第 14 章

1. 第14章 多因子變異數分析

2. 前言 • 在「心理治療」例子裡，如果這些治療都在白天進行，實驗結論未必能類推到晚上。 • 此時可採二因子實驗設計：（1）治療方法，（2）治療時間。治療方法分為3種，治療時間分為2種，因此為32的實驗設計。後隨機將受試者分派至這六種情境裡。

3. 第一節 結構模式（1） • 令細格內的數值為依變項Yijk，其中i代表編號，j代表治療時間，k代表治療方法。例如Y321代表接受晚上/行為改變法治療，編號為3的數值。 • 表示白天/行為改變細格的平均數， 表示白天/認知細格的平均數。 和 分別代表白天和晚上的平均數。 、 、 分別代表行為改變、認知改變、安慰丸法的平均數。 代表總平均數。

5. 第一節 結構模式（2） • 造成Yijk會有變異的原因：一為實驗處理，另一為個別誤差。實驗處理的效果區分為三部份：（1）時間的主要效果，（2）治療方法的效果，以及（3）時間和治療方法產生的交互作用。 • 時間的效果可以從白天的平均數和晚上的平均數差異得知。治療方法的效果也可以從行為改變的平均數、認知改變的平均數、安慰丸的平均數是否有顯著差異得知。 • 交互作用效果是實驗的「總效果」減去時間的效果和治療方法的效果後，剩下就是交互作用。

6. 第一節 結構模式（3） • 如果將表1中的6個組視為某個因子的6個類別（就叫這個因子「時/法」），此時兩因子的實驗設計就變為單因子的實驗設計。「時/法」因子的實驗效果可從6組平均數是否有差異得知。 • 如果6組的平均數差異不顯著，就表示「時/法」的實驗處理效果等於0。這個「時/法」的實驗處理效果就是上述的「總效果」。

7. 第一節 結構模式（4） • Yijk= mjk+eijk 由於 • mjk = m + (mj. - m) + (m.k - m) + (mjk - mj. - m.k + m) • mj. - m反映出第1個因子（時間）的效果 • m.k - m反映出第2個因子（治療方法）的效果 • mjk - mj. - m.k + m反映出這兩個因子交互作用。

8. 第一節 結構模式（5） • 令aj =mj - m • bk=mk - m • abjk =mjk - mj - mk + m 則 • Yijk= m + aj+ bk + abjk +eijk • 由於aj，bk，abjk均為離均差，因此

9. 第一節 結構模式（6） • 模式假設：eijk是常態分佈，平均數為0，變異數為s2。誤差之間是獨立的。 • 如果所有的aj等於0，則第一個因子的各個組平均數都相等。因此aj反映第一個因子「主要效果」。 • 如果所有的bk等於0，則第二個因子各組平均數都相等。所以bk反映出第二個因子主要效果。

10. 第一節 結構模式（7） • 在abjk方面，如果當j=1，m1k - m1. - m.k + m= 0，則m1k - m1. = m.k - m。同樣的，當j=2，m2k - m2. - m.k + m= 0。甚者對所有的j而言，都是如此。這表示第二個因子中K組平均數間差異和第一個因子沒有關連，也就是沒有交互作用效果。 • 反之，如果K組間平均數的差異，隨著j不同而不同，就表示這兩個因子有交互作用。

11. 第一節 結構模式（8） • 例子1 • 如果心理治療的6個細格的母體平均數如表2，求各個a，b，和ab。並說明公式（14.7）和（14.8）成立。

12. 第一節 結構模式（9） • a1 =m1 - m = 50 – 54.5 = -4.5，a2 =m2 - m = 59 – 54.5 = 4.5。因此a1 + a2 = 0。 • b1 =m1 - m = 41.5 – 54.5 = -13，b2 =m2 - m = 45 – 54.5 = -9.5，b3 =m3 - m = 77 – 54.5 = 22.5，因此b1 + b2 + b3 = 0。

13. 第一節 結構模式（10） • 不是所有a都等於0，時間有主要效果。不是所有b都等於0，治療方法有主要效果。不是所有abjk都等於0，時間和治療方法有交互作用。

