第六章动态模型

第六章动态模型

本章要点 • ARDL模型的概念、优点、结构与构造 • ARIMA类模型的概念 • AR模型稳定性的条件，AR模型和MA模型的相互转化 • AR模型、MA模型、ARMA模型自相关函数、偏自相关函数的特点 • 信息准则的基本原理 • VAR模型的概念、构造及格兰杰因果检验、脉冲响应 • GARCH类模型的概念 • ARCH效应的检验

第一节 ARDL模型的概念和构造

ARDL模型的概念 • ARDL(autoregressive distributed lag)称为自回归分布滞后模型。 • 计量软件Microfit，可用来对ARDL模型进行方便的估计. • ARDL模型的优点相比于标准的协整检验，不论变量是否同为过程，或同为过程，既不需要变量同阶单整，都可以用ARDL模型来检验变量之间的长期关系。

ARDL模型的的结构 一个典型的模型的结构如下： • 其中表示滞后的阶数，表示第i个自变量滞后的阶数，。L是滞后算子(lag operator),它可用下式定义：，是s行、1列的确定向量

ARDL建模的基本方法 ARDL建模的方法包括两个阶段： • 第一阶段，建立与该ARDL模型相对应的误差修正模型（ECM），并计算出ECM模型中的F统计量。以此判断变量间是否存在长期稳定的关系。 • 第二阶段，运用ARDL模型，估计变量之间长期关系的系数。

实例－ARDL模型在金融数据中的应用 • 研究对象美国非耐用消费品支出LC与真实可支配收入LY,通胀率DP之间的关系 • 数据 1960年1季度到1994年1季度的季度数据

首先，我们调用Microfit软件读入该数据文件。对原始数据进行取对数作差分的处理。首先，我们调用Microfit软件读入该数据文件。对原始数据进行取对数作差分的处理。 • 对应于ARDL(4,4,4)中变量LC，LY和DP的误差修正模型（ECM）如下： • 原假设：变量间不存在稳定的长期关系，即： • 择备假设：或或

图 6-3假设检验的结果 • 计算F统计量，检验三者之间是否具有长期关系

图6-5 ARDL(1,2,0)估计结果 • 用Microfit软件中的ARDL选项来估计变量间的长期系数以及相应的误差修正模型ECM

图6-6 ARDL(2,2,3)估计结果

图6-8 AIC准则选定的误差修正模型结果

图6-10预测结果

第二节 ARIMA模型的概念和构造

ARIMA模型的概念 • 所谓ARIMA模型，是指将非平稳时间序列转化为平稳时间序列，然后将因变量仅对它的滞后值以及随机误差项的现值和滞后值进行回归所建立的模型。 • ARIMA模型根据原序列是否平稳以及回归中所含部分的不同，包括移动平均过程（MA）、自回归过程（AR）、自回归移动平均过程（ARMA）以及ARIMA过程。

移动平均过程 一个q阶的移动平均（MA）过程可用下式表示： • 其中u为常数项，为白噪音过程 • 引入滞后算子L，原式可以写成: 或者 • 其中

MA（q）过程的特征 • 1、 • 2、 • 3、自协方差 ①当k>q时＝0 ②当k<q时对于任意的，MA(q)是平稳的。

自回归过程 一个p阶自回归（AR）过程可以用下式表示： • 其中，为白噪音过程 • 引入滞后算子，则原式可写成或者其中

AR(p)过程平稳的条件 如果特征方程：的根全部落在单位圆之外，则该AR(p)过程是平稳的。

AR(p)过程的特征 • =0，的无条件期望是相等的，若设为u，则得到 :

再看方差和协方差 …… • 将上述p+1个方程联立，得到所谓的Yule-Walker方程组，共p+1个方程，p+1个未知数，得出AR（p）过程的方差及各级协方差。

自回归移动平均（ARMA）过程 将MA(q)过程与AR(p) 过程合并，我们就可以得到一个ARMA(p,q)过程，其形式如下： • 其中为白噪音过程。 • 若引入滞后算子，可以写成 • 其中

ARMA过程平稳性的条件 ARMA过程的平稳性取决于它的自回归部分。 • 当满足条件：特征方程的根全部落在单位圆以外时，ARMA(p,q)是一个平稳过程。

ARMA(p, q)过程的特征 • 1、 • 2、对于ARMA(p, q)过程的方差和协方差，由于其较复杂，我们不再涉及。

自回归单整移动平均过程 • 如果序列经过 d 次差分得到平稳序列，并且用ARMA(p,q)过程对W t建立模型，即W t为一个ARMA(p,q)过程，则我们称Y t为(p,d,q)阶自回归单整移动平均过程，简称ARIMA(p,d,q)。 • 引入滞后算子L， ARIMA(p,d,q)过程可表示为： • 其中，为白噪音过程，

