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§2 边缘分布

§2 边缘分布. 1.边缘分布. n 维随机变量（ X 1 ,X 2 , … ,X n ） 作为一个整体,具有联合分布函数 F( x 1 , x 2 , … , x n ) 然而, X 1 ,X 2 , … ,X n 都是随机变量,各自也有它们的分布函数,如果把 X 1 ,X 2 ,...，X n 它们各自的分布函数记为 F X 1 ( x 1 )，F X 2 ( x 2 ), … ,F X n ( x n ), 分别称为 n 维随机变量( X 1 ,X 2 , … ,X n ) 关于 X 1 , 关于 X 2 ，...， 关于 X n 的边缘分布函数。.

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§2 边缘分布

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  1. §2 边缘分布

  2. 1.边缘分布 n维随机变量（X1,X2,…,Xn）作为一个整体,具有联合分布函数F(x1,x2,…,xn)然而,X1,X2,…,Xn都是随机变量,各自也有它们的分布函数,如果把X1,X2,...，Xn它们各自的分布函数记为FX1(x1)，FX2(x2),…,FXn(xn),分别称为n维随机变量(X1,X2,…,Xn)关于X1,关于X2，...，关于Xn的边缘分布函数。 由边缘分布函数的定义可的联合分布函数和边缘分布函数的关系为

  3. FX1(x1)=P(X1≤x1) =P{X1≤x1,X2≤+∞,…,Xn≤+∞} =F（x1，+∞ ，...，+∞) FX2(x2)= P(X2≤x2) =P{X1≤+∞,X2≤x2 ,…,Xn≤+∞} =F（+ ∞,x2，...，+ ∞) FXn(xn)= P(Xn≤xn) =P{X1≤+∞,X2≤+∞,…,Xn≤xn} =F(+∞,+∞,…,xn)

  4. 当n=2时，有 FX(x)=P(X≤x)＝ P(X≤x，Y≤+∞） ＝ F(x，+∞） FY(y)=P(Y≤y)＝ P(X≤+∞，Y≤y） ＝ F(+∞，y)

  5. 几何意义 (X,Y) 平面上的随机点。 随机点（X，Y）落在 以点（x，y）为顶点而 位于该点左下方的无穷 矩形域G内的概率。  随机点（X，Y）落在直线X=x左方的无穷区域内的概率。  随机点（X，Y）落在直线Y=y下方的无穷区域内的概率。

  6. 例1求第一节例3中（X，Y）关于X，Y的边缘分布函数；例1求第一节例3中（X，Y）关于X，Y的边缘分布函数； 解：由上一节例3得（X，Y）得联合分布函数为：

  7. 2、二维离散型随机变量的边缘分布律 • R.v.X和Y的分布律又分别称为（X，Y）关于X和Y的边缘分布律。 P{X=xi} =P{X=xi,Y任意}  =P{X=xi,-∞<Y<+∞} P{X=xi}=  P{Y=yj} =P{-∞<X<+∞,Y=yj}

  8. -------也可直接在表格上运做，往往更为方便！-------也可直接在表格上运做，往往更为方便！ Y y1 　y2　 y3．．． pi． X 　 x１　　 p11 p12 p13．．．p1． • x２ p21 p22 p23 ．．． p2． p.j p.１ p.2 p.3 ．．．

  9. 例2袋中2黑球3白球，从其中随机地取两次，每次取一只，在放回及不放回抽样下，设随机变量X、Y如下：例2袋中2黑球3白球，从其中随机地取两次，每次取一只，在放回及不放回抽样下，设随机变量X、Y如下： 分析： 实际上，X=“第一次抽到的黑球个数”,Y=“第二次抽到的黑球个数”；(X,Y)的可能取值为(0,0)、(0,1)、(1,0)、(1,1)；而 pij=P{X=i,Y=j}=P{第一次抽到i个黑球且第二次抽到j个黑球}， 怎么求呢？ 若第一次抽到白球 若第二次抽到白球 若第一次抽到黑球 若第二次抽到黑球 求（X，Y）的分布律及边缘分布律。 法1----直接用古典概型求概公式； 法2----用乘法公式(或可用上独立性）：P{X=i,Y=j}= P{Y=jX=i }。P{X=i} i,j=0,1

  10. 在放回抽样下,两次抽取相互独立,故 解: P{X=0,Y=0}=P{X=0}。P{Y=0}=3/5。3/5 =9/25 类似地可有 P{X=0,Y=1}=6/25，P{X=1,Y=0}=6/25， P{X=1,Y=1}=4/25， 列表如下 X 0 1 p.j Y 0 1 pi.

  11. 而在不放回抽样下， P{X=i,Y=j}= P{Y=jX=i}。P{X=i}，i,j=0,1故有 X 0 1 p.j Y 0 1 pi. 注：由此例可见:不同的联合分布可有着相同的边缘分布,从而边缘分布不能唯一确定联合分布！

  12. 3、二维连续型随机变量的边缘分布 由f(x,y)求fX(x)和fY(y)： 对于连续型随机变量(x,y),设其概率密度函数为f(x,y) Fx(x)=P{Xx}=P{X x,Y<+∞}=F(x, +∞) 同理

  13. 例3在上节例4中求（X，Y）关于X和Y得边缘概率密度以及边缘分布函数。例3在上节例4中求（X，Y）关于X和Y得边缘概率密度以及边缘分布函数。 解：由上节例4得（X，Y）的联合概率密度函数为

  14. 定义 • 若G为xoy平面上的有界区域，G的面积为μ(G),若二维随机变量（X,Y）的联合概率密度函数为 • 则称二维随机变量（X,Y）在G上服从均匀分布。

  15. 例4已知(X,Y)服从G:x2+y2≤R2上的均匀分布，求其概率密度及边缘概率密度。例4已知(X,Y)服从G:x2+y2≤R2上的均匀分布，求其概率密度及边缘概率密度。 解： 固定x后，对y求积分! 当|x|>R时，f(x,y)0, 故fX(x)=0 ; 当|x|≤R时， fX(x)

  16. 两个要点：明确公式；会固定参变量，求积分!两个要点：明确公式；会固定参变量，求积分!

  17. 例5求上节例5中二维随机变量(X,Y)关于X和关于Y的边缘概率密度fX(x)和fY(y)。例5求上节例5中二维随机变量(X,Y)关于X和关于Y的边缘概率密度fX(x)和fY(y)。 y y y=x2 x o

  18. 例6设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为 其中μ1,μ2,σ1,σ2,r都是常 数,且σ 1>0, σ2>0,|r|<1, 则称(X,Y)服从二维正态分布， 记为(X,Y)～ 试求二维正态随机变量的边缘概率密度。

  19. 注：由此例可见:二维正态分布的两个边缘分布都是正态分布，并且不依赖于r！注：由此例可见:二维正态分布的两个边缘分布都是正态分布，并且不依赖于r！ 注:由此例可见:对于连续型随机变量也有不同的联合分布可有着相同的边缘分布,从而联合分布能唯一确定边缘分布,而反之边缘分布不能唯一确定联合分布！

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