Элементы комбинаторики

1. Элементы комбинаторики 9 класс

2. Задачи о существовании и подсчете различных комбинаций, которые можно составить из элементов заданного конечного множества. Готтфрид Вильгельм Лейбниц 1666год

3. Основные правила комбинаторики Правило суммы Правило произведения Если некоторый объект А можно выбрать n способами, а после каждого такого выбора другой объект В можно выбрать ( независимо от выбора объекта А) m способами, то пары объектов А и В можно выбрать nm способами. Если некоторый объект А можно выбрать n способами, а другой объект В можно выбрать m способами, то выбор « либо А , либо В» можно осуществить m+n способами.

4. Основные понятия

5. Выборки Без повторений С повторениями

6. Перестановки Комбинации из n элементов, отличающихся друг от друга порядком расположения в них элементов. – перестановки двух символов   – перестановки трех символов

7. Перестановки abcdbacdcabddabc abdcbadccadbdacb acbdbcadcbaddbac acdbbcdacbdadbca adbcbdaccdabdcab adcbbdcacdbadcba – перестановки четырех символов Число перестановокnсимволов равноn! = 1  2  3  … n 2! = 2 3! = 6 4! = 24 5! = 120

8.  Дерево слов из двух букв

9. Размещения • Размещениями из n элементов по m называются такие выборки, которые, имея по m элементов, отличаются одна от другой либо составом элементов, либо порядком их расположения

10. Задача. В группе 4 мальчика и 3 девочки. Каким числом способов можно составить пару, состоящую из одного мальчика и одной девочки? Решение

11. Сочетания • Выборки из m элементов, взятых из данных n, отличающихся только составом элементов, называются сочетаниями из n элементов по m.

12. Размещения • Сколько клеток на шахматной доске? • Как обозначаются клетки шахматной доски?

13. Давайте вспомним 8 7 6 5 4 3 2 1 Глава 1 , §6 a b c d e f g h • Как можно было бы обозначить клетки доски размером ?

14. Давайте вспомним • Как вычисляется число пар предметов? Сколько клеток имеет таблица размером ? Глава 2 , §6

15. Давайте вспомним • Из кубиков сложили параллелепипед размером . • Сколько потребовалось кубиков? Глава 2 , §6 • Выписаны перестановки букв x, yиz: Все ли возможные перестановки выписаны? Каких не хватает?

16. Комбинаторика – 1  Задача. Сколько трехбуквенных слов можно составить из букв А, Б, В, Г? (Словом считается любая последовательность букв.) Глава 1 , §6b •  Решение • Сначала выбираем первую букву одним из четырех • способов. Зафиксировав первую букву, мы к ней добавляем • вторую букву также четырьмя способами. Отсюда получаем • 4  4слов из двух букв. Добавление следующей буквы • увеличивает число вариантов в четыре раза. Получится • 4  4  4 = 43 = 64трехбуквенных слов. • Ответ:43 = 64.

17. Комбинаторика - 1 Составление пар • Решение (часть 2). • На первое место заказа можно вписать название закуски • (3 варианта). Выбрав закуску, каждый список с такой закуской • можно продолжить пятью способами, вписав в него название • первого блюда. Получится 3  5 списков из двух названий. Затем • каждый такой список можно продолжить шестью способами, • вписав названия второго блюда и получив уже 3  5  6 списков. • Наконец, каждый из них можно закончить, добавив десерт, имея • выбор из четырех названий. Получится произведение • 3  5  6  4 = 360 – общее число списков с четырьмя названиями. Глава 1 , §6a

18. Комбинаторика - 1 Составление пар • Решение (часть 2). • На первое место заказа можно вписать название закуски • (3 варианта). Выбрав закуску, каждый список с такой закуской • можно продолжить пятью способами, вписав в него название • первого блюда. Получится 3  5 списков из двух названий. Затем • каждый такой список можно продолжить шестью способами, • вписав названия второго блюда и получив уже 3  5  6 списков. • Наконец, каждый из них можно закончить, добавив десерт, имея • выбор из четырех названий. Получится произведение • 3  5  6  4 = 360 – общее число списков с четырьмя названиями. Глава 1 , §6a

19. Комбинаторика - 1 Составление пар  Задача. В меню столовой указаны 3 закуски, 5 первых, 6 вторых блюд и 4 десерта. Каким числом способов можно заказать обед из четырех блюд? Глава 1 , §6a • Решение (часть 1). • Эта задача является прямым обобщением предыдущей. Если бы • обед состоял из двух блюд, то каждый выбор представлял бы • собой пару названий. • Составление набора из б́ольшего числа названий можно • представить себе как составление списка, каждое название • в котором выбирается независимо отостальных.

20. Комбинаторика - 1 Составление пар • Решение (часть 2). • На первое место заказа можно вписать название закуски • (3 варианта). Выбрав закуску, каждый список с такой закуской • можно продолжить пятью способами, вписав в него название • первого блюда. Получится 3  5 списков из двух названий. Затем • каждый такой список можно продолжить шестью способами, • вписав названия второго блюда и получив уже 3  5  6 списков. • Наконец, каждый из них можно закончить, добавив десерт, имея • выбор из четырех названий. Получится произведение • 3  5  6  4 = 360 – общее число списков с четырьмя названиями. Глава 1 , §6a

21. Глава 2, §6 Подведем итоги Мы познакомились • со схемами составления слов с повторяющимися и неповторяющимися буквами • с понятием перестановки

22. Мы приобрели опыт • нахождения числа слов с повторяющимися и неповторяющимися буквами • нахождения числа перестановок нескольких букв