AR、MA过程的相互转化 • 结论一：对于一个平稳的AR(p)过程，它可以转化为一个MA(∞)过程，可采用递归迭代法完成转化。 • 结论二：对于一个MA(q)过程，其中若其特征方程的根都落在单位圆外，则称该 MA(q)过程具有可逆性，此时MA(q)过程可转化为AR(∞)。 • 注意：平稳性和可逆性的概念在数学语言上是完全等价的，所不同的是，前者是对AR过程而言的，而后者是对MA过程而言的。

Box-Jenkins方法论 • 建立回归模型时，应遵循节俭性(parsimony)的原则。 • 博克斯和詹金斯(Box and Jenkins)提出了在节俭性原则下建立ARIMA模型的系统方法论,即Box-Jenkins方法论。 Box-Jenkins方法论的步骤： • 步骤1：模型识别 • 步骤2：模型估计， • 步骤3：模型的诊断检验 • 步骤4：模型预测。

ARIMA模型的识别 • 在ARIMA模型的识别过程中，我们主要用到两个工具：自相关函数(autocorrelation function,简称ACF），偏自相关函数(partial autocorrelation function,简称PACF)以及它们各自的相关图（即ACF、PACF相对于滞后长度描图）。 • 我们首先介绍自相关函数和偏自相关函数的定义。

自相关函数和偏自相关函数 （1）自相关函数 • 对于一个序列来说，它的第j阶自相关系数(记作 )定义为它的j阶自协方差除以它的方差，即，的取值范围是。 • 可以看到， (j=0,1,2...)可看作是关于j的函数，因此我们也称之为自相关函数，通常记ACF(j) （2）偏自相关函数 • 偏自相关系数度量了消除中间滞后项影响后两滞后变量之间的相关关系。偏自相关函数记为PACF(j) 。

（3）自相关函数和偏自相关函数的联系 • 2阶以上的偏自相关函数计算公式较为复杂，这里不再给出。

MA、AR、ARMA过程自相关函数及偏自相关函数的特点MA、AR、ARMA过程自相关函数及偏自相关函数的特点 ⑴MA(q)过程的自相关函数 1≤j≤q • j>q时，ACF(j)=0，此现象为截尾，是MA(q)过程的一个特征 • 如下图：

图6-11 MA(2)过程

⑵ AR(p)过程的偏自相关函数 • 时，偏自相关函数的取值不为0 • 时，偏自相关函数的取值为0 • AR(p)过程的偏自相关函数p阶截尾 • 如下图：

图6-12 AR(1)过程

图6-13 AR(1)过程

⑶AR(p)过程的自相关函数以及MA(q)过程的偏自相关函数⑶AR(p)过程的自相关函数以及MA(q)过程的偏自相关函数 • 平稳的AR(p)过程可以转化为一个MA(∞）过程，则AR(p)过程的自相关函数是拖尾的 • 一个可逆的MA(q)过程可转化为一个AR(∞）过程，因此其偏自相关函数是拖尾的。

图6-14 ARMA(1,1)过程 ⑷ARMA(p,q)过程的自相关函数和偏自相关函数 • ARMA过程的自相关函数和偏自相关函数都是拖尾的

利用自相关函数、偏自相关函数对ARIMA模型进行识别利用自相关函数、偏自相关函数对ARIMA模型进行识别 • 对ARIMA(p,d,q)过程进行识别，我们首先要确定的是该过程是否是平稳的，如果不是，通过几次差分可以得到平稳序列，即首先我们需要确定d的值。对此，我们可以用前面一章提到的ADF检验，也可以通过自相关函数来判断。如果d次差分后的序列其自相关函数很快下降为0，则说明差分后的序列是平稳的，反之则不平稳。

在确定d的值后，接下来我们利用自相关函数、偏自相关函数以及它们的图形来确定p, q的值。一般而言，可遵循如下的经验准则： • (1)如果某序列的自相关函数是截尾的，即过了某一滞后项数（设为q）后,自相关函数值变得不显著，接近于0，并且偏自相关函数是拖尾的，则我们可以把该序列设为MA(q)过程。

