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1. 浙江省精品课程 高 等 数 学 第八章 空间解析几何与向量代数 龚小庆 gongxiaoqing@hotmail.com

2. B A 以A为起点, B为终点的向量, 记为AB, , a . 向量AB的大小叫做向量的模. 记为 |AB| 或 模为0的向量称为零向量.记为0或 ,它的方向可以看作是任意的. 第一节 向量及其线性运算 一、向量概念 1. 向量: 既有大小, 又有方向的量, 称为向量(或矢量) 2. 向量的几何表示法: 用一条有方向的线段来表示向量. 以线段的长度表示向量的大小, 有向线段的方向表示向量的方向. 特别: 模为1的向量称为单位向量.

3. 大小相等且方向相同, 3. 自由向量 自由向量: 只有大小、方向, 而无特定起点的向量. 具有在空间中可以任意平移的性质.

4. 4.向量的夹角 零向量与任意向量平行，零向量也与任意向量垂直。

5. 二、向量的线性运算 设有 (若起点不重合, 可平移至重合). 作以 为邻边的平行四边形, 对角线向量, 称为 的和, 记作 将 之一平行移动,使 的起点与 的终点重合, 则由 的起点到 的终点所引的向量为 1、向量的加减法 向量加法. (1) 平行四边形法则 (2) 三角形法则

6. 向量加法的运算规律. (1) 交换律: (2) 结合律: 例如:

7. (1) 负向量: 与 模相同而方向相反的向量, 称为 的负向量.记作 向量减法. (2) 向量减法. 规定:

8. 将 之一平移, 使起点重合, 作以 为邻边的平行四边形, 对角线向量, 为 将 之一平移, 使起点重合, 由 的终点向 的终点作一向量, 即为 (i) 平行四边形法则. (ii) 三角形法则.

9. 三角形两边之和大于第三边 上述不等式中的等号只有在两向量同向或反向时成立.

10. 规定: 向量 与数 的 为一个向量. (>0) (<0) 2、向量与数的乘法 1. 定义: 设为实数. 其中: 当> 0时, 当< 0时, 当= 0时, 2. 向量与数的乘积的运算规律: (1) 结合律: (2) 分配律:

11. 事实上，因为 故有

12. 设 表示与非零向量 同向的单位向量. 则 或

13. 数轴与坐标

14. 例1: 在平行四边形ABCD中, 设AB= , AD = 试用 表示向量MA, MB, MC, 和MD. 其中, M是平行四边形对角线的交点. 解: = AC = 2MC C D 有MC = M MA = MC 又 = BD = 2MD A B 有MD = MB = MD

15. z o y x 三、空间直角坐标系 1. 空间直角坐标系 y o x z x轴(横轴)、 y轴(纵轴)、z轴(竖轴)按右手法则组成了一个空间直角坐标系, 点O叫做坐标原点.

16. z III II IV I 0 y VI VII x V VIII 2. 坐标面. 由三条坐标轴的任意两条确定的平面, 称为坐标面, 分别叫xoy面. yoz面、zox面, 它们将空间分成八个卦限.

17. z M > (x, y, z) z M y O y x x 点在空间直角坐标系中的坐标表示. < R 记: 点M为M (x, y, z) Q P

18. 特别: (1) 若点M在yoz面上, 则 x = 0; 在zox面上, y = 0; 在xoy面上, z = 0. (2) 若点M在 x 轴上, 则 y = z = 0 在 y 轴上, 则 x = z = 0 在 z 轴上, 则 x = y = 0 (3) 各卦限点的坐标 Ⅰ (+, +, +) Ⅱ (, +, +) Ⅲ (, , +) Ⅳ (+, , +) Ⅴ (+, +, ) Ⅵ (, +, ) Ⅶ (, , ) Ⅷ (+, , )

19. z R2 R R1 M2 M1 Q N P Q2 Q1 y P1 O P2 x 空间两点间的距离 M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) 为空间两点 d 2 = | M1 M2 |2 = |M1N |2+ |NM2 |2 = |M1P |2 + |PN |2 +|NM2 |2 = |P1 P2 |2 + |Q1 Q 2 |2 + |R1 R 2 |2 = (x2x1)2 + (y2y1)2 + (z2z1)2

20. 空间两点的距离公式: 特别: 点M(x, y, z) 到原点O(0,0, 0)的距离

21. 例1: 求证以M1(4, 3, 1), M2(7, 1, 2), M3(5, 2, 3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解: 由 |M2 M3 | = |M3 M1 |, 所以 M1 M2 M3 是等腰三角形.

