Исследования в МГУ по функциональным методам в топологии и некоммутативной геометрии

1. Исследования в МГУ по функциональным методам в топологии и некоммутативной геометрии А.С.Мищенко (Москва, МГУ) Доклад на конф. РФФИ

2. Функциональные методы в дифференциальной топологии – некоммутативная геометрия За последние 2-3 декады прошлого столетия в топологии усиленно развивалисьнаправления, которые сейчас принято называть "некомму-тативной геометрией". По сути дела, это название группирует кругзадач и методов их решения, которые изначально базировались на довольнопростой идее переформулированиитопологических свойств пространств иотобра-жений в терминах соответствующих алгебр непрерывных функций. Доклад на конф. РФФИ

3. Хотя эта идея очень старая и восходит к ключевой теореме Гельфанда-Наймарка о взаимно однозначном соответствии между категорией компактных топологических пространств и категорией коммутативных C*-алгебр, и разрабатывалась различными авторами как в коммутативном так и в некоммутативном случае, в более или менее явном виде эта идея была провозглашена в виде программы действия А.Коном в его книге «Некоммутативная геометрия». Доклад на конф. РФФИ

4. Несмотря на ее самоочевидность, идея рас-сматривать, наряду с коммутативными $C^*$-алгебрами (которые можно интерпретировать как алгебры функций на топологических про-странствах ее максимальных идеалов), также и некоммутативные алгебры как функции на несу-ществующем «некоммутативном»пространстве оказалась настолько плодотворной, что поз-волила соединить воедино многообразие пред-ставлений и методов из таких разделов, как топология, дифференциальная геометрия, функ-циональный анализ, теория представлений, асимптотические методы в анализе и взаимно обогатить их новыми теоремами и свойствами. Доклад на конф. РФФИ

5. Одна из классических задач в гладкой топологии, заключающаяся в описании топологических и гомотопических свойств характеристических класов гладких и кусочно-линейных многообразий, за это время приобрела практически завершенный вид исключительно благодаря тому, что к ней были применены разнообразные методы функцио-нального анализа. И, наоборот, попытки осмыс-лить и решить классические топологические зада-чи привели к обогащению методов функциональ-ного анализа. Как это типично происходит, решение одних частных задач привело к открытию новых горизонтов в развитии математических методов и открытию новых свойств классических математических объектов. Доклад на конф. РФФИ

6. Исследования в МГУ интенсивно проводились в следующих направлениях : • Теория фредгольмофых и асимптотических представлений; • Двойственность Пуанкаре и формула Хирцебруха; • Теория индекса эллиптических операторов над С*-алгебрами; • Теория гильбертовых С*-модулей; • К-теория операторных алгебр. Доклад на конф. РФФИ

7. 1. Соловьев Ю.П., дфмн, 2. Троицкий Е.В., дфмн, 3. Мануилов В.М., дфмн, 4. Штерн А.И., кфмн, 5. Бабенко И.К., дфмн, 6. Постников М.М., дфмн, 7. Хелемский А.Я., дфмн, 8. Попеленский Ф. – кфмн, 9. Павлов А.А. – кфмн, 10. Шарыгин Д.И. – асп., 11. Попов П.С. – асп., 12. Ахметьев П.- дфмн, 13. Мельникова И.А. – кфмн, 14. Ершов А. – кфмн, 13. Ирматов А.А., кфмн, 14. ТулешевС.М.- асп., и др. Участники группы Опубликовано более 100 публикаций в российских и зарубежных журналах; Принято участие в многочисленных российских и международных конференциях; В 2001 году при поддержке РФФИ проведена специальная международная конференция в Москве. Стипендии ДААД и общества Макса Планка, Гос. Премия РФ 1996 г. Доклад на конф. РФФИ

8. Книги Доклад на конф. РФФИ

9. Книги Доклад на конф. РФФИ

10. Специальный выпуск«Некоммутативная геометрия и операторная K-теория»Под ред.А.С.Мищенко Доклад на конф. РФФИ

