ערבוב והפרדת פאזות

1. ערבוב והפרדת פאזות

2. סיכום הניסוי ערבוב כהלים • ראינו סדרה של כהלים שונים שחלקם מתערבבים במים וחלקם לא. • אתאנול ומים ופרופאנול ומים מתערבבים זה בזה בכל יחס. • בוטאנול ומים מתערבבים רק בהרכב בו היחס גדול מ1 ל4. • פנטאנול ומים מתערבבים רק בהרכב בו היחס הוא גדול מאד (בערך 1ל50)! • איזו תכונה של המולקולות גורמת לכך שלפעמים מתרחש תהליך ערבוב ולפעמים מתרחש תהליך הפוך - הפרדה? • אורך הזנב הפחמימני של המולקולה • על מה משפיע אורך הזנב הפחמימני? - על האינטראקציה עם מולקולות המים • כיצד קשורות האינטראקציות לכך שחומרים כגון בוטנול ניתנים לערבוב ביחס מספרי מסויים אך לא בכל יחס? • נחוץ לנו הסבר אני מתחבר לזנבות ארוכים אני דווקא לא כל כך

3. איך מנתחים תהליכים? • בשבוע שעבר ראינו שניתן להסביר את השפעת הטמפרטורה על התרחשות של תהליכים באופן הבא: YX התהליך יתרחש! איך השתנתה האנרגיה הפנימית של המערכת E? איך השתנתה האנטרופיה של המערכת S? איך השתנתה האנטרופיה של הסביבה Sr? מהי האנרגיה החופשית של התהליך? החוק השני של התרמודינמיקה: באיזה תנאים האנרגיה החופשית של המערכת תקטן? כיצד נשתמש בהליך זה כדי להסביר את השפעת הרכב המערכת?

4. ניתוח תהליכי ערבוב והפרדה באמצעות האנרגיה החופשית. כדי לקבוע איזה תהליך יתרחש, צריך לבדוק כיצד משתנות האנרגיה הפנימית והאנטרופיה בתהליך הערבוב: • מתי האנטרופיה של מערכת כוהל מים גבוהה יותר, כאשר החלקיקים מופרדים או מעורבבים? • כיצד משפיע ההרכב (היחס בין מספר החלקיקים משני הסוגים) על האנטרופיה? • כיצד מגדירים את אנרגית האינטראקציה בין החלקיקים? מתי השינוי באנרגית ההאינטראקציה יהיה חיובי? מתי הוא יהיה שלילי? • בטמפרטורת החדר, האנרגיה החופשית של מערכת שמן- מים נמוכה כאשר היא מעורבבת או מופרדת? אין לנו תשובות מדויקות, דרוש חישוב כמותי

5. מהלך הדברים • כדי להבין את התנהגות המערכת של כהלים ומים או מערכות דומות, אנו צריכים מודל שבו נייצג את המערכת. מהו המודל? • מודל בינארי של שני סוגים של חלקיקים ע"פ סריג שיש ביניהן אינטראקציות. מה אנו כבר יודעים לעשות עם המודל? • יודעים לחשב אנטרופיה למצבי ערבוב שונים באמצעות חישוב מספר המצבים. מה עוד צריך כדי לתאר תערובות שנפרדות? • לדעת לחשב את אנרגית האינטראקציה בין החלקיקים באמצעות המודל. איך משלבים את ערכי האנטרופיה ואנרגית האינטראקציה? • במערכת יציבה האנרגיה חופשית נמצאת במינימום. נבדוק כיצד הרכב (היחס בין מספר החלקיקים) המערכת משפיע על האנרגיה החופשית, ונבין מדוע בחומרים כמו בוטאנול, בהרכבים מסוימים האנרגיה החופשית מינימלית כשהחומרים מעורבבים, ובמקרים אחרים דווקא כששני חומרים מופרדים.

6. מודל להפרדת פאזות במערכת קטנה נשווה בין שתי מערכות של 8 חלקיקים: מערכת א' 2 ירוקים, 6 כחולים המפוזרים בין 8 תאים. ניתן לאפיין שני מצבי "מאקרו" של המערכת : מצב מופרד מצב מעורבב במודל שלנו נגדיר 3 סוגים של אינטראקציות: • כחול-ירוק EGB • כחול-כחול EBB • ירוק-ירוק EGG • נגדיר שהאינטראקציה ירוק-כחול זהה לאינטראקציה כחול-ירוק EGB=EBG • נגדיר שאנרגית האינטראקציה מתחלקת בשווה בין כל זוג חלקיקים, לכן כל חלקיק מקבל ½ מגודל אנרגית האינטראקציה. • במגנטים חוזק האינטראקציה יורד עם המרחק, בהתאם, נגדיר באופן דומה שהאינטראקציה הדומיננטית היא רק בין חלקיקים לשכנים הקרובים שלהם בסריג. • היות והמערכת קטנה, נגדיר "תנאי קצה": החלקיקים בקצה הימני והשמאלי נוגעים זה בזה

7. S=kBln(Ω) תזכורת - אנטרופיה של ערבוב • כדי לחשב אנטרופיה של מערכת של N חלקיקים משני סוגים -ירוק וכחול. השתמשנו במודל סריג בו מיקמנו NG חלקיקים ירוקים ו-NB כחולים. • הנוסחה למספר המצבים של מערכת כזאת היא: • הנוסחה הכללית לאנטרופיה היא: • כדי לחשב אנטרופיה של מערכת של חלקיקים בסריג צריך לחשב:

8. אנטרופיה ואינטראקציה במערכת קטנה במערכת א' כמה מצבים יש בהן המערכת מופרדת? (2החלקיקים הירוקים דבוקים יחד) תשובה: Ω = 8 S = kB ln8 כמה מצבים יש בהן המערכת מעורבבת? תשובה: סך כל הסידורים האפשריים ל-6 חלקיקים כחולים ו-2 ירוקים : פחות 8 מצבים של המערכת בה החלקיקים מופרדים Ω = 28-8= 20 S = kBln20 לשם חישוב אנרגית האינטראקציה נשתמש בתנאי שפה מחזוריים – צד שמאל מחובר כביכול לצד ימין של המערכת האינטראקציות במערכת המופרדת: 1 אינטראקציות ירוק-ירוקEGG +2 אינטראקציות ירוק-כחול EGB + 5 אינטראקציות כחול-כחולEBB האינטראקציות במערכת המעורבבת: החלקיקים ירוקים לא נוגעים לכן יש רק אינטראקציות ירוק-כחול וירוק ירוק (4 EGB+4 EBB)

9. האנרגיה החופשית של המערכת האנרגיה החופשית כתלות בטמפרטורה T של המערכת כאשר החלקיקים מעורבבים וכאשר הם מופרדים. חלקיקים מעורבבים: - kBTln20(EGB+44EGG)Fmixed = חלקיקים מופרדים: Fseparated = EGG +2 EBG +5 EBB –kBTln8 תרגיל: א. חשבו את טמפרטורת המעבר של המערכת ממצב מעורבב למצב מופרד עבור הערכים הבאים של אנרגיות האינטראקציה: EGG=(-2) kB EBG=(-1) kB EBB=(-1) kB

10. מה למדנו מהמערכת הקטנה? במערכת עם הרכב חלקיקים נתון. איזה תהליך יתרחש, ערבוב או הפרדה? חישוב השינוי באנרגית האינטראקציה E על פי EGG EBB EBG כתלות בהרכב החלקיקים חישוב השינוי באנטרופיה S בין המצב המעורבב למופרד כתלות בהרכב. • ככל שהיחס בין החלקיקים קרוב יותר ל4:4 כך טמפ' המעבר למצב המעורבב יותר גבוהה. • כלומר, קיימות טמפרטורות ביניים, שבהן תהליך הערבוב של מערכת ביחס חלקיקים 1:7 יתרחש ותהליך הערבוב של מערכת בהרכב 4:4 לא יתרחש. חישוב האנרגיה החופשית באיזה טמפ' האנרגיה החופשית תהיה שלילית?

11. מה למדנו מהמערכת הקטנה? • למדנו כלל אצבע על השפעת ההרכב על הערבוב, אבל: • החישוב היה ארוך ומעייף, ויהיה ארוך עוד יותר במערכות עם מספר גדול של חלקיקים • לכן, אנחנו מחפשים קירובים או "טריקים" שיעזרו לנו לפשט את החישובים במערכת. • קירוב אחד כבר ראינו - קירוב "שכנים קרובים" • כמה שכנים "הכי קרובים" יש לכל חלקיק בסריג דו ממדי? • כמה שכנים "הכי קרובים" יש לכל חלקיק בסריג תלת ממדי? • דו ממדי: לכל חלקיק יש 4 שכנים הכי קרובים, תלת מימדי: 6 שכנים

12. טריק לחישוב אנטרופיה של ערבוב • ראינו שכאשר מספר החלקיקים מתחיל להיות גדול, מספר המצבים נעשה עצום וקשה למחשבון לחשב מספרים מסוג זה. כדי לפתור בעיה זאת משתמשים בטריק מתמטי שנקרא "קירוב סטירלינג". • על פי קירוב סטירלינג כאשר N הוא מספר גדול מתקיים: • נבחן את הקירוב בעזרת N=100 במקרה זה N!=9.3310157 ln(100!) = 363.7 • עכשיו נסו לחשב זאת בעזרת הביטוי: • כמה קיבלתם? 100 ln(100)-100=360.5 • מאד קרוב לתוצאה המדויקת!

13. דוגמה לחישוב אנטרופיה של ערבוב • אם מגדירים במקום מספר החלקיקים את הריכוז של כל סוג של חלקיקים מתוך סך החלקיקים: cB=NB/N cG=NG/N מקבלים אחרי מעט אלגברה* משוואה לאנטרופיית הערבוב כתלות בריכוזים: • למה צריך את הביטוי הזה? • כדי לחשב את האנטרופיה של ערבוב חומרים מאקרוסקופיים, למשל: • מה היא האנטרופיה של תערובת 0.25 מים ו-0.75 אלכוהול שכמות החלקיקים הכוללת בה היא N=6.022  1023? S=kBN[-cB·lncB - cG·lncG] לענות בדף:

14. נספח- פיתוח הביטוי לאנטרופיה של ערבוב • על ידי שימוש בחוקי ה-Log ניתן להפריד את הביטוי לאנטרופיה של ערבוב לשלושה חלקים: • אפשר לעשות לכל חלק קירוב סטירלינג ולקבל: אם מגדירים במקום מספר החלקיקים את הריכוז של כל סוג של חלקיקים מתוך סך החלקיקים: c1=N1/N c2=N2/N מקבלים משוואה לאנטרופיית הערבוב כתלות בריכוזים: S=kBN[-c1·lnc1-c2·lnc2]