Intégrale Curviligne

1. Elaboré par M. NUTH Sothan IntégraleCurviligne

2. I- Courbe dans l’espace : 1. Longueur d’une courbe : Soit x, y, z des coordonnées cartésiennes. Soit L une courbe continue sur [a, b] donnée par : x=φ(t) ,y=ψ(t) , z=χ(t) ,(a ≤ t ≤ b) (1) Définition : On dit qu’une courbe L est lisse (ou différentiable) si φ(t) ,ψ(t) etχ(t) admettent des dérivées premières continues sur[a, b].

3. I- Courbe dans l’espace (suite) : Soit le rayon vecteur du point (x, y, z) Considérons : La relation (1) peut être mises sous forme : où est continue sur [a, b]. Donc la courbe L est définie par (1) ou (2).

4. I- Courbe dans l’espace (suite) : Définition : On dit qu’un point , t1∈ [a, b] , d’une courbe L est double si ∃ t1≠ t2(t2∈ [a, b]) tel que . Soit T={t0 , t1 , ... , tn} une subdivision de [a, b]. Considérons la ligne polygonale de sommet : inscrite dans la courbe L.

5. I- Courbe dans l’espace (suite) : On a : la longueur de cette ligne. Définition : La longueur de courbe L sur [a, b] est : Th : La longueur de courbe L sur [a, b] est :

6. I- Courbe dans l’espace (suite) : Remarque : 1. Si L : x=φ(t) ,y=ψ(t) , z=χ(t) ,(a ≤ t ≤ b) , alors : 2. Si L : x=φ(t) ,y=ψ(t) ,(a ≤ t ≤ b) , alors :

7. I- Courbe dans l’espace (suite) : Remarque : 3. Si L : y=f(x),(a ≤ x ≤ b) , alors :

8. I- Courbe dans l’espace (suite) : Exemples : Si L : x=a cos t , y= a sin t , z= bt , (0 ≤ t ≤ 2π) , alors :

9. II- Intégrale curviligne de 1er espèce : Définition : Soit L : x=φ(t) ,y=ψ(t) , z=χ(t) ,(a ≤ t ≤ b) , alors : La courbe différentiable L est régulière si ou

10. II- Intégrale curviligne de 1er espèce (suite) : Remarque : Les points de la courbe en lesquels sont dits singuliers. Définition : Soit f(x, y, z) définie sur L. L’intégrale curviligne de première espèce de la fonction f(x, y, z) le long de la courbe L est

11. II- Intégrale curviligne de 1er espèce (suite) : Cas 1 : L : x=φ(t) ,y=ψ(t) , z=χ(t) ,(a ≤ t ≤ b) , et f(x, y, z) définie sur L , alors :

12. II- Intégrale curviligne de 1er espèce(suite) : Cas 2 : L : x=φ(t) ,y=ψ(t) ,(a ≤ t ≤ b) , et f(x, y) définie sur L , alors :

13. II- Intégrale curviligne de 1er espèce (suite) : Cas 3 : L : y=y(x),(a ≤ x ≤ b) , et f(x, y) définie sur L , alors :

14. II- Intégrale curviligne de 1er espèce(suite) : Cas 4 : L : r=r(),(1≤≤2) , , et f(x, y) définie sur L , alors :

15. II- Intégrale curviligne de 1er espèce (suite) : Remarque 1 : Remarque 2 : Exemple 1 :Calculer l’intégrale curviligne : Indication : x = a cos3 t , y = a sin3 t , 0  t 2

16. II- Intégrale curviligne de 1er espèce (suite) : Exemple 2 :Calculer l’intégrale curviligne : Indication : Passer aux coordonnées polaire.

17. III- Intégrale curviligne de 2ème espèce : Définition :On appelle courbe orientée sur laquelle on a choisi l’une de deux orientations possibles. Soit un champ de vecteurs continu sur une courbe régulière différentiable L.

18. III- Intégrale curviligne de 2ème espèce (suite) : Définition :L’intégrale curviligne de second espèce du champ de vecteurs le long de la courbe L . Si la courbe régulière différentiable L est orientée par t croissant, alors

19. III- Intégrale curviligne de 2ème espèce (suite) : Si la courbe régulière différentiable est orientée par t croissant, alors

20. III- Intégrale curviligne de 2ème espèce (suite) : Si la courbe régulière différentiable L est orientée par t décroissant, alors

21. III- Intégrale curviligne de 2ème espèce (suite) : Remarque 1 : L’intégrale (2) peut être mise en forme : où . Soit un vecteur unité tangent à la courbe L .