(2)如果某序列的偏自相关函数是截尾的，即过了某一滞后项数（设为p）后,偏自相关函数值变得不显著，接近于0，并且自相关函数是拖尾的，则我们可以把该序列设为AR(P)过程。(2)如果某序列的偏自相关函数是截尾的，即过了某一滞后项数（设为p）后,偏自相关函数值变得不显著，接近于0，并且自相关函数是拖尾的，则我们可以把该序列设为AR(P)过程。 • (3)如果某序列的自相关函数、偏自相关函数都是拖尾的，则可以把该序列设为ARMA(p,q)过程。而关于p, q的值需要不断地从低阶试探，但一般而言，ARMA(1,1)过程在文献中是最常见的。

ARIMA模型的估计 • 矩估计这种方法就是利用样本自协方差函数和样本自相关函数，对模型的参数作估计。 • 极大似然估计它又包括无条件极大似然估计、条件极大似然估计、精确似然估计等方法。 • 非线性估计它主要是利用了迭代搜索的思想。 • 最小二乘估计对于不包含MA部分的ARIMA模型（即AR模型），我们可以利用普通最小二乘法对参数进行估计。

ARIMA模型的诊断 • 在对模型参数进行估计后，下一步我们要对所估计的模型是否很好的拟合了数据进行诊断。如果模型很好的拟合了数据，那么残差应该是一个白噪音过程，即不同时期的残差是不相关的。 • 为检验残差是否各期不相关，我们可以求得残差各阶的自相关系数、 …, 然后对联合假设：进行检验。如果不能拒绝原假设，说明残差是各期不相关的；如果拒绝原假设，则说明残差存在自相关，原模型没有很好的拟合数据。

在上述检验中，经常用到的一个检验统计量是Box和Pierce提出的Q统计量，它的定义如下：在上述检验中，经常用到的一个检验统计量是Box和Pierce提出的Q统计量，它的定义如下：，近似服从（大样本中）分布 • 其中n为样本容量，m为滞后长度。 • 需要注意的是，Box和Pierce提出的Q统计量具有不佳的小样本性质，于是Ljung和Box(1978)提出了一个具有更好小样本性质的统计量,称之为LB统计量。定义如下： • 服从分布，其中n为样本容量，m为滞后长度。

对ARIMA模型的诊断还有另一方面，即尽管现在的模型能够很好的拟合数据，但我们想知道是否还存在一个更好的模型，能够更好的拟合数据和进行预测。对ARIMA模型的诊断还有另一方面，即尽管现在的模型能够很好的拟合数据，但我们想知道是否还存在一个更好的模型，能够更好的拟合数据和进行预测。 • 一般的做法是在模型中增加滞后项（因为我们是从低阶试起的），然后根据信息准则(information criteria)来判断。

常用的信息准则有以下几个： • Akaike 信息准则 • Schwarz 信息准则 • Hannan-Quinn 信息准则 • 其中为残差平方，是所有估计参数的个数，T为样本容量。

ARIMA模型的预测 • 以平稳的AR(2)过程为例： • 其中为零均值白噪音过程 • 由模型的平稳性，我们有： ……

在t时刻，预测的值： = • 在t时刻，预测的值：同理： … • 可以看到，在应用AR(2)模型进行预测时，除向前一步预测是无条件预测外，其它的预测都要用到前期的预测值。 • 另外，我们不加证明的给出下面的结论：随着预测时间的增大，AR过程的预测值将趋向于序列的均值。

下面我们再来看利用MA过程进行的预测。以一 个MA(2)过程为例：我们可以求得： … 可以看到，对于MA(2)过程，2期以后的预测值都是常数项，即MA(2)过程仅有2期的记忆力。而如果常数项为0的话，那么2期之后的预测都将为0。

利用ARMA过程进行预测 • 利用ARMA过程进行预测的过程，实际上相当于对AR过程和MA过程进行预测的结合，方法与分别利用AR过程和MA过程进行预测是相同的，我们不再介绍。 • 由于ARMA(p,q)过程中MA(q)过程仅有q期的记忆力，因此利用ARMA(p, q)向前进行q期以外的预测，结果与利用AR(p)过程预测的结果是一样的。随着预测期数的增加，预测值将趋向于均值。 • 因此，ARMA模型一般用于短期预测（即预测期数不大于p+q太多）。而对于ARIMA模型，只需将平稳序列ARMA过程的预测结果进行反向d次（差分次数）求和，就可以得到原序列的预测值。

实例：ARIMA模型在金融数据中的应用 • 数据： 1991年1月到2005年1月的我国货币供应量（广义货币M2）的月度时间序列数据 • 目的：说明在Eviews3.1 软件中利用B-J方法论建立合适的ARIMA（p,d,q）模型

第六章 动态模型