Teorema di Pitagora

1. Unione Europea Fondo Sociale Europeo PROGRAMMA OPERATIVO NAZIONALE 2007-2013 - Obiettivo “Convergenza” “Competenze per lo Sviluppo” -2007 IT 05 1 PO 007 F.S.E.-C-1-FSE-2007 448 “Con l’Europa: investiamo nel vostro futuro” Corsi cofinanziati dal Fondo Sociale Europeo Teorema di Pitagora “RealityM@th. Mondo reale e competenze in Matematica ” Liceo Classico “A. Nifo” ISISS “A. Nifo” - Sessa Aurunca 2008 Prodotto finale SUCCESSIVA

2. Presentazione …E’ il caso di presentarci… Questo è il nostro prodotto finale, una breve presentazione del Teorema di Pitagora, realizzato nel corsi PON di matematica 2007/2008 “RealityM@th. Mondo reale e competenze in Matematica” Un vivo ringraziamento ai nostri docenti: Prof. Volpicelli Antonio e Prof. Falso Silvio e all’ISISS “A. Nifo” Gli alunni del corso: RealityM@th. Mondo reale e competenze in Matematica Pezone Lisa Simone Geremia Sorgente Mariangela Tommasino Antonio Zannini Giuseppina Zippo Simone, Landi Adriano Marrucchiello Michele Melucci Mariachiara Migliozzi Caterina Pagliaro Maria Michela Palmieri Martina Petrillo Adele Ciccariello Lina D'Alterio Gaetana De Luca Silvia Del Vecchio Pasquale Di Pinto Livia Ferraro Maria Iannone Marika SUCCESSIVA PRECEDENTE

3. La vita di Pitagora Pitagora  nacque a Somo nel 575 ca. e morì a Metaponto nel 490°.C. e fu un importante matematico greco. Pitagora attorno al 530 a .C. lasciò Somo per stabilirsi a Crotone, dove fondò una setta religiosa e politica di orientamento aristocratico e una scuola filosofica la cui attività contribuì a rendere la città il più importante centro della Magna Grecia. Pitagora quasi certamente non scrisse nulla: il suo pensiero e le sue dottrine, nati tradizionalmente con il nome di pitagorismo, ci sono giunte attraverso le opere dei discepoli. È pertanto difficile distinguere il loro contributo teorico dal nucleo originario, direttamente riconducibile al maestro. SUCCESSIVA PRECEDENTE

4. Pitagora e i numeri irrazionali Pitagora, oltre ad essere noto per il suo famoso teorema, fece importanti studi su i numeri irrazionali. I numeri irrazionali sono tutti quei numeri non esprimibili come il quoziente di due numeri interi, e in forma decimare, un numero irrazionale emette una serie infinita di cifre decimali, che non si riduce mai alla ripetizione periodica di uno stesso gruppo di numeri. I numeri irrazionali inoltre, furono inventati per necessità di ampliare l’insieme dei numeri, che emerse dallo studio della geometria: infatti la lunghezza della diagonale di un quadrato di lato uguale a una unità, così come il rapporto tra una circonferenza e il suo raggio, non possono essere espressi da un numero razionale Simili considerazioni hanno portato all’introduzione del sistema dei numeri reali, composto dai razionali e dagli irrazionali. Sono numeri irrazionali, ad esempio √2 = 1,4142135623… e π = 3,1415926535… SUCCESSIVA PRECEDENTE

5. Pitagora : il Teorema Il teorema è attribuito a Pitagora, ma in realtà la sua storia è molto più complessa e le sue origini risalgono almeno ad un migliaio di anni prima che Pitagora si dedicasse allo studio dei triangoli rettangoli. Infatti in Cina il teorema "di Pitagora" era già noto almeno mille anni prima della nascita di Pitagora. La dimostrazione originale purtroppo è andata perduta, ma dalla figura ritrovata si può risalire a tale dimostrazione in linea generale. Se si indicano conaebi cateti e concl’ipotenusa di un triangolo rettangolo, il quadrato di latoa+bsi può considerare composto di 8 triangoli (gialli e bianchi) e del quadratino di latob-a(rosso), o anche del quadrato sull’ipotenusac(giallo e rosso) e di quattro triangoli (bianchi), da cui si ricava la relazione4ab+ (b-a) = c +2ab. Sviluppando(b-a) = b + a-2ab, si ottiene4ab+b+ a-2ab = c+2ab, cioèb+a= c, quindi il teorema di Pitagora. SUCCESSIVA PRECEDENTE