14. 第一節 結構模式（11） • 第一對用以檢定第一個因子的主要效果： • : a1 = … = aJ = 0 • : 至少有一個aj不等於0。 • 第二對用以檢定第二個因子的主要效果： • : b1 = … = bK = 0 • : 至少有一個bk不等於0。 • 第三對用以檢定這兩個因子間的交互作用效果： • : ab11 = … = abJK = 0 • : 至少有一個abjk不等於0。

15. 第二節 平方和的分割（1） • SST = SSb+ SSw (14.9) • SSb = SSA+ SSB + SSAB (14.10) • 公式（14.9）和（14.10）成立的必要條件就是細格的樣本數n都相等。

16. 第二節 平方和的分割（2）

17. 第二節 平方和的分割（3）

18. 第二節 平方和的分割（4） • 當A因子主要效果為0的虛無假設成立，則 • ，E(MSA) = s2，且 • 會服從F分佈，分子自由度為J – 1，分母自由度為JK(n – 1)。 • 如果計算的F值超過a顯著水準的臨界值，則拒絕虛無假設，即A因子有主要效果。

19. 第二節 平方和的分割（5） • 當B因子主要效果為0的虛無假設成立，則 • ，E(MSB) = s2，且 • 會服從F分佈，分子自由度為K – 1，分母自由度為JK(n – 1)。 • 如果計算的F值超過a顯著水準的臨界值，則拒絕虛無假設，即B因子有主要效果。

20. 第二節 平方和的分割（6） • 當A和B因子交互作用為0的虛無假設成立，則 • ，E(MSAB) = s2，且 • 會服從F分佈，分子自由度為(J – 1)(K–1)，分母自由度為JK(n – 1)。 • 如果計算的F值超過a顯著水準的臨界值，則拒絕虛無假設，即A和B因子有交互作用。

22. 第二節 平方和的分割（7） • 例子2 • 在三種心理治療法對降低憂鬱症的效果方面，經過為期四週的實驗處理後，得到如表5的結果，數字越大表示憂鬱症狀越強。這三種方法的效果是否有異？白天和晚上的效果是否有異？治療方法和時間是否有交互作用效果？

24. 第二節 平方和的分割（8） • 作法 • 1.就時間而言，白天的平均數為50，晚上為59。就樣本數各為15人的情況下，差距只有9分，也許不會達顯著水準。 • 2. 就治療方法而言，這三種方法的平均數分別為41.5，45，77。認知改變法與行為改變法的差距很小，可能未達顯著水準。安慰丸法與其他兩種方法的差距非常大，有可能達顯著水準。

25. 第二節 平方和的分割（9） • 就交互作用而言

28. 第二節 平方和的分割（10） • 對行為改變法和安慰丸法而言，白天和晚上的效果沒有兩樣。但對認知改變法，白天的效果比晚上來得好。治療方法和時間可能有交互作用。 • 大致可以發現治療方法會有差異，時間也許沒有顯著差異，可能會有交互作用。

29. 第二節 平方和的分割（11）

30. 第二節 平方和的分割（12） • 有交互作用未必是件可喜的事。如果從理論上認知治療法應該比行為改變法好，白天是如此，為何到了晚上時卻相反。這有可能是晚上的認知治療法已經產生「質變」。果真如此，對認知治療法的操弄已經失敗。 • 如果能繼續探究交互作用的原因，也許可以改進實驗操弄，甚至發明更為有效的認知治療法。

31. 第三節 因子效果的分析（1） • 在分析兩因子的效果時，要考慮是否有交互作用，而採不同的分析方法。 • 1. 如果沒有交互作用，則針對有顯著主要效果的因子，估計或檢定該因子中各組的平均數。 • 2. 如果有交互作用，針對各個細格平均數進行估計或檢定。

32. 第三節 因子效果的分析（2） • 沒有交互作用 • A因子各組平均數的估計： • B因子各組平均數的估計： • 用MSw取代s2，因此可透過自由度為JK(n-1)的t分佈進行區間估計與假設檢定。JK(n-1) 就是MSw的自由度。

33. 第三節 因子效果的分析（3） • A因子中第j個組的平均數： • 是自由度為JK(n-1)的t分佈。 • mj.的（1-a）100%信賴區間是

34. 第三節 因子效果的分析（4） • B因子中第k個組的平均數： • 是自由度為JK(n-1)的t分佈。 • m.k的（1-a）100%信賴區間是

35. 第三節 因子效果的分析（5） • 就某一個因子中多組平均數的對比而言，可透過對比進行區間估計和假設檢定。 • 就A因子的對比而言，令 • L的不偏估計式為 • 此估計式的變異數為