22. 所求点为 M (0, 0, ) 例2 在z轴上求与两点 A(4, 1, 7) 和B(3, 5, 2)等距离的点. 解设该点为M(0, 0, z) 由题设 |MA| = |MB|. 即: 解得:

23. z 1. 起点在原点终点为 M (x,y, z) 的向量(向径)OM C z M k B o y y j i x A N x r = OM = OA + AN +NM 称 OA、OB、OC分别是OM 在 x 轴, y 轴, z 轴上的分向量, 而x, y, z,分别是OM 在三坐标轴上的投影, 称为OM 的坐标. = OA + OB + OC 简记为 r ={x, y, z}, 此称为向量r = OM的坐标表示式. 向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标 以 i, j, k分别表示沿x, y, z轴正向的单位向量, 称为基本单位向量. = xi+ yj+ zk

24. 2. 起点不在原点O的任一向量 a = M1M2 z M1 a a = M1M2 = OM2  OM1 M2 o y x 设点 M1(x1, y1 , z1), M2(x2, y2 , z2) = (x2 i+y2 j +z2 k)  (x1 i + y1 j+ z1 k) = (x2 x1)i + (y2 y1)j + (z2 z1)k (2) 即 a = {x2 x1, y2 y1 , z2 z1} 为向量a的坐标表示式 记 ax = x2 x1, ay = y2 y1 , az = z2 z1 分别为向量 a 在三个坐标轴上的投影, 称为a的坐标.

25. 四、利用坐标作向量的线性运算 设 a ={ax , ay , az}, b ={bx , by , bz}, 且为常数 (1) a b = {ax bx , ay by , az bz } (2) a= {ax , ay , az} 证明: (1) a+ b = (ax i+ay j+az k) +(bxi+by j+bz k) = (ax i+ bxi) +(ay j+ by j) + (az k +bz k) = (ax + bx)i+ (ay+ by) j + (az+bz )k

26. a // b a = b 注: 在(3) 式中, 规定若某个分母为零相应的分子也为零. 两向量平行的充要条件. 设 a ={ax , ay , az}, b ={bx , by , bz}, 且为常数 已知 即ax=bx, ay=by, az=bz, 于是 a // b (3)

27. 例2: 设 A(x1, y1 , z1)和B(x2, y2 , z2)为已知两点, 点M位于 AB直线上, 且分有向线段AB为两个有向线段AM和MB, 使它们的值的比等于数 ( 1). 求分点M的坐标. 解: 设M点的坐标为x, y, z, 由AM = MB 而AM ={x x1 , y y1 , z z1} MB ={x2x, y2 y, z2 z} A z M B 故有 o y x 解之得M的坐标为:

28. 设有非零向量 (起点同). 注1. 若 中有一个为零向量，规定它们的夹 规定： 角可在0到之间任意取值. 正向间位于0到之间的那个夹角为 的夹角, 记为 或 注2. 类似可定义向量与一轴的夹角或空间两轴的夹角. 五、向量的模、方向角和投影. （1）两向量的夹角

29. z a   0  y x ax =| a |  cos ay =| a |  cos az =| a |  cos 故有 (2)方向角: 向量a 与x, y, z 轴正向夹角, , , 称为a 的方向角. (3)方向余弦: 方向角的余弦 cos, cos, cos, 称为方向余弦. (4) 向量的模与方向余弦的坐标表达式 设a ={ax, ay, az,}

30. 而 (4) 故 (5)

31. 由(5)式可得 cos2 +cos2 +cos2 = 1 (6) 设ea是与a同向的单位向量 (7) = {cos , cos , cos }

32. 解: M1 M2 = {1, 1,  } |M1 M2 | = 例3. 已知两点M1(2, 2, )和M2(1, 3, 0). 计算向量M1 M2的模, 方向余弦和方向角.

33. 例4. 已知两点A(4, 0, 5)和B(7, 1, 3). 求方向和AB 一致的单位向量. 解: AB = {3, 1, 2} |AB|

34. A u A'  六 向量在轴上的投影 (1) 点在轴上投影 设有空间一点A及轴u, 过A作u轴的垂直平面,平面与u轴的交点A'叫做点A在轴u上的投影.

35. 设有向线段AB的起点A和终点B在轴u上的投影分别为点A 和B . 称有向线段A B 的值A B为向量AB在轴u上的投影. 记作 PrjuAB, 或 (AB)u B A 即:PrjuAB = A B u B A (2) 向量在轴上的投影. 轴u叫做投影轴.