6. TEOREMA + = Quadrato costruito sull’ipotenusa AC A Quadrato costruito sul cateto AB Sia ABCun triangolo rettangolo,retto inB C B Quadrato costruito sul cateto BC La somma dei quadrati costruita sui catetiABe BCè equivalente al quadrato costruito sull’ipotenusaAC. SUCCESSIVA PRECEDENTE

7. Dimostrazione Si costruisca un quadratoDEFGavente lato uguale alla somma dei catetiABeBC su esso si scelgano i puntiH, I, L, M A In modo che il segmentoEIabbia la stessa lunghezza del catetoBC, D M G B C il segmentoIFabbia la stessa lunghezza del catetoAB, H N L il segmentoFLabbia la stessa lunghezza del catetoAB il segmentoGLabbia la stessa lunghezza del catetoBC Sia Nl’intersezione della congiungenteL, Hcon la congiungenteI, M. E I F Osserviamo che la retta congiungenteM ed I è parallela al latoGF la retta congiungenteH e L è parallela al latoEF. Quindi i quadrilateriDMHN, MGLN, eHNIE sono tutti rettangoli. NLFI In particolare,DMNHeNLFIavendo una coppia di lati adiacenti uguali per costruzione sono quadrati: il primo di lato uguale aBC; il secondo di lato uguale adAB. SUCCESSIVA PRECEDENTE

8. Si costruisca un quadrato D’E’F’G’ avente lato uguale alla somma dei cateti AB e BC su esso si scelgano i punti H’, I’, L’, M’, in modo tale che i segmenti E’I’ F’L’ M’G’ D’H’ abbiano la stessa lunghezza del cateto BC I segmenti I’F’ L’G’ D’M’ E’H’ abbiano la stessa lunghezza del cateto AB A M’ D’ G’ B C L’ H’ E’ I’ F’ SUCCESSIVA PRECEDENTE

9. L’area del rettangolo NLGMè il doppio dell’area del triangolo rettangolo I’F’L’ per costruzione, la somma delle aree dei due rettangoliNLMGeNIHE è uguale alla somma delle aree dei quattro triangoli rettangoli I’F’L’, L’G’M’, M’H’D’, H’E’I’. Essendo le aree dei due quadrati DEFG e D’E’F’G’ uguali per costruzione Figura F1 Figura F2 D M G D’ G’ M’ L’ H’ H N L E I F I’ F’ E’ l’area della figura F1 che si ottiene da DEFGtogliendo i due rettangoli e quella della figuraF2 che si ottiene da D’E’F’G’ togliendo i quattro triangoli rettangoli devono coincidere. SUCCESSIVA PRECEDENTE

10. Figura F2 M’ L’ H’ I’ I due quadrati della figura F1 sono equivalenti ai quadrati costruiti sui cateti del triangolo ABC per costruzione Resta da dimostrate che il quadrato della figura F2 è equivalente al quadrato costruito sull’ipotenusa. A Figura F1 D M B C L H N F I il quadrilatero H’I’L’M’ ha tutti i lati uguali all’ipotenusa del triangolo ABC. Infatti ognuno di essi è l’ipotenusa di un triangolo rettangolo che per costruzione ha i cateti uguali ai cateti del triangolo ABC. Quindi il quadrilatero H’I’L’M’ ha tutti i lati uguali all’ipotenusa AC del triangolo di partenza e tutti gli angoli retti ed è pertanto un quadrato equivalente a quello costruito sull’ipotenusa. SUCCESSIVA PRECEDENTE

11. A Inoltre l’angolo ad ognuno dei suoi vertici, per esempio l’angoloH’I’L’è supplementare della somma degli angoliH’I’E’ edL’I’F’.(la somma forma un angolo di 180°) Figura F2 B B C D’ G’ M’ D’altra parteH’I’E’è uguale all’angolo inCdel triangoloABC L’ H’ l’angolo L’I’F’è uguale all’angolo inAdello stesso triangolo. F’ E’ I’ L’angoloH’I’L’coincide con il supplementare della somma degli angoli inC e inA del triangolo ABC e deve coincidere con il terzo angolo (inB)che per ipotesi è retto. SUCCESSIVA PRECEDENTE

12. Quindi il quadrilatero H’I’L’M’ ha tutti i lati uguali all’ipotenusa AC del triangolo di partenza e tutti gli angoli retti ed è pertantoun quadrato equivalente a quello costruito sull’ipotenusa. M’ L’ H’ Quadrato costruito sull’ipotenusa AC I’ A Quadrato costruito sul cateto AB B C Quadrato costruito sul cateto BC F I N E PRECEDENTE