Sisteme de ecuatii liniare

1. IONICA VIOREL LICEUL TEORETIC PETRU CERCEL Sisteme de ecuatii liniare

2. 1.NOTIUNI GENERALE 2.REZOLVAREA MATRICEALA A SISTEMELOR DE N ECUATII CU N NECUNOSCUTE 3.REZOLVAREA SISTEMELOR DE ECUATII OMOGENE 4. REZOLVAREA SISTEMELOR LINIARE IN EXCEL Cuprins:

3. Notiuni generale Definitia 1: Sistemul (1) unde aij , bi ∈R , i ∈{1,…,m}, j ∈{1,…,n} se numeste sistem de m ecuatii liniare cu n necunoscute. Definitia 2: Numerele reale x1, x2, x3, … , xn care verifica fiecare ecuatie a sistemului (1) reprezinta solutia sistemului (1).A rezolva sistemul (1) inseamna a-i determina toate solutiile.

4. Definitia 3: Un sistem de ecuatii liniare care : - are solutie unica se numeste sistem compatibil determinat; - are o infinitate de solutii se numeste sistem compatibil nedeterminat; -nu are solutii se numeste sistem incompatibil. Definitia 4. Sistemul (1) se numeste omogen daca toti termenii liberi sint egali cu zero.

5. Rezolvarea matriceala a sistemelor liniare de n ecuatii cu n necunoscute Fie sistemul Etapa1: -se scrie sistemul sub forma AX = B si se calculeaza detA; Etapa 2:-daca detA ≠ 0, se calculeaza A-1 ; Etapa 3: -solutia sistemului este X =A-1B. Observatie: daca detA = 0, atunci sistemul poate fi compatibil nedeterminat sauincompatibil. Exemplu: Sa se rezolve sistemul urmator utilizind metoda matriceala:

7. Sisteme de ecuatii liniare omogene Sistemul se numeste sistem omogen. Observatii: 1. – un sistem omogen este intotdeauna compatibil ( intotdeauna rangA = rangĀ, deci conform teoremei lui Kronecker – Capelli sistemul este compatibil); 2. – daca rangA = r atunci avem urmatoarele situatii: a). pentru r = n singura solutie a sistemului omogen este solutia nula; b). pentru r < n sistemul are si solutii nenule ; se utilizeaza metodele invatate anterior pentru determinarea solutiilor sistemului . 3. –daca m = n atunci sistemul are solutii nenule  detA = 0; 4. –daca m < n atunci sistemul are solutii nenule. Exemplu: Sa se determine  astfel incit sistemul urmator sa aiba solutii nenule si , in acest caz sa se rezolve:

8. d= = … = - Cazul 1. daca ≠0  sistemul are solutia unica x = y =z = t = 0 ; Cazul 2. daca  = 0  sistemul are solutii nenule; in acest caz avem sistemul Minorul d’ = = -3 ≠ 0 este principal;

9. - x , y , z sint necunoscute principale t =  - necunoscuta secundara; avem de rezolvat sistemul de tip Cramer Solutia este x = , y = , z = 3 Deci , pentru  = 0 solutia generala a sistemului omogen dat este:

10. Rezolvareasistemelorliniare in excel • 1.Pentru rezolvarea unui sistem de ecuaţii liniare de tip Cramer se pot folosi funcţiile MMULTşi MINVERSE aflate în biblioteca Excel astfel: • • se introduc în foaia electronică de calcul matricea coeficienţilor şi vectorul termenilor liberi; • • se selectează zona de memorie care urmează să conţină soluţia sistemului; • • în zona de editare fx setastează=MMULT(MINVERSE(css:cjd);tli:tls), unde: css este colţuldin stânga sus şi cjd este colţul din dreapta jos al matricei coeficienţilor, tli şi tls sunt celulelede început şi sfârşit ale zonei în care se alflă termenii liberi.

11. 2.Se crează foaia electronică de calcul astfel: • coloana întâi conţine comentarii; • zona A2-B5 conţine matricea coeficienţilor; • zona B2-B5 conţine termenii liberi; • se selectează zona H2-H5 şi în fx se tastează =MMULT(MINVERSE(A2:D5);F2:F5) • se apasă simultan tastele Ctrl+Shift+Enter; • în zona H2-H5 se afişează soluţia găsită, iar în zona fx apare {MMULT(MINVERSE(A2:D5);F2:F5)} Că să se poată aplica această metodă trebuie ca matricea coeficienţilor să fie nesingulară. Solver-ul permite calculul determinantului pentru a şti dacă se poate aplica sau nu metoda. Pentruaceasta se foloseşte funcţia MDETERM(css:cjd).

12. În IMAGINEA de mai jos sunt prezentaţi paşi pentrurezolvarea problemei.