无穷级数

1. 无穷级数 第一节 数项级数的概念和性质

2. 设有数列 表达函数 无穷级数 解微分方程 第一节 数项级数的概念和性质 数值计算 一. 数项级数的概念 中学: 无穷等比级数 就是无穷级数的一种 定义 将其各项依次累加所得的式子 称为数项无穷级数 项 通项

3. 变化趋势 问题:如何理解无穷个数相加? 1. 部分和: 2. 部分和数列: 称级数收敛 3. 收敛: 称为级数余项 极限不存在,称级数发散 例. 判断级数敛散性: 级数发散 (1). 1+2+3+…+n+…

4. (2). =1 级数收敛 (3). 级数发散 q =1时 q =-1时 极限不存在,级数发散

5. 级数发散 级数收敛 级数发散 总之: (4). 级数发散

6. 若级数 收敛于和 S, k 为常数,则 二. 数项级数的性质 性质1 证 推论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数后,敛散性不变 性质2. 两个收敛级数可以逐项相加或逐项相减

7. 同时敛散 时, 因为 和 都收敛 例: 级数收敛 性质3. 改变有限项不影响级数的敛散性 证 不妨设去掉前k 项,得级数 常数 原级数部分和 因此,不影响级数的敛散性.

8. 设收敛级数 新级数 性质4. 收敛级数各项加括号后所得新级数仍收敛且和不变 证: 注意: (1). 加括号后所得新级数发散,则原级数发散. (2). 加括号后所得新级数收敛,原级数不一定收敛. 例如: (1－1)+ (1－1)+ (1－1)+......收敛 而1－1+1－1+1－1+......发散.

9. 若级数 收敛,则 注意:(1). 若 ,则级数 发散 (2). 时,级数 不一定收敛 性质5.(级数收敛必要条件) 证: 判断级数发散 的第一步骤

10. 假若级数收敛,则 例如:调和级数 但可以证明级数发散 但是, 矛盾

11. (1) (2) 例. 判断级数敛散性: 级数发散 不存在 级数发散

12. 思考

13. 无穷级数 第二节 数项级数的审敛法

14. 定理1(基本定理)正项级数 收敛的充要条件是 是正项级数,因此 第二节 数项级数的审敛法 一.正项级数及其审敛法 每一项都非负 其部分和数列有界 证 (充分性) 单调增加 单调有界数列必有极限,则级数收敛. (必要性) 由收敛数列必有界的性质可知

15. 设 和 都是正项级数, 且 若 收敛,则 收敛; 若 发散则 发散. 则 部分和 设 收敛于σ, 收敛. 由定理1, 反之,若 发散则 必发散. 定理2(比较审敛法) 证: 否则与上面的结论矛盾. 注意: 定理2可以与第一节的性质相结合,灵活运用.

16. 发散 收敛 时,级数显然发散. 时, 因为 , 而 发散,则 p-级数发散 时, 例: p-级数的敛散性 解 收敛 它的各项不大于下面的等比级数各项 收敛 因此 p-级数的部分和有界,故收敛.

17. 而 收敛 而 发散 而 收敛 例. 判断级数敛散性: 收敛 发散 收敛

18. 如果 设 和 都是正项级数, 则 和 同时收敛或同时发散. 对 即 定理3(比较审敛法极限形式) 证 存在自然数N, 当 n>N 时, 由比较审敛法可知结论 例如前面例(3),由 也可以得出结论

19. 例 而 发散 设 是正项级数, 如果 收敛; 发散; 无法确定. 发散 定理4.(比值审敛法) 则: (证明略)

20. 例. 判断级数敛散性: 收敛 收敛 发散 发散

21. 如果 收敛 例 证明 设 是正项级数, 并估计以 近似代替和 S 所产生的误差 收敛; 发散; 无法确定. 定理5.(根值审敛法) 则: (证明略) 则级数收敛 解

22. 满足: 若交错级数 则级数收敛,且其和 ,其 二.任意项级数及其审敛法 各项为任意实数的级数 1. 交错级数: 或 定理6 (莱布尼兹定理) 单调 证 有界

