関数の補間とは

1. 相異なる(n+1)個の点　　　　　　　　　　　　　　　　　：given相異なる(n+1)個の点　　　　　　　　　　　　　　　　　：given 未知の関数　　　　　　対応する点： なる　　　　に対して を満たす関数を求める 関数の補間とは

2. 補間 導出した関数 未知の関数 補間関数と呼ぶ このような方法で未知の関数の形状を推定し，関数値を推定することを補間(あるいは関数の補間)と呼びます

3. 多項式 　　　　が補間多項式である時， n次の 多項式である 　　　 　　は， と表記可能． ここに各係数である，　　　　　　　　　　　　　　　　　 は 次の連立方程式を満たす． 補間関数の満たすべき条件

4. (n+1)個の未定係数 a0, a1, ..., anに対して， 上記の通り，(n+1)個の連立方程式が成立するため，各係数を行列の要素とする (n+1)×(n+1)行列式， det| ai | がゼロでなければ一意に解けることになる 上記の連立方程式により，補間多項式が数学的に決定できることは明らか

5. （n+1）個の点列が与えられる度に，このような連立方程式を立てて， 未知係数を決定することで，補間関数を導出可能 毎回，補間関数を決定するために，与えられた点列を基に連立方程式を立てて，それを解法するという処理が発生 ＆ 一般に多元多次？の(高次でかつ未知数が多い)方程式を数学的に解くことはそれほど容易ではないかも．．． 誰にでも適用できる)もっと簡易な方法は ？

6. 点列：given 一般的には 未定係数：target なる線形（連立）方程式の解として，未定係数：a0～anを求める その際に，左辺の行列要素を行列式とする値が非ゼロ であることが必要条件 そこで．．．．

7. Lagrange補間公式 分子にはこの項が存在しない Lagrange補間係数関数Li(x) ： ｎ次多項式 分母にはこの項が存在しない 分母は定数 (注)第 i項目のxiに関する (x - xi)/(xi - xi) は定義不能のため上記の補間係数関数の記述には存在しない． この補間係数関数 Li(x) を用いれば， Lagrangeのn次補間多項式Pn(x)は．．．．．．

8. Lagrangeのn次補間多項式 (n+1)個の点列｛ (x0,f0)，(x1,f1)，・・・，(xn,fn) ｝の総てを通ることは自明 大変見通しの良い形状の補間関数を容易に構成可能

9. 具体例(その１) ２点｛ (x0,f0)，(x1,f1) ｝が与えられた場合，Lagrangeの補間多項式は．．．． Lagrange補間係数関数Li(x)は，２点に対して，それぞれ， L0(x) = (x-x1)/(x0 - x1)，L1(x) = (x - x0)/(x1 - x0)それを基にLagrangeの補間１次式を求めると， P1(x) = Σi=01 fi*Li(x)=f0*L0(x) + f1*L1(x) = f0*(x - x1)/(x0 - x1) + f1*(x - x0)/(x1 - x0) 指定された２点を通る直線の方程式として表現可能

10. 具体例(その２) 具体的に３点｛ (x0,f0)，(x1,f1)，(x2,f2) ｝が 与えられた場合， Lagrangeの補間多項式は．．．． Lagrange補間係数関数Li(x)は，３点に対して，それぞれ， L0(x) = (x-x1)(x - x2)/(x0 - x1)(x0 - x2) L1(x) = (x - x0)(x - x2)/(x1 - x0)(x1 - x2) L2(x) = (x - x0)(x - x1)/(x2 - x0)(x2 - x1) それを基にLagrangeの補間２次式を求めると， P2(x) = Σi=02 fi*Li(x)=f0*L0(x) + f1*L1(x) + f2*L2(x) =f0*(x - x1)(x - x2)/(x0 - x1)(x0 - x2) +f1*(x - x0)(x - x2)/(x1 - x0)(x1 - x2) +f2*(x - x0)(x - x1)/(x2 - x0)(x2 - x1) 　　　指定された３点を通る２次関数の方程式として表現可能