Funciones.

1. Funciones. Presentado por: Steffany Serebrenik, Hellen Kreinter y David Castañeda Presentado a: Patricia Cáceres Colegio Colombo Hebreo Grado Décimo Área de Matemáticas

2. Funciones Generalidades. Clases ¿Qué es? Representación Dominio, rango, puntos de corte con x y con y Funciones: inyectivas, biyectivas y sobreyectivas Funciones pares e impares. Referencias de consulta.

3. ¿Qué es una función? • Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. • El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia x^n de la variable x. • Una función f de A en B es una relación que le hace corresponder a cada elemento “x” A uno y solo un elemento “y” B, llamado imagen de x por f, que se escribe y=f (x). • Por tanto para ser función debe cumplir 2 condiciones: • Todo elemento del conjunto de partida A debe tener imagen. • Esta imagen debe ser única. • El conjunto formado por todos los elementos de B que son imagen de algún elemento del dominio se denomina conjunto imagen o recorrido de f.

4. Formas de representar una función. x 1 2 3 4 5 … y 11 12 13 14 15…

5. A

6. Crecimiento La función es creciente cuando al aumentar los valores de X, aumenta Y. Ej.: La función es decreciente, cuando al aumentar los valores de X, disminuye Y. Ej.:

7. Funciones inyectivas d e g h Este tipo de función cumple la condición de que a cada valor del conjunto A (dominio) le corresponde un valor distinto en el conjunto B (imagen) de f . Es decir, a cada elemento del conjunto A le corresponde un solo valor tal que, en el conjunto A no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen.

8. d e g Funciones sobreyectivas. Este tipo de función se da cuando todo elemento de "Y" es la imagen de como mínimo un elemento de "X".

9. Funciones biyectivas. Este tipo de función se da cuando es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva. Para ser más claro se dice que una función es biyectiva cuando todos los elementos del conjunto de partida en este caso (x) tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, que es la regla de la función inyectiva. sumándole que cada elemento del conjunto de salida le corresponde un elemento del conjunto de llegada, en este caso (y) que es la norma que exige la función sobreyectiva. d e f h

10. Función par El término función par suele referirse a una clase especial de funciones de variable real: una función es una función par si para x se cumple la relación: . Es decir es una función cuadrática o polinomica de grado par incompleta que solo tiene c , un ejemplo de estas es: Simétricas con respecto al eje Y.

11. Función Impar Es una función donde se cumple que: En la que para todo x perteneciente al Dominio de D Simétricas con respecto al eje de las coordenadas.

12. Exponencial Racional Por Partes o a Trozos Polinómica Valor Absoluto Clases de funciones. Trigonométricas Logarítmica

13. Función Polinomica. Función de Grado impar. Constante. Función de Grado par. Función lineal. Función Cuadrática. Función Cubica.

14. Funciones Polinómicas Son aquellas que surgen de evaluar los polinomios sobre las variables en las que están definidos. Dominio= Conjunto de Salida= IR Conjunto de llegada=IR Según el grado del polinomio las funciones Polinómicas pueden clasificarse en:

15. Funciones de grado par Son funciones en las que el máximo grado de un término de la ecuación es un número par. Está dada por la ecuación: Conjunto de salida=Dominio=IR Conjunto de llegada=IR Rango =(depende de los máximos y mínimos que tenga la función) Ejemplo : Función cuadrática Punto de corte con y= -1 Puntos de corte con x={1,-1} Vértice= (0,-1) Conjunto de salida=Dominio=IR Conjunto de llegada =IR Rango=(-1, ∞ ) F(x) ≥0 en x ( - ∞.-1) U (1, ∞) F(x) ≤0 en x (-1,1)

16. Funciones de grado impar Son funciones en las que el máximo grado de un término de la ecuación es un número impar . Está dada por la ecuación: Conjunto de salida=Dominio=IR Conjunto de llegada=IR Rango =IR excepto en la lineal constante. Ejemplo : Función cúbica Punto de corte con y= 1 Punto de corte con x=-0.7 Conjunto de salida=Dominio=IR Conjunto de llegada =IR= Rango F(x) ≥0 en x ( -0.7, ∞) F(x) ≤ 0 en x (- ∞,-0.7)

17. Función lineal. Lineal. Generalidades. Afín. Idéntica. Conclusiones.

18. Generalidades • x-y son variables • m se denomina pendiente e indica el grado de inclinación de la recta. • m se halla a través de la expresión: Dominio= Conjunto de Salida= R Rango= R (a excepción de la constante). Conjunto de llegada=R CABE ANOTAR QUE : si m > o: la función es creciente si m < 0:la función es decreciente si m = 0 : la función es constante La Función lineal es una función polinómica Indica el punto de corte con y Y por tanto el desplazamiento vertical.