36. 第三節 因子效果的分析（6） • s2可用MSw代替之，即 • 是自由度為JK(n-1)的t分佈。L的（1-a）100%信賴區間是

37. 第三節 因子效果的分析（7） • 如果有多個比較要進行，要考慮家族第一型錯誤機會。 • 如果在進行實驗研究之前，就決定對某些比較進行區間估計或假設檢定，就可利用Bonferroni或Holm的作法。 • 如果是事後比較，且是兩兩平均數的差異，則可利用Tukey的作法。如果是對所有可能的對比進行區間估計或假設檢定，就用Scheffé方法。

38. 第三節 因子效果的分析（8） • 就Tukey而言，對A因子第j組和第j’組平均數差異mj.-mj’. 的家族（1-a）100%信賴區間是 • 如果從樣本求得的 • 超出q分佈的臨界值，就拒絕虛無假設。

39. 第三節 因子效果的分析（9） • 以Scheffé方法而言，對A因子的各組平均數的所有對比進行估計或檢定，且家族第一型錯誤機會維持在a，則L的（1-a）100%信賴區間是 ，其中 • 若L = 0的虛無假設為真的情況下， • 會是F分佈。如果從樣本求得的F值超過臨界值，就拒絕虛無假設。

40. 第三節 因子效果的分析（9） • 例子3 • 以例子2的資料而言，假設交互作用不顯著，對治療方法的各組平均數進行兩兩母體平均數差異為0的假設檢定，顯著水準訂為0.05。分別以Bonferroni、Tukey、Scheffé進行之。 • 作法 • 利用公式（11.36）得行為與認知的差異為T1，行為與安慰丸的差異為T2，認知與安慰丸的差異為T3：

41. 第三節 因子效果的分析（10） • 當使用Bonferroni，將T1、T2、T3和2.57比，結果發現T1無法拒絕虛無假設，其餘兩個可以。

42. 第三節 因子效果的分析（11） • 利用Tukey進行檢定： • 查附表A，q(0.95, 3, 24) = 3.53，Q2和Q3則超過臨界值，可以拒絕虛無假設。

43. 第三節 因子效果的分析（12） • 利用Scheffé檢定： • 自由度為2和24的F分佈的0.05臨界值F0.05/2 = 3.40。 F2和F3超過，可以拒絕虛無假設。

44. 第三節 因子效果的分析（13） • 本例中Q = T ，若要比較三者的統計檢定力，必須將Tukey的臨界值3.53/ ＝2.50。Scheffé的臨界值為 。 • 由於Tukey的臨界值2.50小於Bonferroni的臨界值2.57，又小於Scheffé的臨界值2.61，因此本例中Tukey檢定最為有效，其次Bonferroni，再其次為Scheffé。

45. 第三節 因子效果的分析（14） • 有交互作用 • 如果發現交互作用達到顯著差異，接著要問：這個顯著差異是否因為量尺的特性造成？ • 如果將量尺加以改變，例如開跟號、對數轉換，倒數轉換等，就會使得交互作用消失，就代表交互作用並無意義。此時就可視為無交互作用。

47. 第三節 因子效果的分析（15） • 如果經過轉換之後，仍然存在交互作用，接下來就要問：這個交互作用有實際價值嗎？ • 經過這兩個問題之後，仍然有交互作用，就可以針對某些細格平均數進行差異的區間估計或假設檢定。

48. 第三節 因子效果的分析（16） • 若要針對所有細格平均數進行兩兩比較，可用Tukey方法。第jk組和第j’k’組平均數差異mjk-mj’k’的家族（1-a）100%信賴區間是 ，其中 如果樣本中求得的 超出q分佈的臨界值，就拒絕虛無假設。

49. 第三節 因子效果的分析（17） • 例子4 • 假設例子2中的交互作用是重要的，以Tukey方法兩兩檢定這6個細格母體平均數的差異是否等於0。 • 作法 • 查附表A，q(0.95, 6, 24) = 4.37。計算之Q超過4.37時，才能拒絕虛無假設。 即

50. 第三節 因子效果的分析（18） • 因此 。當兩組的樣本平均數的差異超過26.80時，才拒絕虛無假設。