22. III- Intégrale curviligne de 2ème espèce (suite) : Alors :

23. III- Intégrale curviligne de 2ème espèce (suite) : Remarque 2 : Si L est traitée comme la trajectoire d’un point matériel et le vecteur comme la force agissant sur ce point, alors l’intégrale curviligne de second espèce représente le travail de la force le long de la trajectoire L.

24. III- Intégrale curviligne de 2ème espèce (suite) : Définition : Un champ de vecteur est dit potentiel si  U(X) dérivable tel que pour x∈ X. Dans ce cas, U(X) s’appelle potentiel de

25. III- Intégrale curviligne de 2ème espèce (suite) : D’après (3), on a : et où

26. III- Intégrale curviligne de 2ème espèce (suite) : Th.1 : Si U1(X) et U2(X) sont des potentiels de défini sur X ouvert, alors U1(X)−U2(X) = Const. Th.2 : Pour qu’un champ de vecteur dérivable et défini sur X ouvert soit potentiel, il est N. et S. que pour x ∈X.

27. III- Intégrale curviligne de 2ème espèce (suite) : Remarque 1 : Soit Pour que soit potentiel, il est N. et S. que : Remarque 2 : Soit . Pour que soit potentiel, il est N. et S. que :

28. III- Intégrale curviligne de 2ème espèce (suite) : Th.3 : Soit un champ de vecteur potentiel sur G et soit U(x, y, z) son potentiel. Si L est une courbe R.D. continue dans G et reliant de point A(x1, y1, z1) vers B(x2, y2 ,z2), alors :

29. III- Intégrale curviligne de 2ème espèce (suite) : Autrement dit que l’intégrale curviligne ne dépend pas du chemin suivi. Remarque : Soit T={t0 , t1 ,..., tn} une subdivision de [a, b] tel que Li arc de courbe L compris entre et , i = 0, 1, 2 , ..., n-1. Alors :

30. IV- Formule de Green. Condition de potentialitée : 1. Formule de Green : Soit D={(x, y); y1(x) ≤y≤y2(x), a≤x≤b} un trapèze curviligne continu dans G. Soient P(x, y) et Q(x, y) sont continues dans G avec ses dérivées partielles .

31. IV- Formule de Green. Condition de potentialité (suite) : y F y=y2(x) E D A B y=y1(x) x 0 b a

32. IV- Formule de Green. Condition de potentialité (suite) : On a :

33. IV- Formule de Green. Condition de potentialité (suite) : Alors : Or : Analogiquement :

34. IV- Formule de Green. Condition de potentialité (suite) : En soustrayant (1) et (2) : qui s’appelle formule de Green. Soit C un contour fermé contenant G, D l’ensemble des points intérieur à C, et D ⊂ G.

35. IV- Formule de Green. Condition de potentialité (suite) : Th.1 :Supposons que P(x, y) et Q(x, y) est continues avec ses dérivées dans un domaine simplement connexe. On a : où le contour C est parcouru dans le sens direct.

36. IV- Formule de Green. Condition de potentialité (suite) : Remarque : Si l’on pose P = y etQ = 0. D’après (4), on obtient la formule pour l’aire du D : Analogiquement, si P = 0 et Q = x , on trouve :

37. IV- Formule de Green. Condition de potentialité (suite) : L’addition (5) et (6) , nous donne une formule pour le calcul de l’aire.

38. IV- Formule de Green. Condition de potentialité (suite) : 2. Condition de potentialité : Soit un champ de vecteur continu dans G. Th.2 : est potentiel dans G s.s.s. Th.3 : est potentiel dans G s.s.s. dans G.

39. IV- Formule de Green. Condition de potentialité (suite) : Ex. : G={(x, y), x2 + y2> 0} non simplement connexe. Posons : x = r cos t , y = r sin t , 0≤ t ≤2

40. IV- Formule de Green. Condition de potentialité (suite) : Th.4 : Soit continue sur AB : x = x(t), y = y(t), a ≤ t ≤ b . Soit la direction de la tangente à AB en M(x, y).

41. Exemples : Calculer les intégrales curvilignes de 1er espèce : 1. 2. 3. 4.

42. Exemples : Calculer les intégrales curvilignes de 2ème espèce : 1. , où O(0, 0), A(1, 1) : a. une droite. b. une parabole x = y2. 2. 3.

43. Exemples : Calculer les intégrales curvilignes de 2ème espèce en utilisant la formule de Green : 1. 2. 3.