19. Lineal. • La función lineal esta definida por la ecuación: • En esta función el punto de corte con x y con y se da en la coordenada (0,0). • Dominio=Conjunto de salida= IR • Rango=Conjunto de llegada= IR

20. Afín. La función Afín es un tipo de función lineal que tiene un desplazamiento vertical, esta dada por la ecuación: EJEMPLO: y=2x+3 Dominio= Conjunto de Salida= R Rango=Conjunto de llegada=R Punto de corte con y=n PUNTO DE CORTE CON Y=3

21. Constante. La función constante es un tipo de función lineal, en la que los elementos del dominio se relacionan con un único elemento del conjunto de llegada. La podemos representar como una función matemática de la forma: donde a pertenece a los números reales. Ejemplo: Y= 3 • Dominio=Conjunto de Salida= IR • Conjunto de llegada= IR • Rango= {a} • Punto de corte con Y= a.

22. Idéntica. La función idéntica es una clase de función lineal donde a cada número del eje y le corresponde el mismo número en el eje x, es decir, que las dos coordenadas de cada punto son idénticas . EJEMPLOS: Esta dada por la ecuación: Rango = Conjunto de llegada = IR Dominio= Conjunto de salida=IR

23. Conclusiones. • La principal diferencia entre función lineal y función lineal Afín es que la primera no tiene desplazamiento mientras que la otra sí. • La principal diferencia entre la función lineal y la función constante es que esta última cumple la condición de que para todo elemento del dominio la imagen es la misma. • La principal diferencia entre la función lineal y la función lineal idéntica es que en esta última la pendiente siempre es igual a 1 y en la otra puede variar.

24. Función Cuadrática. Es un tipo de función polinómica que se define mediante un polinomio de segundo grado y se expresa como: Es una de las funciones mas estudiadas en los diferentes campos, debido a sus propiedades simétricas y a su presencia en la naturaleza. La grafica que forma se le da el nombre de parábola y en ella hay un eje de simetría y un mínimo o máximo relativo lo que indica la parte mas baja o alta a la que llega la parábola respectivamente. Máximo relativo. El rango es desde( –∞, hasta el máximo relativo) o desde (mínimo relativo, ∞). Para hallar: el mínimo y máximo relativo, el vértice y el eje de simetría se usa la ecuación: Mínimo relativo.

25. Es importante recordar que la parábola, formada por la función cuadrática, tiene un eje de simetría, es decir que si se divide exactamente en dos, un lado es el reflejo del otro lado. El punto de corte con y es c, mientras que los puntos de corte con x o también llamados raíces se deben hallar factorizando ya sea por los diferentes métodos o usando la siguiente formula general:

26. Función Cúbica. Es una función polinómica de grado 3,que está dada por la forma: Conjunto de salida= IR=Dominio Conjunto de llegada=IR=Rango Función Creciente f(-x)<f(x) Función decreciente f(-x)>f(x)

27. Ejemplo: Conjunto de salida=Dominio= IR Conjunto de llegada=Rango= IR Punto de corte con x= 0.3 Punto de corte con y= -1 F(x) > 0 en x ∈ (0.3, infinito) F(x) < 0 en x ∈ (0.3,-infinito)

28. Función Racional Una función racional tiene la forma: Donde P y Q son polinomios. Se supone que P(x) Y Q(x) no tienen factor en común. Aunque las funciones racionales se construyen de polinomios, sus graficas se ven bastante diferentes de las graficas de funciones polinomiales. El dominio de una función racional consiste en los números reales x excepto aquellos para los que el denominador es 0. Al graficar una función racional, se debe poner atención especial al comportamiento de la grafica cerca de esos valores, debido a que poseen asintotas. En términos informales, una asíntota de una función es una línea a la que la grafica de la función se aproxima cada vez mas cuando se va a lo largo de esta línea. Ejemplo Gráfico.

