Conceitos de Sinais e Sistemas Mestrado em Ciências da Fala e da Audição

1. Conceitos de Sinais e SistemasMestrado em Ciências da Fala e da Audição António Teixeira

2. Sistemas propriedades sistemas lineares e invariantes no tempo Sistemas em MATLAB Resposta no tempo de sistemas Aula 5

3. Sistemas Os sinais, que estudamos até agora, são apenas metade da história... ver capítulo 4 de Rosen & Howell

4. O que são sistemas • De uma forma simples: • algo que executa uma operação ou transformação de um sinal de entrada para produzir um sinal de saída

5. Exemplos de sistemas • Amplificador • ex: saída(t) = 2 x entrada(t) • Este sistema não tem memória: a saída em cada instante só depende da entrada nesse instante

6. Exemplos de sistemas • Integrador • Este sistema tem memória: a saída em cada instante depende da entrada nesse instante e do passado

7. Propriedades

8. Homogeneidade • Se ao sinal de entrada inp(t) corresponde out(t) • representado por inp(t)  out(t) • então k x inp(t)  k x out(t) • Se sabemos a saída de um sistema homogéneo a uma sinusóide de amplitude 1 V a 300 Hz também sabemos a resposta a uma sinusóide de 2 V e 300 Hz. • Basta multiplicar a saída do primeiro por 2

9. A homogeneidade implica que a amplitude da saída tem de ser proporcional à da entrada. saída entrada

10. Exemplos • O sistema que converte a pressão no tímpano e o movimento do ossículo “stapes” é homogéneo • Medições efectuadas em gatos, sinusóide de 315 Hz • O movimento da membrana basilar em resposta a alterações de pressão já não é homogéneo • Na zona de funcionamento normal o gravador de cassetes é linear • A níveis elevados de sinal uma sinusóide não é posteriormente reproduzida como sinusóide, não existe homogeneidade

11. Aditividade

12. Aditividade • Se inp1(t)  out1(t) inp2(t)  out2(t) • Então inp1(t) + inp2(t)  out1(t) + out2(t) • Se um sistema é aditivo, conhecendo a saída para dois sinais também se conhece a saída para a soma de ambos, que é a soma das duas saídas

13. Linearidade • Linearidade = Homogeneidade + Aditividade • inp1(t)  out1(t) • inp2(t)  out2(t) • então a x inp1(t) + b x inp2(t)  a x out1(t)+b x out2(t)

14. Invariância temporal • Dado inp(t)  out(t) • Então inp(t) atrasado d segundos  out(t) atrasado de d segundos

15. inp(t) out(t) • inp(t-d)  out(t-d)

16. Sistemas LTI • LTI = Linear Time Invariant • sistemas e que se verifica simultaneamente as duas propriedades de linearidade e invariância temporal • classe de sistemas para os quais existem ferramentas poderosas de análise • Sistemas não lineares são muitas vezes aproximados por sistemas lineares • Em certas zonas um sinal não invariante no tempo pode ser considerado como aproximadamente invariante no tempo • Um exemplo é o sinal de voz que varia continuamente mas que numa escala da ordem das dezenas de milisegundos é considerado geralmente como invariante

17. Outras propriedades • Memória • já vimos no integrador • Estabilidade • Um sistema é estável se responde a um sinal limitado em amplitude com um sinal limitado em amplitude. • Invertibilidade

18. Sistemas em MATLAB - funções

19. Funções • Corresponde ao conceito de programa ou subprograma com entradas/saídas definidas formalmente • Uma função aceita argumentos de entrada e devolve argumentos na saída

20. Função como ficheiro “.m” • Um ficheiro “.m” onde se pretende definir uma função deve obedecer à seguinte organização mínima • Linha de definição • 1ª linha informativa • Texto de help • Corpo da função • Comentários

21. Argumento de Entrada Nome da Função Argumento de Saída Palavra Chave Definição de funções • Linha de definição (caso mais simples) function f = fibo(n)

22. Argumentos de Entrada Nome da Função Argumentos de Saída Palavra Chave Definição de funções • Linha de definição (caso geral) function [y w z] = qqcoisa(x,u,v)

23. Documentação 1ª linha: Informação sumária. Utilizada pelo lookfor Informação sinóptica para o “help”

24. Corpo da função Corpo da função

25. Exemplos Invocação deficiente Objectos privados da função. Não existem no “workspace”genérico

26. Nomes de funções • Os nomes de funções seguem as mesmas regras de nomeação de variáveis. • Aceitam-se no máximo 31 caracteres incluindo “_”. O primeiro caracter tem de ser uma letra. • O nome do ficheiro “.m” que contém a função deverá ser gravado como “nome_da_função.m” Eg. function y = aveg(x)... => ficheiro aveg.m • Caso assim não seja o nome interno é ignorado. • Esta prática é fortemente desaconselhada

27. Caracterização no tempo de sistemas Da resposta impulsional à convolução ver capítulo 9 de Rosen & Howell

28. Resposta a um impulso • Comecemos assumindo que se conhece a resposta de um sistema (sistema Z) a um impulso rectangular de amplitude 3 mV e de duração 1 milisegundo • obtido experimentalmente ou dado por alguém

29. Termos a resposta a um sinal em particular não parece levar-nos muito longe ! • Precisamos de uma forma eficiente de caracterizar a resposta de sistemas por forma a “prever” a sua saída para qualquer sinal • Sendo o sistema LTI a situação não é assim tão má. Vejamos ...

30. Utilizando a homogeneidade • Com base na homogeneidade (decorrente da linearidade) podemos saber a resposta a impulsos de qualquer amplitude

31. Usando a invariância temporal • Com base na invariância temporal podemos saber a resposta a impulsos em qualquer posição temporal

32. Usando a aditividade • Conseguimos saber a saída para a soma dos dois impulsos anteriores

33. Podemos generalizar para a soma de um qualquer número de sinais de entrada

34. Problemas ! • Infelizmente nem todos os sinais (nem mesmo a maioria) pode ser perfeitamente aproximado por impulsos de 1/3 ms • por exemplo o sinal triangular seguinte

35. Resultado para a onda triangular

36. Melhorar o processo .. • Usar impulsos mais estreitos ...

37. Melhorar (II) • Ainda mais estreitos ...

38. Impulso de duração infinitesimal • Não existe razão para não continuar o processo • Chega-se a um impulso tão estreito que não tem duração !! Para ter energia terá de ser de amplitude imfinita !! • Como não podemos variar a amplitude • já é infinita • fala-se em variar a área , ou energia • que é o que aparece agora no eixo dos yy

39. O impulso • A este sinal da largura/duração infinitesimal, inifinito em amplitude e de energia finita chama-se IMPULSO • em Engª é conhecido por delta (de Dirac) • [n] para o caso discreto

40. Generalização a outros sinais • Qualquer sinal pode ser representado como a soma de impulsos adequadamente alterados em termos de amplitude e de posição no tempo. • Ex: um ciclo de uma sinosóide de 1 kHz

41. Convolução • Como qualquer sinal pode ser expresso como a soma de impulsos, conhecendo a resposta de um sistema LTI a um impulso significa que podemos obter a saída para qualquer sinal. • Portanto, os sistemas LTI são caracterizados completamente pela sua resposta impulsional • Não se utiliza a técnica apresentada para obter a saída • como os impulsos são infinitesimais seria necessário um número infinito deles para representar qualquer sinal • A FORMA DE CALCULAR passa pela utilização de uma operação designada por CONVOLUÇÃO • Demo 

42. TPC 

43. Convolução filter Aula 6