Estrutura de Dados e Algoritmos e Programação e Computadores II

1. Estrutura de Dados e Algoritmos e Programação e Computadores II Aula 7: Árvores

2. Árvores • Conceitos e terminologia • Árvores binárias • Árvores-B • Inclusão e Exclusão • Introdução aos grafos

3. Árvores • As listas ligadas usualmente fornecem maior flexibilidade do que as matrizes, mas são estruturas lineares e é difícil usá-las para organizar uma representação hierárquica de objectos. • Pilhas e Filas limitam-se a somente uma dimensão. • A árvore consiste de nós e arcos, que ao inverso das árvores naturais são representadas de cima para baixo, com a raiz no topo e as folhas na base.

4. Árvores • A raiz é um nó que não possui ancestrais; ele só possui nós filhos. • As folhas não possuem nós filhos, ou seus filhos são estruturas vazias. • Exemplo:

5. Árvores • Mais exemplos:

6. Árvores • Cada nó tem que ser atingível a partir da raiz através de uma sequência única de arcos, chamada de caminho. • O número de arco de um caminho é chamado de comprimento do caminho. • O nível de um nó é o comprimento do caminho da raiz ao nó mais 1, que é o número de nós no caminho. • A altura de uma árvore não vazia é o nível máximo de um nó na árvore.

7. Árvores • O número de filhos permitido por nó e as informações armazenadas em cada nó diferenciam os diversos tipos de árvores existentes. • Exemplo: na árvore da expressão (3+6)*(4-1)+5 os nós folhas possuem valores e os nós intermediários possuem operações

8. Árvores • O número de filhos de um nó é chamado grau de saída desse nó. • Um nó folha é aquele com grau de saída nulo, ou também nó terminal. • Um nó que não é folha (isto é, possui grau de saída diferente de zero) é chamado nó interior ou nó interno, ou também nó não-terminal. • O grau de uma árvore é o máximo entre os graus de seus nós. • Uma floresta é um conjunto de zero ou mais árvores.

9. Percurso em Árvores • O percurso em árvores é o processo de visitar cada nó da árvore exactamente uma vez. • O percurso pode ser interpretado como colocar todos os nós em uma linha. • Mas qual a ordem? • Existem n! percursos diferentes, quase todos caóticos. • Os básicos são percurso em profundidade e percurso em extensão (largura).

10. Percurso em Árvores • Um percurso em extensão é visitar cada nó começando do menor nível e move-se para os níveis mais altos nível após nível, visitando cada nó da esquerda para a direita. • Sua implementação é directa quando uma fila é utilizada. • Depois que um nó é visitado, seus filhos, se houver algum, são colocados no final da fila e o nó no início da fila é visitado. • Assim, os nós do nível n+1 serão visitados somente depois de ter visitados todos os nós do nível n.

11. Percurso em Árvores • Breadth - First Search (BFS) Fila: 13 13 Fila: 10, 25 Fila: 25, 2, 12 10 25 Fila: 2, 12, 20, 31 Fila: 12, 20, 31 2 12 20 31 Fila: 20, 31 Fila: 31 29 Fila: 29 Percurso: 13, 10, 25, 2, 12, 20, 31, 29

12. Percurso em Árvores • O percurso em profundidade prossegue tanto quanto possível à esquerda (ou direita), então se move para trás até a primeira encruzilhada, vai um passo para a direita (ou esquerda) e novamente, tanto quanto possível, para a esquerda (ou direita). • Repete-se este processo até que todos os nós sejam visitados.

13. Percurso em Árvores • Depth - First Search (DFS) V – Visitar um nó L – Percorrer à esquerda R – Percorrer à direita VLR VRL LVR RVL LRV RLV 13 10 25 2 12 20 31 29

14. Percurso em Árvores

15. Árvores Binárias • Uma árvore binária é uma árvore cujos nós têm 2 filhos (possivelmente vazios) e cada filho é designado como filho à esquerda ou filho à direita. • O número de folhas é uma importante característica das árvores binárias para mensurar uma eficiência esperada de algoritmos. • Uma árvore binária é conhecida como completa se todos os nós em todos os níveis, excepto o último, tiverem 2 filhos.

16. Árvores Binárias • Assim haveria, 20 = 1nós no nível 1, 21 = 2nós no nível 2, 22 = 4nós no nível 3 e, na forma geral, 2i nós no nível i+1. • Para todas as árvores binárias não-vazias cujos nós terminais tenham exactamente 2 filhos não-vazios, o número de folhas m será o número de nós não-terminais k mais 1. (m = k + 1) • Se uma árvore tem somente uma raiz, essa observação é trivialmente válida.

17. Árvores Binárias • Se ela for válida para uma certa árvore, então, depois de anexar 2 folhas a uma das folhas já existentes, essa folha se torna um nó não-terminal (m é subtraído de 1 e k é adicionado de 1). • No entanto, 2 novas folhas são enxertadas na árvore (m é adicionado de 2).

18. Árvores Binárias k nós não-terminais k+1 nós não-terminais m folhas m+1 folhas

19. Árvores Binárias de Busca • Para cada nó da árvore, todos os valores armazenados em sua sub-árvore à esquerda são menores que o valor armazenado no próprio nó, e todos os valores armazenados na sub-árvore à direita são maiores que o próprio nó. K 13 10 25 A P 2 12 20 31 N R 29

20. Árvores Binárias de Busca • Um algoritmo para localizar um elemento nessa árvore é bastante directo. • Para cada nó, compare a chave com o valor armazenado no nó correntemente apontado. • Se for menor, vá para a sub-árvore à esquerda. • Se for maior, vá para a sub-árvore à direita. • Se for a mesma, a busca chegou ao fim. • Se não houver como continuar, a chave não está na árvore.

21. Percurso em Árvores Binárias void BreadthFirst() { Queue q; Node *p = root; if (p != 0) { q.enqueue(p); while (!q.empty()){ p = q.dequeue(); visit(p); if (p->left != 0) q.enqueue(p->left); if (p->right != 0) q.enqueue(p->right); } } }

22. Percurso em Árvores Binárias void inorder(Node *p) { if (p != 0) { inorder(p->left); visit(p); inorder(p->right); } } void preorder(Node *p) { if (p != 0) { visit(p); preorder(p->left); preorder(p->right); } } void postorder(Node *p) { if (p != 0) { postorder(p->left); postorder(p->right); visit(p); } }

23. Árvores Binárias de Busca • Como será a inserção em uma árvore binária de busca? • E como será a remoção em uma árvore binária de busca? • No nó folha? • No nó raiz? • No nó intermediário?