J. Mauricio López R.

1. Statistical Analysis of Measurements (time domain) J. Mauricio López R. CENAM Time and Frequency Division

2. OUTLINE 1. Introduction 2. Time and Frequency Measurements 3. Allan Variance (AVAR) 4. AVAR uncertainty 5. Trazability 5. Time Deviation

3. Introduction

4. Real Clocks There not exist the perfect clock, all the real clocks are unestable. The output frequency of a clock changes with time. A correct mathematical tool is needed to characterise the frequency instability of oscillators.

5. +A -A A: amplitude : frequency t: time Mathematical model for ideal frequency signal

6. Quartz oscillators are a very common equipment to produce frequency signals but their frequency output could be more or less instable as function of many parameters

7. V(t) =[V0 + (t)] sen[20t + (t)] tiempo V(t) = V0 sen(20t) tiempo Mathematical model for real (instable) frequency signals

8. Exactitud y Estabilidad Ni exactitud ni precisión Precisión sin exactitud Exactitud sin precisión Exacto y preciso f f f f 0 Tiempo Tiempo Tiempo Tiempo Alta exactitud a largo tiempo e inestable a corto tiempo Estable de baja exactitud Inestable de baja exactitud Alta estabilidad y alta exactitud

10. Standard deviation to specify frrequency satbility

11. Time and Frequency Measurements

12. Direct Frequency Measurement PC Automatic data adquisition system Device Under Test Frequencymeter Frequency Standard Método de medición directa de frecuencia Frecuencia Patrón para amarrar en frecuencia al contador Frecuencia Bajo Calibración

14. Mediciones de Diferencia de Fase Interface de Comunicación Frecuencia Patrón para amarrar en frecuencia al contador Contador de Intervalos de Tiempo Frecuencia Bajo Calibración Frecuencia Patrón para la calibración Método de medición de diferencia de fase

18. Allan Variance

19. The Allan Variance is a statistical tool used for the time domain analysis of time and frequency measurements to estimate the noise behind measurements and to determine the stability of an oscillator under calibration. La Varianza de Allan es la herramienta usada para el análisis en el dominio del tiempo de mediciones de Tiempo y Frecuencia siendo un estimador de la dispersión de las mediciones, determinando así, la estabilidad del oscilador bajo calibración.

20. Concepto de la Varianza de Allan Frecuencia Fase

21. Varianza de Allan para Mediciones de Frecuencia donde: Varianza de Allan Número de datos espaciados t0 Tiempo de observación = mt0 i-ésima medición de fase =2n cálculos posibles

22. Varianza de Allan para Mediciones de Diferencia de Fase donde: Varianza de Allan i-ésima medición de fase Número de datos espaciados t0 Tiempo de observación = mt0 =2n cálculos posibles

23. Barras de Incertidumbre

24. Distribución X2 Distribución c2 Para df < 100 donde: Estimado de la Varianza de Allan Número de grados de libertad Varianza de Allan verdadera

25. Barras de incertidumbre Barra Superior Barra Inferior Tablas 2

26. Tabla 2

27. Barras de incertidumbre Para df > 100

28. Barras de incertidumbre Para df > 100 Barra Superior Barra Inferior donde:

29. Número de Grados de Libertad White Phase Flicker Phase White Frquency Flicker Frequency Random Walk Frequency NBS Technical note 679

30. Dependencia temporal de y() Por debajo del ruido “fliker”, los cristales de cuarzo tipicamente tienen una dependencia -1 (white phase noise). Los patrones atómicos de frecuencia muestran una dependencia del tipo -1/2 (white frequency noise) para tiempos de promediación cercanos al tiempo de ataque del lazo de amarre, y -1 para tiempos menores del tiempo de ataque. Tipicamente los ’s para el ruido flicker son: 1 s para osciladores de cuarzo, 103s para relojes de rubidio y 105s para Cesio. 4-25 -1 y() -1 12 -12 0 Tipo de ruido: White phase Flicker phase White freq. Flicker freq. Random walk freq.

31. Ejemplos de cálculo de varianza de Allan

35. NIST Special Publication 1065

37. NIST Special Publication 1065

38. Incertidumbre de medición

39. La pendiente del gráfico ofrece información sobre la diferencia fraccional de frecuencia “promedio” entre los osciladores

40. La desviación de los datos experimentales respecto a la línea recta que mejor los representa ofrece información sobre la incertidumbre en la desviación fraccional de frecuencia

41. 0 La desviación de los datos experimentales respecto a la línea recta que mejor los representa ofrece información sobre la incertidumbre en la desviación fraccional de frecuencia

42. 1 La desviación de los datos experimentales respecto a la línea recta que mejor los representa ofrece información sobre la incertidumbre en la desviación fraccional de frecuencia

43. 3 La desviación de los datos experimentales respecto a la línea recta que mejor los representa ofrece información sobre la incertidumbre en la desviación fraccional de frecuencia

44. La desviación de los datos experimentales respecto a la línea recta que mejor los representa ofrece información sobre la incertidumbre en la desviación fraccional de frecuencia

45. Frecuencia del oscilador Frecuencia de referencia Factor de cobertura k=2

46. - 9 - 11 White PM o flicker PM s log - 13 y White FM - 15 Fli cker FM Random walk FM - 17 1 0 3 5 7 2 4 6 8 t log Dominio de la frecuencia Dominio del tiempo y2 ()   =-2 Random walk frequency =-1 Flicker frequency =0 White frequency =+1 Flicker phase =+2 White phase • = -1 Random walk frequency • = -1 Flicker frequency • = -1/2 White frequency • = 0 Flicker phase •  = +1/2 White phase

47. Varianza de Allan vs Varianza Estándar White phase Random walk frequency Varianza estándar Flicker frequency White frequency Varianza de Allan Flicker phase =--1

48. Traceability

49. Concepto de Trazabilidad BIPM u´0 u0 NMI 1 NMI 2 u1 u´1 Labs. Sec. Labs. Sec. u2 u´2 Labs. Ind. Labs. Ind.

50. Concepto de Trazabilidad BIPM u´0 u0 NMI 1 NMI 2 u1 u´1 Labs. Sec. Labs. Sec. u2 u´2 Labs. Ind. Labs. Ind.