibl

14. Die Höhe im rechtwinkligen Dreieck Der Höhensatz lautet: h² = p * q q² + h² = a²; p² + h² = a² q² + p*q = a² P² + p*q = b² q(q + p) = a² p(p + q) = b² q : p = a² : b² Horst Steibl

15. Das 25-er Feld 4 Der Schnittpunkt bestimmt lotrecht einen 2-er-Streifen und einen 3-er-Streifen. Halbiere zuerst den 2-er-Streifen Nun hast du ein Feld, das 4 Streifen breit ist. Halbiere dieses. Du bekommst zwei 2-er-Streifen. Halbiere zunächst den äußeren. Als letztes knickst du die Linie durch den Teilungspunkt (4-er-Streifen halbieren)! 4 Quer: Halbiere die Viererstreifen; dann den unteren 2-er-Streifen. Falte von oben auf die unteren Knick(4=2 +2). Halbiere den untere 2.er-Streifen. Die letzte Faltlinie geht wieder durch den Teilungspunkt. Horst Steibl

16. Bruchteile 1/6 * ½= 1/12 1/10 * ½= 1/20 1/3 * 1/4 = 1/12 Horst Steibl

17. Die ägyptischen Dreiecke Lage im Punktgitter? Woran erkennt man sie? 3 : 4 : 5 R; 3 : 4 R; 4 : 5 arctan(4/3) = 53,130...° arctan(3/4) = 36,869...° R und einen zweiten ägyptischen Winkel!! sehr krumm Horst Steibl

18. Tim und Tom in ihren Kammern tan (Tom) = ½ 5, 11, 14 - Kammer Tom: Der spitzere Winkel im diagonal halbierten Doppelquadrat 5, 10, 11 - Kammer Tim + Tom = ½ R Horst Steibl

19. Die Doppelkammern Tim hat einen Zwillingsbruder, Timm mit zwei m. Wenn der zu Besuch kommt, schlafen sie in der Tim-Timm Ecke. m Der Zwillingsbruder von Tom kommt auch ab und zu. Jetzt kann man gut sehen,dass sie etwas breitere Hüte haben als die Tims. Das ist also die Tom-Tom-Ecke Horst Steibl

20. Zerlege und du findest das Zauberwort oiio oi iooi o ii oiiooi oo oiioo iio ooi P ES A N K R A T I U S Horst Steibl

21. Die Winkel des ägyptischen Dreiecks oo oo ii ii Das (10,11,11-D) Das (7,11,11)-D o o i Genau dann ist ein rechtwinliges Dreieck ein pythagoräisches 3,4,5 –Dreieck, wenn es einen oo-Winkel oder einen ii-winkel hat. i i i o o o i i o Horst Steibl

22. Lösung unserer Aufgabe Augenscheinlich! Zwei lotrecht aufeinander stehende Geradenpaare schneiden sich unter gleichen Winkeln Horst Steibl

23. Trigonometrischer Einschub a = arc tan (4/3) o o o = arc tan (1/2) 4 2 a= oo a = 2 * o 3 1 arc tan 4/3 = 2* arc tan 1/2 Horst Steibl

24. Das pythagoräische Dreieck aus dem Doppelquadrat Nach einem Vorschlag von Hans Walser Hier ist in einem Doppelquadrat, also einem Rechteck mit den Seitenverhältnissen 1 : 2 eine Ecke auf die Gegenecke gefaltet. Damit haben wir die Mittelsenkrechte der Diagonale gefaltet. o o ii o Betrachten wir den Rechteckwinkel unten links: Also muss des blaue Dreieck ein ägyptisches Dreieck sein Für den Dreieckswinkel bleibt ein Tim-Tim-Winkel übrig! Horst Steibl

25. Der Satz von Haga Faltet man in einem Quadrat eine Ecke auf eine gegenüberliegende Seitenmitte, so sind die drei überstehenden Dreiecke pythagoräische (3,4,5)-Dreiecke oo ii ii Falte die Mittelsenkrechte der Diagonale des rechten Doppel-quadrates und die Diagonale ii ii Horst Steibl