29. Para entender mejor como hallar las asíntotas es importante volver a plantear la ecuación general: La recta donde a es un cero del denominador es una asíntota vertical de la función y=f(x) si y tiende a mas o menos infinito cuando x tiene a a por la derecha o por la izquierda. Una función racional tiene asíntotas verticales donde la función no esta definida, es decir donde el denominador es cero. La recta es una asíntota horizontal de la función y= f(x) si y se aproxima a b cuando x se aproxima a mas menos infinito. Asíntota vertical x=3 Asíntota horizontal y=0 Para m < n, la recta y = 0 (el eje x) es una asíntota horizontal. Para m = n, la recta y = am/bn, es una asíntota horizontal. Para m > n, no hay asíntotas horizontales

30. Transformaciones de Se utiliza para graficar funciones racionales de la forma: Se utiliza debido a la capacidad de desplazar, alargar o reflejar.

31. Ejemplo: Grafique la función racional: Solución: Se factoriza el numerador y el denominador, se determinan las intersecciones y asíntotas y se bosqueja la grafica. Factorizar: Intersecciones con el eje x: Las intersecciones x son los ceros del numerador, para este caso x=1/2 y x=-4. Intersecciones con el eje y: Para hallar la intersección y, se sustituye x= 0 en la forma original de la función. Para este caso daría que la intersección y= 2 Asíntotas Verticales: Las asíntotas verticales ocurren donde el denominador es cero, es decir, donde la función no esta definida. De la forma factorizada se puede observar que las asíntotas verticales son las rectas x=1 y x= -2. Comportamiento de las asíntotas verticales: Específicamente es para saber si es + o -, por tanto se usa el proceso del cementerio.

32. - + - + Asíntota horizontal: Los grados del numerador y el denominador son los mismos y Coeficiente principal del numerador Coeficiente principal del denominador 2/1= 2 así la asíntota horizontal es la recta y=2 Por ultimo se grafica.

33. Asíntota inclinada y comportamiento extremo. Si es una función racional en la que el grado del numerador es uno mas que el grado del denominador, se puede usar el algoritmo de la división para expresar la función en la forma Donde el grado de R es menor que el grado de Q y a es diferente de 0. Esto significa que cuando x tiende a infinito, R(x)/Q(x) tiende a 0, por lo tanto los valores grandes de lxl, la grafica de y= r(x) se aproxima a la grafica de la recta y= ax+b. En esta situación se dice que y= ax+b es una asíntota inclinada o una asíntota oblicua.

34. Aplicaciones. Las funciones racionales ocurren con frecuencia en aplicaciones científicas de algebra, los ejemplos mas comunes son las teorías de electricidad. (resistencia eléctrica)

35. Función valor absoluto • La función del valor absoluto, Esta dada por la ecuación: • en clase estudiaremos la forma • Es una función en forma de V Debido a que al obtener el Valor absoluto de cualquier numero, este da positivo. Por ello hay varias propiedades. • IaI 0 • IabI= IaIIbI • Ia+bIIaI+IbI Para todas las funciones de valor absoluto, el conjunto de salida y el Dominio son reales (IR) Al igual que estos, el conjunto de llegada también son los reales. El rango varia, dependiendo hacia donde se desprende. Este, puede ser desde el mínimo hasta infinito, o desde el máximo hasta menos infinito. Así por ejemplo: I2I = I-2I = 2 I2x3I = I2II3I = 6 I(-2)+3I=1 I-2I+I3I =5

36. Es una función (donde c = 0) Si f(x) = IxI x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … x 1 2 3 4 5 6 … y 1 2 3 4 5 6 … F(x) > 0 en X Є IR Dominio = conjunto de salida= IR Conjunto de llegada = IR Rango= [ 0 , oo ) F(x) > 0 en X Є IR Dominio = conjunto de salida= IR Conjunto de llegada = IR Rango= [ 10 , oo ) Si f(x) = IxI + 10 x 1 2 3 4 5 … Si f(x) = IxI x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … y 11 12 13 14 15… Es una función (donde c = 0) y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … Dominio = conjunto de salida= IR Conjunto de llegada = IR Rango= [ 0 , oo ) F(x) > 0 en X Є IR

37. Funciones Exponenciales. La función exponencial es una de las mas importantes en matemáticas, esta función se emplea para modelar procesos naturales como el crecimiento poblacional y el decaimiento radioactivo. La función exponencial con base a se define para todos los números reales x por: Donde a ≠ 0 y a≠1.

