13 多變數函數

1. 13 多變數函數 Functions of Several Variables

2. 13.1 多變數函數導論 13.2 極限與連續 13.3 偏導數 13.4 微分 13.5 多變數函數的連鎖規則 13.6 方向導數和梯度向量 13.7 切平面和法線 13.8 兩變數函數的極值 13.9 兩變數函數極值的應用 13.10 拉格朗日乘子法

3. P.552 Ch13 多變數函數 13.3 偏導數(Partial derivatives) 兩變數函數的偏導數 如果 z = f (x, y) 是一個兩變數的函數，則 f 對 x 和 y 的一階偏導數 fx和 fy的定義分別是 （如果極限存在的話）。

4. P.552 Ch13 多變數函數 例 1求偏導數 求下列函數的 fx和 fy。 f (x, y) = 3x – x2y2 + 2x3y 解　令 y 為常數而對 x 微分得到 f (x, y) = 3x – x2y2 + 2x3y fx (x, y) = 3 – 2xy2 + 6x2y 令 x 為常數而對 y 微分得到 f (x, y) = 3x – x2y2 + 2x3y fy (x, y) = –2x2y + 2x3

5. P.552 Ch13 多變數函數 一階偏導數的記號 函數 z =f (x, y) 的偏導數 fx和 fy的各種記法如下 和 而偏導數在點 (a, b) 的值則記為

6. P.553 Ch13 多變數函數 例 2求偏導數並計算其值 f (x, y) = xex2y，求 fx和 fy和在點 (1, ln 2) 的值。 解　由於 fx (x, y) = xex2y(2xy) + ex2y 其在 (1, ln 2) 的值是 fx (1, ln2) = eln2(2 ln 2) + eln2 = 4 ln 2 + 2 又因 fy (x, y) = xex2y(x2) = x3ex2y 其在 (1, ln 2) 的值是 fy (1, ln 2) = eln2 = 2

7. P.553 Ch13 多變數函數 圖13.29

8. P.553 Ch13 多變數函數 圖13.30

9. P.553 Ch13 多變數函數 例 3求曲面在 x-方向和 y-方向的斜率 求曲面 在點 (½, 1, 2) x -方向和 y-方向的斜率。 解f 對 x 和 y 的偏導數為 fx (x, y) = –x和 fy (x, y) = –2y 所以，在 x-方向，斜率為 在 y-方向，斜率為

10. P.554 Ch13 多變數函數 圖13.31(a)

11. P.554 Ch13 多變數函數 圖13.31(b)

12. P.554 Ch13 多變數函數 例 4求曲面在 x-方向和 y-方向的斜率 求曲面 f (x, y) = 1 – (x – 1)2 – (y – 2)2 在點 (1, 2, 1) x-方向和 y-方向的斜率。 解f 對 x 和 y 的偏導數為 fx (x, y) = –2(x – 1) 和 fy (x, y) = –2(y – 2) 所以在點 (1, 2, 1) x-方向和 y-方向的偏導數為 fx (x, y) = –2(1 – 1) = 0 和 fy (1, 2) = –2(2 – 2) = 0 如圖13.32 所示。

13. P.554 Ch13 多變數函數 圖13.32

14. P.554 Ch13 多變數函數 例 5以偏導數求變率 兩鄰邊長分別為 a 和 b，夾角為θ的平行四邊形面積為 A = ab sinθ（圖13.33）。 a. 當 a = 10，b = 20，　　　時，求 A 對 a 的變率。 b.當 a = 10，b = 20，　　　時，求 A 對θ的變率。 解 a.求面積對 a 的變率時，令 b 和θ為常數，對 a 微分得到

15. P.554 Ch13 多變數函數 例 5（續） b. 求面積對θ的變率時，令 a 和 b 為常數，對θ微分得到

16. P.555 Ch13 多變數函數 例 6求偏導數 a. 在求 f (x, y, z) = xy +yz2 + xz 對 z 的偏導數時，令 x 和 y 為常數對 z 微分得出 b. 在求 f (x, y, z) = z sin (xy2 + 2z) 對 z 的偏導數時，令 x 和 y 為常數，以積的規則對 z 微分得出

17. P.556 Ch13 多變數函數 例 6（續） c. 在求 f (x, y, z, w) = (x +y +z)∕w 對 w 的偏導數時，令 x, y 和 z 為常數，對 w 微分得出

18. P.556 Ch13 多變數函數 高階偏導數(Higher order partial derivatives) 多變數函數記錄高階偏導數的方式是照順序記下其偏 微分的過程，例如 z =f (x, y)有下列四種二階偏導數。 1. 對 x 偏微兩次： 2. 對 y 偏微兩次： 3. 先對 x 再對 y 偏微： 4. 先對 y 再對 x 偏微： 第 3 和第 4 種情形稱為混合偏導數(Mixed partial derivatives)。

19. P.556 Ch13 多變數函數 例 7求二階偏導數 求 f (x, y) = 3xy2 – 2y + 5x2y2的二階偏導數，並求 fxy(–1, 2)。 解　先求對 x 和 y 的一階偏導數。 fx (x, y) = 3y2 + 10xy2和 fy (x, y) = 6xy – 2 + 10x2y 然後，將 fx和 fy各自對 x 和 y 偏微。 fxx (x, y) = 10y2和 fyy (x, y) = 6x + 10x2 fxy (x, y) = 6y + 20xy和 fyx (x, y) = 6y + 20xy 在 (–1, 2)，fxy的值是 fxy(–1, 2) ＝ 12 – 40 = –28。

20. P.557 Ch13 多變數函數 定理13.3混合偏導數相等的條件

21. P.557 Ch13 多變數函數 例 8求高階偏導數 求證 f (x, y, z) = yex +x ln z 的 fxz和 fzx相等，fxzz，fzxz和 fzzx彼此相等。 解 一階偏導數： fx (x, y, z) = yex + ln z, fz (x, y, z) = x/z 二階偏導數（前兩者相等）： 三階偏導數（三者全等）：