3 havo Samenvatting Hoofdstuk 8

1. 3 havo Samenvatting Hoofdstuk 8

2. Formule voor exponentiële groei Bij exponentiële groei wordt de hoeveelheid per tijdseenheid met hetzelfde getal vermenigvuldigd. Dat getal heet de groeifactor per tijdseenheid. Het aantal verkochte fotoboeken in miljoenen geven we aan met N. Op t = 1 is N = 0,3 × 2 = 0,3 × 21 Op t = 2 is N = 0,3 × 2 × 2 = 0,3 × 22 Op t = 3 is N = 0,3 × 2 × 2 × 2 = 0,3 × 23 Op t = 4 is N = 0,3 × 2 × 2 × 2 × 2 = 0,3 × 24 Algemeen is N = 0,3 × 2t N = 0,3 × 2t de beginhoeveelheid is 0,3 de groeifactor per tijdseenheid is 2. Op t = 5 is N = 0,3 × 25 = 9,6 8.1

3. FORMULE VOOR EXPONENTIËLE GROEI N = b·gt b is de beginhoeveelheid of beginwaarde g is de groeifactor per tijdseenheid 8.1

4. Tabel bij exponentiële groei Bij exponeniële groei wordt de hoeveelheid telkens met hetzelfde getal vermenigvuldigd. Om na te gaan of de volgende tabel bij exponentiële groei hoort, voer je een aantal delingen uit. Zijn de uitkomsten van de delingen (bij benadering) gelijk, dan mag je uitgaan van exponentiële groei. De delingen hebben telkens ongeveer 1,56 als uitkomst. Je mag dus uitgaan van exponentiële groei met groeifactor 1,56 per jaar. De beginhoeveelheid is 320. N = 320 · 1,56t 8.1

5. Exponentiële afname Het aantal duiven in opgave 13 halveert elke maand. De groeifactor per maand is dus 0,5. De hoeveelheid neemt voortdurend af. We spreken van exponentiële afname. Bij exponentiële afname hoort de formule N = b· gtmet g tussen 0 en 1. Negatieve groeifactoren komen niet voor. Je zou dan immers een negatief aantal duiven krijgen en dat kan niet. 8.1

6. Procentuele toename Neemt een hoeveelheid met 12% toe, dan krijg je 100% + 12% = 112% = 1,12 NIEUW = 1,12 × OUD Neemt een hoeveelheid per tijdseenheid met 18% toe, dan heb je te maken met exponentiële groei met groeifactor 1,18 per tijdseenheid. Bij een procentuele toename van 39% per jaar hoort exponentiële groei met factor 1,39 per jaar 2,5% per jaar hoort exponentiële groei met groeifactor 1,025 per jaar. 8.2

7. Procentuele afname Neemt een hoeveelheid met 3,8% af, dan krijg je 100% - 3,8% = 96,2% = 0,962 Dus NIEUW = 0,962 × OUD Bij een procentuele afname van 12% per jaar hoort exponentiële groei met groeifactor 0,88 per jaar 2,6% per jaar hoort exponentiële groei met groeifactor 0,974 per jaar. 8.2

8. Evenwichtsstand en amplitude Er bestaan verschijnselen die zich regelmatig herhalen. Je hebt dan te maken met een periodiek verband. Hoogte van een bakje in het reuzenrad, getijdenbeweging van het zeewater. Bij een periodiek verband hoort een grafiek die zich steeds herhaalt. De kortste tijd die het duurt tot herhaling optreedt, heet de periode. In het figuur zie je de grafiek van een periodiek verband. De periode is 5 seconde. De rode horizontale stippellijn hoort bij de evenwichtsstand. 8.3

9. Evenwichtsstand en amplitude Het verschil tussen de hoogste stand en de evenwichtsstand heet de amplitude. De amplitude is dus 6 – 3,5 = 2,5 8.3

10. Functiewaarden bij machtsfuncties In de formule P = 60v3 staat de derde macht van de variabele v. Deze formule is een voorbeeld van een machtsformule. De bijbehorende functie heet machtsfunctie. Een machtsfunctie f heeft de vorm f(x) = axn. 8.4

11. Grafieken van machtsfuncties 8.4

12. De grafiek van de machtsfunctie f(x) = axn 8.4

13. Grafieken veranderen Verschuiven van de grafiek van y = axn Verticaal q omhoog tel er q bij op, dus y = axn + q q omlaag trek er q van af, dus y = axn–q Horizontaal p naar rechts vervang x door x– p, dus y = a(x – p)n p naar links vervang x door x+ p, dus y = a(x + p)n 8.4

14. Voorbeeld De grafiek van y = 0,3x4 wordt eerst 5 omhoog geschoven en vervolgens 3 naar links. De dan verkregen grafiek wordt met –2 vermenigvuldigd. Stel de formule op van de beeldgrafiek. Uitwerking y = 0,3x4 y = 0,3x4 + 5 y = 0,3(x + 3)4 + 5 y = –2(0,3(x + 3)4 + 5) y = –0,6(x + 3)4 – 10 5 omhoog 3 naar links vermenigvuldigen met –2 8.4

15. De vergelijking xn = a Van een kubus met ribbe x is de inhoud 80 cm3. Dus x3 = 80. Om x te berekenen tik je op de rekenmachine in Je krijgt x ≈ 4,31. Notatie x = is de derdemachtswortel van 80. De vergelijking x4 = 10 heeft twee oplossingen. De grafiek van f(x) = x4 heeft immers twee snijpunten met de horizontale lijn op hoogte 10. De ene oplossing is x = De andere oplossing is x = De vergelijking x4 = –10 heeft geen oplossingen. 8.5

16. De vergelijking xn = a 8.5

17. De vergelijking axn + b = c 8.5

18. Vergelijkingen met machten Bij het oplossen van 20x6 = 8x5 zorg je er net als bij een kwadratische vergelijking eerst voor dat het rechterlid nul wordt. Vervolgens ontbind je het linkerlid in factoren en pas je toe: Uit A·B = 0 volgt A = 0 ∨ B = 0. Je krijgt 20x6 = 8x5 20x6– 8x5 = 0 x5(20x – 8) = 0 x5 = 0 ∨ 20x – 8 = 0 x = 0 ∨ 20x = 8 x = 0 ∨ Maak het rechterlid nul. Ontbind het linkerlid in factoren. Uit A · B = 0 volgt A = 0∨ B = 0 8.5

19. De formule In opgave 57 heb je een voorbeeld gezien van een omgekeerd evenredig verband. Het aantal schilders x is omgekeerd evenredig met het aantal dagen y dat het schilderen duurt. Dat betekent: Vermenigvuldig je het aantal schilders met 2, met, met k, dan moet je het aantal dagen door 2, door 5, door k delen. In de tabel heb je gezien dat het product xy telkens 72 is. Door in de formule xy = 72 beide delen door x te delen, kun je deze formule ook schrijven als De formule hoort bij een omgekeerd evenredig verband. 8.6

20. x en y zijn omgekeerd evenredig Vermenigvuldig je x met een getal k, dan moet je y door k delen. Het product xy is constant, dus xy = a. De formule is Voorbeeld Om de grafiek van te tekenen, maak je eerst een tabel. De grafiek heet een hyperbool. Vandaar dat een omgekeerd evenredig verband ook een hyperbolisch verband heet. 8.6