38. Gráficas de las funciones exponenciales. Para a>1 f(x)=-ax Para a>1 f(x)=ax Dominio= IR Conjunto de salida= IR Rango= (-∞, 0) = IR- Conjunto de llegada= IR Asíntota en y=0 Punto de corte con y en y =- 1 Función decreciente Asíntota horizontal Dominio= IR Conjunto de salida= IR Rango= (0, ∞) = IR+ Conjunto de llegada= IR Asíntota en y=0 Punto de corte con y en y = 1 Función creciente Asíntota horizontal reflexión de la gráfica

39. Para 0<a<1 f(x)=-ax Para 0<a<1 f(x)=ax Dominio= IR Conjunto de salida= IR Rango= (0,- ∞) = IR- Conjunto de llegada= IR Asíntota en y=0 función creciente Dominio= IR Conjunto de salida= IR Rango= (0, ∞) = IR+ Conjunto de llegada= IR Asíntota en y=0 función decreciente

40. Desplazamientos vertical y horizontal A la función se le suma o resta un valor c para el desplazamiento vertical Ej.: Dominio= IR Conjunto de salida= IR Rango= (1, ∞) Conjunto de llegada= IR Asíntota en y=1 Función creciente Punto de corte con y en y=2 Punto de corte con x= no existe

41. A la función se le suma o resta un valor b para el desplazamiento horizontal Dominio= IR Conjunto de salida= IR Rango= (0, ∞) Conjunto de llegada= IR Asíntota en y=0 Función creciente Punto de corte con y en y=4 Punto de corte con x= no existe A continuación se puede ver como varían las funciones de acuerdo a su base a g_1(x) = (1 / 2)^x f(x) = 2^x f(x) = 4^x f(x) = (1 / 4)^x f(x) = 6^x f(x) = (1 / 6)^x f(x) = 8^x f(x) = (1 / 8)^x f(x) = 10^x f(x) = (1 / 10)^x Para todas estas: Dominio= IR Conjunto de salida= IR Rango= (0, ∞) Conjunto de llegada= IR Asíntota en y=0 Punto de corte con y en y=1 Punto de corte con x= no existe

42. La funcion exponencial natural. La función exponencial natural es la función exponencial: Es decir con base e=2.718 Puesto que 2<e<3, la grafica de la función exponencial natural esta entre las graficas:

43. 3. Se debe elevar a a la potencia x para obtener Funciones logarítmicas Toda función exponencial, con a>0 y a≠1, es una función uno a uno por la prueba de la recta horizontal, y por lo tanto tiene una función inversa. Tal función inversa se llama función logarítmica. Sea a un numero con a≠1. La función logarítmica con base a, denotada por loga, se define: Logax=y , entonces Así Logax es el exponente al que se debe elevar la base a para dar x. Propiedades de los logaritmos. 4. Logax es la potencia a la cual se debe elevara para obtener x.

44. Logaritmos comunes El Logaritmo con base 10 se llama logaritmo común y se denota omitiendo la base: Log x Logaritmo natural El logaritmo con base e se llama logaritmo natural y se denota por ln: ln x Fórmula de cambio de base Para algunos propósitos, se encuentra útil cambiar los logaritmos de una base a logaritmos de otra base para lo que se utiliza la siguiente formula:

45. Leyes de los logaritmos • El logaritmo de un producto de números es la suma de los logaritmos de los números. • 2. El logaritmo de un cociente de números es la diferencia de los logaritmos de los números • 3. El logaritmo de una potencia de un numero es el exponente multiplicado por el numero.

46. Conjunto de salida=Dominio=IR+ Conjunto de llegada=IR= Rango Asíntota en x=0 Función creciente Asíntota vertical

47. Para un desplazamiento horizontal: Para un desplazamiento vertical: Conjunto de salida= IR Dominio= IR+ Conjunto de llegada=Rango=Reales Creciente Asíntota en x=0 Asíntota vertical Conjunto de salida= IR Dominio= (-3 , ∞) Conjunto de llegada=Rango=Reales Creciente Asíntota en x=-3 Asíntota vertical

48. Seno Cosecante coseno Funciones Trigonométricas Secante Tangente Cotangente Generalidades

49. Funciones trigonométricas. Generalidades. • a. Circulo unitario: Las propiedades del circulo unitario son muy importantes en la definición de las funciones trigonométricas, básicamente estas propiedades son: • Tiene radio 1. • Su centro está en el origen de un plano xy. • Su ecuación es: a.1: Numero de referencia: Sea t un numero real. El numero de referencia t es la distancia mas corta a lo largo del circulo unitario entre el punto sobre la circunferencia determinado por t y el eje x.

50. Dominios de las funciones trigonométricas.