Vetores

1. Vetores

2. Grandeza Vetorial • Algumas vezes necessitamos mais que um número e uma unidade para representar uma grandeza física. • Sendo assim, surgiu uma representação matemática que expressa outras característica de uma grandeza. O VETOR

3. Sentido Direção da Reta Suporte Módulo O que é um Vetor? • É um ente matemático representado por um segmento de reta orientado. E tem algumas características básicas. • Possuí módulo. (Que é o comprimento da reta) O módulo de um vetor é indicado utilizando-se duas barras verticais. |A| (Lê-se: módulo de A) • Tem uma direção. • E um sentido. (Que é pra onde a “flecha” está apontando).

4. V F Representação de uma Grandeza Vetorial • As grandezas vetoriais são representadas da seguinte forma: a letra que representa a grandeza, e uma a “flechinha” sobre a letra ou escritas em negrito. d

5. a r b s a = b O vetor a é igual ao vetor b. Comparação entre vetores • Vetores Iguais Mesmo Módulo Mesma Direção Mesmo Sentido

6. a r b s c t Sobre os vetores b e c podemos afirmar: Tem o mesmo módulo, mesma direção mas sentidos opostos. a = b = - c O vetor c é oposto aos vetores a e b. Comparação entre vetores • Vetores Opostos

7. Soma Vetorial • Através da soma vetorial encontramos o vetor resultante; • O vetor resultante seria como se todos os vetores envolvidos na soma fossem substituídos por um, e este tivesse o mesmo efeito; • Existem duas regras para fazer a soma vetores.

8. b a c Determinarmos a soma a + b + c Regra do Polígono • É utilizada na adição de qualquer quantidade de vetores. • Exemplo: Para isto devemos posicionar cada vetor junto ao outro de forma que a extremidade de um vetor coloca-se junto à origem do outro. E o vetor soma, ou também chamado vetor resultante, será o vetor que une a origem do primeiro com a extremidade do último, formando assim um polígono.

9. S a c b Fazendo a Soma através da Regra do Polígono

10. a b Determinar a soma a + b. Regra do Paralelogramo • É utilizada para realizar a adição de apenas dois vetores. • Exemplo: Para isto devemos posicionar a origem dos dois vetores no mesmo ponto e traçar uma reta paralela a cada um passando pela extremidade do outro. E o vetor soma, ou também chamado vetor resultante, será o vetor que une a origem dos dois vetores com o cruzamento das duas retas paralelas a cada vetor, formando assim um paralelogramo.

11. Reta Paralela ao vetor b e que passa pela extremidade do vetor a. R a Reta Paralela ao vetor a e que passa pela extremidade do vetor b. α b 2 R = a + b + 2.a.b.cos α 2 2 Regra do Paralelogramo E o módulo, ou seja, o valor desse vetor resultante será dado por:

12. 3º ) α = 90º S = a + b 2 2 2 Regra do Paralelogramo: Casos Particulares 2º ) α = 180º S = a - b 1º ) α = 0º S = a + b Sendo assim, qualquer que seja o ângulo entre os dois vetores o valor da resultante será: | a – b | ≤ R ≤ |a + b|

13. Leis dos senos e cossenos

14. b a Realizar a subtração, a – b, é como somar a mais um vetor de mesma intensidade, mesma direção mas de sentido oposto ao do vetor b originalmente representado. Na realidade, estaremos fazendo a adição do vetor a com um vetor oposto ao vetor b ( a + (-b) ). Subtração de vetores • Considere os dois vetores a seguir:

15. R a - b Fazendo a Subtração de Vetores

16. MULTIPLICAÇÃO DE UM VETOR POR UM NÚMERO REAL Ao multiplicarmos um vetor qualquer (A) por um número real (n) positivo ou negativo, inteiro ou fracionário, obtemos como resultado um vetor produto (P), com as seguintes condições: • O módulo do vetor P é igual a n x |A|. • A direção é a mesma de A. • O sentido é igual ao de A se n for positivo ou sentido oposto ao de A se n for negativo.

17. A Divisão de um vetor pelo seu módulo Ao dividirmos um vetor qualquer (A) pelo seu módulo |A| obtemos como resultado um vetor unitátrio (â), com as seguintes propriedades: • O módulo do vetor â é igual a 1. • A direção é a mesma de A. • O sentido é igual ao de A se â for positivo ou sentido oposto ao de A se n for negativo.

18. Decomposição de um vetor

19. Estática

20. Componentes Cartesianas de uma Força • Em muito dos problemas envolvendo forças, é muitas vezes imprescindível a decomposição desta força segundo eixos ortogonais entre si(normalmente x e y). • Na figura é ilustrado a decomposição da força F em duas componentes ortogonais Fx e Fy. Essas componentes são denominadas componentes cartesianas.

22. Vetores Unitários • É conveniente agora definir dois vetores paralelos aos eixos x e y, orientados no sentido positivo dos eixos e de intensidade 1. • Esses vetores, chamados de unitários, são representados por i e j, respectivamente. • Convém observar que as componentes cartesianas Fx e Fy podem ser obtidas pela multiplicação dos vetores unitários por escalares apropriados (figura 3.2), podendo portanto escrever: Fx = Fxi e Fy = Fyj

23. Logo: F = Fxî+ Fyj

24. Vetores Unitários • Os escalares Fx e Fy podem ser positivos ou negativos, pois dependem do sentido de F e seus valores em módulo são iguais as intensidades das componentes Fx e Fy. • Os escalares Fx e Fy são chamados de componentes escalares da força F, enquanto as componentes Fx e Fy são chamadas de componentes vetoriais da força F. • As componentes escalares de F podem ser expressas da seguinte forma, onde q representa o ângulo entre F e o eixo x, medido no sentido antihorário: Fx= F cosqFy= F senq

25. Vetores Unitários • Os escalares Fx e Fy podem ser positivos ou negativos, pois dependem do sentido de F e seus valores em módulo são iguais as intensidades das componentes Fx e Fy. • Os escalares Fx e Fy são chamados de componentes escalares da força F, enquanto as componentes Fx e Fy são chamadas de componentes vetoriais da força F.

26. Exercício 1 • Determine as componentes horizontal e vertical da força P para o sistema abaixo.

27. Exercício 2 • Determine a resultante do sistema de forças abaixo.

28. Exercício 3 • Atuam simultaneamente no pino da figura abaixo três forças, determine a resultante destas forças.

29. Exercício 4 • Se a força resultante precisa atuar ao longo do eixo u positivo e ter uma intensidade de 5 kN, determine a intesidade de FB e sua direção θ.

30. Bibliografia • Beer, F. P.; JOHNSTON JR, E. R.; EISENBERG, E. R.Mecânica vetorial para engenheiros: estática. 7.ed. SP: McGraw Hill - Artmed, 2006. • CRAIG JR, R. R. Mecânica dos materiais.2. ed. RJ: LTC, 2002. • HIBBELER, R. C. Estática: mecânica para engenharia. v.1.12. ed. SP: Pearson, 2011. • RESNICK, R.; HALLIDAY, D.; MERRILL, J. Fundamentos de física. Vol.1. 8 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009. • SEARS, ZEMANSKY & YOUNG, Eletromagnetismo. Vol I. 10 ed. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2006. • TIPLER, Paul A.; MOSCA, Gene.. Física: Eletricidade, Magnetismo e Ótica. Vol. I. 6 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009.