36. 性质1(投影定理) 设向量AB与轴u的夹角为 . （3） 向量的投影性质. 则 PrjuAB = | AB |·cos  B A  u B u B A

37. C A B C B u A 性质2. 推论: 性质3: 设为某一实数. 则

38. z az C M k B o y j ay i ax A N x

39. F s 第二节 数量积 向量积 一、两向量的数量积 例: 设力F作用于某物体上, 物体有一段位移S , 求功的表示式. 解: 由物理知, 与位移平行的分力作功, 与位移垂直的分力不作功. 于是 W=|F |cos  |S | = |F | |S | cos 且

40. 1. 定义: 设有两个向量 a、b, 它们的夹角为, 将数值|a||b|cos 称为a与b的数量积, 记作 a  b. 即: a  b = |a| |b| cos 由于 当a  0时, | b | cos = Prjab 当 b  0时, | a |cos = Prjba 故 a  b = |a| Prjab = |b| Prjba 注: a  a = | a |2 例如: i i = j j = k k= 1

41. 2. 数量积的性质 (1) 交换律 a  b =b  a (2) 分配律 (a + b) c =a  c + b c (3) 数量积满足如下结合律: ( a) b =a ( b)= (a b) 为实数

42. (4)两个非零向量a , b 垂直  a  b = 0 证:必要性: 设a  b, 充分性: 设a  b = | a |  |b |cos =0; 由a 0, b 0, 得: cos =0 , 即 a  b 例如: i、j、k互相垂直, 所以 i j=j k=i k=0

43. c b a  例1: 如图, 利用数量积证明三角形的余弦定理 | c |2 = | a |2 + | b |2 2 | a |  | b |cos 证: 由于c = a b , 于是 | c |2 = | a  b |2 = (a b)  (a b) = aa + bb 2 ab = | a |2 + | b |2 2 | a |  | b |cos 故: | c |2 = | a |2 + | b |2 2 | a |  | b |cos

44. 3. 数量积的坐标表示式 设 a ={ax, ay , az}, b = {bx , by , bz}, 则 a b = (ax i+ ay j+ az k)  (bx i+ by j+ bz k) = ax i (bx i+ by j+ bz k) + ay j (bx i+ by j+ bz k) + az k  (bx i+ by j+ bz k) = ax bx i i+ ax by i j+ axbz i  k +ay bx j  i+ ayby j j+ aybz j  k + az bx k  i+ azby k j+ azbz k  k = ax bx + ay by + azbz 得公式: a b= ax bx + ay by + azbz (1)

45. 推论:两个非零向量 a ={ax, ay , az}, b = {bx , by , bz}垂直 ax bx + ay by + azbz = 0

46. 4. 数量积在几何中的应用 设 a ={ax, ay , az}, b = {bx , by , bz}, (1) 求 a在 b上的投影. 已知: Prjba = | a |  由 |a | |b |  = a  b , 得 (2)

47. (2) 求两向量 a, b 的夹角 由 | a | | b |cos= a  b, 知 (3)

48. 解: AMB即为向量MA与MB的夹角. 由 MA={1, 1, 0} MB = {1, 0, 1} cosAMB= 例2. 已知三点 M (1, 1, 1), A(2, 2, 1)和B(2, 1, 2), 求AMB. 得: 所以

49. 例: 设O为一根杠杆L的支点, 有一个力F 作用于这杠杆上P点处, F与OP的夹角为 , 考虑F 对支点O的力矩. F  P L O Q (1) |M| = |OQ| |F | = |OP| sin ·|F | = |OP| |F | sin (2) M的方向: 垂直于OP与F 所在的平面, 指向满足右手规则. 即:右手四指从OP以不超过的角转向F 握拳, 大拇指的指向就是M 的方向. 二、两向量的向量积 由力学规定: 力F 对支点O的力矩是一个向量M . 其中:

50. b  a 1. 定义: 设有两个向量 a、b, 夹角为, 作一个向量c, 使得 c = ab (1) | c | = | a | | b | sin (2) c 与a、b所在的平面垂直, (即 c  a且c  b). c 的指向按右手规则从 a 转向 b 来确定. 则将向量c 称为 a 与 b 的向量积, 记作: a  b. 即: c = a  b 注: 向量积的模的几何意义. 以a、b为邻边的平行四边形, 其面积等于| a | | b |sin, 所以a  b的模, 等于以a、b为邻边的平行四边形的面积.