11. 1.Теория фредгольмофых и асимптотических представлений • Очень плодотворной для некомпактных групп оказалась идея рассматривать вместо представлений некоторые более общие отображения в алгебру операторов, которые, с одной стороны, увеличивают свободу маневра, а, с другой, сохраняют основные черты представлений, необходимых для применения их в топологических задачах. Доклад на конф. РФФИ

12. Источником такого сорта идей послужили, с одной стороны чисто физические соображения, которые заключаются в том, что любая наблюдаемая симметрия явления, а вместе с ней и некоторый закон сохранения, в действительности проявляется неточно. • Поэтому естественно возникает вопрос распознавания по неточной симметрии истинной симметрии. Доклад на конф. РФФИ

13. Асимптотический гомоморфизм • Еще Войкулеску показал, что асимптотический гомоморфизм не гомотопен настоящему гомоморфизму, решив тем самым проблему Халмоша для пары унитарных операторов • Теорема (А.С.Мищенко, В.М.Мануй-лов) Любое асимптотическое пред-ставление сводится к фредгольмову представлению. Доклад на конф. РФФИ

14. Квазипредстваления как частный случай почти представлений: • Теорема (В.М.Мануйлов).Любой асимптотический гомоморфизм в алгебру Калкина гомотопен настоящему гомоморфизму. • (А.И.Штерн): Критерий аменабель-ности связной локально компактной группы в терминах существования достаточно близких представлений для любого квазипредставления. Доклад на конф. РФФИ

15. Метрический подход к построению фредгольмовых представлений • была предложена общая схема фундаментальной группы, которая сводит задачу к построению специального пополнения классифицирующего пространства и решению уже чисто гомотопической задачи на последнем. Доклад на конф. РФФИ

16. Пусть - фундаментальная группа, - классифицирующее пространство, - пополнение по метрике, - - прямой образ Теорема.(А.С.Мищенко)Существует конс-трукция фредгольмовых представлений , с коммутативной диаграммой Доклад на конф. РФФИ

17. Таким образом, задача о построении доста-точного запаса фредгольмовых предствле-ниий сводится к изучению гомотопического типа пары . Доклад на конф. РФФИ

18. 2.Двойственность Пуанкаре и формула Хирцебруха • Пусть  - произвольное (неплоское) расслоение над комбинаторныммногообразием M. Тогда для подходящего достаточно мелкого симплициального разбиения можно определить невырожденную квадратичную форму на цепях многообразия M с коэффициентами в расслоении , так что ее сигнатура удовлетворяет формуле Хирцебруха Доклад на конф. РФФИ

19. 3.Теория индекса эллиптических операторов над С*-алгебрами • Е.В.Троицкий: Разработка теории эллиптических операторов в «дважды» эквивариантном случае, когда группа действует как в расслоениях, так и на алгебре скаляров. А.С.Мищенко и др.: Построение относительного аналитического кручения на уровне С*-алгебр. Доклад на конф. РФФИ

20. 4.Теория гильбертовых С*-модулей;К-теория операторных алгебр • Аналог теоремы Кюйпера для С*-алгебр: Е.В.Троицкий,В.Касимов, J.Mingo, J.Cuntz& N.Higson – для операторов, допускающих сопряженные, Е.В.Троицкий – для операторов общего типа для коммутативных алгебр конечномер-ного типа и ряда других. Доклад на конф. РФФИ

21. Скрученные действия группы и числа Рейдемайстера Идея использования неклассических действий группы. Хорошо известна классическая теорема Бернсайда: количе-ство неприводимых попарно неэквивалентных представлений конечной группы равно количеству классов сопряженных элементов. Аналог для числа классов сопряженности, скрученных некоторым автоморфизмом ::= число Рейдемайстера ( = число Нильсона) описывается как число неподвижных точек отображения *:^^ пространства классов эквивалентных неприводимых представлений. Эта гипотезe доказали Троицкий Е.В. и Фельдштын для групп типа 1 (расширения коммутативных групп с помощью конечных): - регулярное представление, спектральное разложение Доклад на конф. РФФИ