26. Pyth aus dem Doppelquadrat Vertauschen der Funktion: Diagonale Mittelsenkrechte 2 : 1 = 1 : ½ a 4 : 2 = 2 : 1 ´ c ´ a= ½ (4 – 1) = 1 ½ b´ 8 : 4 = 4 : 2 a´ = ½ (8 – 2) = 3 b´= 4 c´ = a´+ 2 = 5 Horst Steibl

27. Maße des Rechtecks? Faltet man in einem Rechteck mit Seitenverhältnis u : v (u > v) die Diagonale und ihre Mittelsenkrechte (in umgekehrter Reihenfolge) und vertauscht ihre Funktion, so kommt man zu einem ähnlichen Rechteck. Es handelt sich um ein Drehstreckung a = 90° und p = v/u. Wie kann ich die Maße des Rechteckes aus den gegebenem Verhältnis berechnen? Geht das auch bei anderen Rechtecken? Ergeben sich da auch pythagoräische Dreiecke? Die Seiten des entsprechenden Dreiecks stehen bei ganzzahligem Verhältnis der Rechteckseiten dann immer im Verhältnis eines pytagoräischen Zahlentripels. Horst Steibl

28. Das indische Dreieck 3 : 2 Tauschen der Funktion: Diagonale - Mittelsenkrechte 3 : 2 = 2 : x x = 4 / 3 a = 5 b = 12 3 : 2 = 2 : 4 / 3 c = 5 + 8 = 13 9 / 6 = 6 / 4 (9 – 4)/2 = 5/2 25 + 144 = 169 y = 5/2 18 : 12 = 12 : 8 Ist u : v das ganzzahlige Verhältnis der Rechteckseiten, u > v und u – v ungerade, so erweitere man die Verhältnisse der Rechtecke mit 2u. Auf diese Weise erhält man die Maße des gesuchten Rechteckes. x ´= 8 y´ = 5 y x x´+y´= 13 x + y Horst Steibl

29. „erweitere“ mit 2 * u = 2 * 7 Rechteck 7 : 4 7 : 4 = (7 * 2*7) : (4 * 2*7) = 98 : 56 Rechtecksmaße 56 * (4 /7) = 32 kurze S. kl. Re. (98 – 32) /2 = 33 Kathete 65 32 + 33 = 65 Hypotenuse 56 33² + 56² = 65² 32 1089 + 3136 = 4225 33 98 Sind u und v die Parameter des Seitenverhältnis mit u > v und u, v gekürzt und u – v nicht gerade so gilt a : b : c = (u² - v²) : 2u : (u² - v²) Horst Steibl

30. Berechnung der Zahlentripel: Verhältnis u : v Die kurze Seite x des drehgestreckten Rechtecks berechnet sich zux = v * v / u = v²/u Damit ergibt sich für den Abschnitt y y = 1/2 ( u - x) = 1/2 ( u - v²/u) Setzen wir die Seiten y, v und z des pythagoräischen Dreiecks ins Verhältnis:y : v : z = 1/2 ( u - v²/u)      :   v   :   (v²/u) + 1/2 ( u - v²/u) "erweitern" wir diese Terme mit 2u so ergibt sich y : v : z = (u² - v²)     :    (2*u*v )    :     (u² + v²) Horst Steibl

31. Hans Walserhttp://www.math.unibas.ch/~walser/Miniaturen Hans Walser, (20060812) Trigonometrie im Schachbrett, Hans Walser, pythagoräische Dreiecke, 8th International Conferenc on Geometrie Part 2´ Hans Walser, (20060408b) Falten von Rechtecken Alfred Hoehn, Der wiedergefundene Schatz Horst Steibl, Das Geobrett im Unterricht, Franzbecker, 2006 Horst Steibl, Geometrie aus dem Zettelkasten, Franzbecker, 1999 http://www.alfredhoehn.ch/wiedergefundene%20Schatz.pdf http://www.madin.tu-bs.de/homepage/steibl/Startseite.html http/Miniaturen/ Horst Steibl

32. Rechtecke mit irrationalen Seitenverhältnissen Horst Steibl

33. Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit Horst Steibl

34. Ein Achteck? 180°: o ii oo ii o Horst Steibl

35. s. Hans Walser Dreiecksmetamorphosen Horst Steibl