23. 则 例如 则 交错级数 同理 收敛且S<1 如果

24. 对于一般的任意项级数 考虑 收敛,则 绝对收敛 条件收敛 收敛,而 发散,则 定理7. 如果 绝对收敛,则 必收敛 正项级数 2. 绝对收敛与条件收敛 例如 绝对收敛 条件收敛

25. 设 则 由 收敛知 收敛 而 则 收敛 (2) 如果用比值或根值审敛法判定 发散 则 发散 收敛 收敛 证 注意:(1) 逆命题不成立 (证明略) 例 绝对收敛

26. 例 对 而 发散 单调减少 条件收敛 发散 收敛 对

27. 思考

31. 无穷级数 第三节 幂 级 数

32. 是定义在区间 I 上的函数列 在 I 中任取一点 ,就得到一个数项级数 收敛, 收敛点 发散, 发散点 第三节 幂级数 函数项级数 一. 函数项级数 1.定义 2.收敛域 函数项级数的全体收敛点的集合称为收敛域

33. 在收敛域内才有意义,且 3.和函数： 在收敛域内，函数项级数的和依赖于点x，因此其和是x的函数，称为和函数 前n项的部分和 4.余项: 二. 幂级数及其收敛性 幂级数 各项都是幂函数的函数项级数 一般形式:

34. 例 由等比级数的性质, 时收敛, 时发散 (1) 系数 特例 (2) 主要讨论(2),因为(1)可以通过变量代换化成(2) 1.幂级数的收敛域 x = 0 时(2)收敛,一般的,幂级数收敛域是一区间. 则收敛域(－1,1)内

35. 定理1 (阿贝尔定理) 如果 ： 1.在点 收敛, 则当 时，它绝对收敛 2.在点 发散, 则当 时，它发散. 推论 设 存在非零的收敛点,又存在发散点,则 存在R>0,使得当 |x|<R 时它绝对收敛,当 |x|>R 时它发散 (2) 在 内处处收敛; 注:三种收敛情形: R= 0 (1) 仅在 x = 0 处收敛; R—收敛半径 R= + ∞ (3) 在(－R,R )内收敛,端点另外讨论 收敛区间

36. 2.收敛半径的求法 定理2 (证明略) 例 求收敛半径和收敛域 收敛域是(－1，1] x =1 时 收敛； x =－1时 发散

37. 收敛域是(－∞，∞） 仅在 x =0点收敛

38. 收敛域是 发散 发散 收敛域是(1,3] 收敛域是(－1,1] 设 x－2＝ t ,由(1)知 令 收敛域是(－3,3) t =－3时 t =3 时

39. 时,发散. 缺少偶次项,无法用公式，可以用比值法求R ρ<1时,收敛. ρ<1时,发散. 则收敛区间为 注:缺少奇次项,也可以用此方法.

41. 设 收敛半径分别为 和 ,记 则对于任意的 , 有 三.幂级数的运算性质 1.四则运算性质

42. 则 设 收敛半径为R, 则 利用乘法可以定义除法 注意,商级数的收敛半径可能比原来要小得多 2. 分析运算性质 (1) S(x) 在收敛域内连续; (2) S(x) 在(--R,R)内可导,且

43. 即幂级数在(-R,R)内可以逐项求导,所得到的幂级数即幂级数在(-R,R)内可以逐项求导,所得到的幂级数 收敛半径不变. 可推广到任意阶导数 (3) S(x)在(--R,R)内可积,且 即幂级数在(-R,R)内可以逐项积分,所得到的幂级数 收敛半径不变. 注意:(2),(3)中端点需要另外讨论.

44. 例 求和函数 设和函数为S(x) ( |x| <1 )

45. 设和函数为S(x) 则

46. 练习

48. 无穷级数 第四节 函数展开成幂级数

49. 其中f(x) 在 的某邻域内具有n+1阶导数. 第四节 函数展开成幂级数 前面研究的是幂级数的收敛域及和函数,现在反过 来,某个函数是否可以在某个区间内用幂级数表示 一. 泰勒级数 第三章研究过泰勒公式: 余项

50. 此时, f(x)可以用前n+1项近似表示,误差为 若f(x)在 的某邻域内具有各阶导数,则 f(x)在 的泰勒级数 由此引入泰勒级数: 1. 定义 泰勒系数 麦克劳林级数