1 / 46

3. PLOSKVE IN ZEMLJEVIDI

3. PLOSKVE IN ZEMLJEVIDI. Obroči v molekularnih grafih. Molekularni grafi [benzenoidni sistemi, fulereni, ...] pogosto obravnavajo posebej obroče (rings) ali lica(faces) . Npr. na levi vidimo štiri obroče. Odprta in zaprta škatla. Odprta škatla ima 5, ztaprta pa 6 lic.

jesus
Download Presentation

3. PLOSKVE IN ZEMLJEVIDI

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. 3. PLOSKVE IN ZEMLJEVIDI

  2. Obroči v molekularnih grafih • Molekularni grafi [benzenoidni sistemi, fulereni, ...] pogosto obravnavajo posebej obroče (rings) ali lica(faces). • Npr. na levi vidimo štiri obroče.

  3. Odprta in zaprta škatla • Odprta škatla ima 5, ztaprta pa 6 lic. • Grafi ne ločijo med obema. Potrebujemo NOVA ORODJA.

  4. 3.2 Topološki pogled na ploskve • n-dimenzionalna mnogoterost je Hausdorffov prostor s števno bazo, kjer ima vsaka točka odprtookolico, homeomorfno n- dimenzionalni krogliUn = { (x1,..,xn) Rn ; x12+...+xn2 < 1 } ali polkrogli{ (x1,..,xn)  Un ; xn 0 }.

  5. Ploskve • Rob mnogoterosti sestavljajovse točke, ki nimajo okolice, homeomorfne Un . • Povezano, kompaktno 2-mnogoterosts praznim robom imenujemo ploskev(včasih tudi sklenjena ploskev). • Ravnina: nekompaktna ploskev • Zaprt disk: ploskev z robom

  6. Primeri sklenjenih ploskev • Sg, g  0. • Pri tem dobimo Sg tako, da na sfero S0 nalepimo g ročk.

  7. Ročka je torus z lunknjo • Ročka je v bistvu torus z luknjo na površini. • Torus dobimo tako, da prilepimo ročko na sfero. • To pa je isto, kot da bi na sfero prilepili cevko (na dveh mestih) . • Sfera z eno luknjo je disk. • Sfera z dvema luknjama je cevka. Disk Ročka Cevka

  8. Möbiusov trak • Möbiusov trak dobimo tako, da zlepimo nasprotni stranici dolega traku, pred tem trak zasukamo, tako da lepimo vzdolž obeh puščic. • Möbiusov trak je neorientabilna ploskev z eno robno komponento.

  9. Kleinova steklenica • Kleinovo steklenico dobimo tako, da prilepimo cevko nase. Pri tem še pazimo, da obrnemo smer na enem robu. • V treh razsežnostih se ne moremo izogniti samopresekanju (zelena elipsa na sliki).

  10. Triangulacija ploskveS • končna družina zaprtihpodmnožic {T1,T2,...,Tk}, ki pokrivajo S in • družina homeomorfizmov i : Ti' Ti,i=1,..n, kjer jeTi'trikotnik v ravnini. • Ti Tj je , točka ali stranica za i j • Slike stranicin oglišč trikotnikov Ti' imenujemo stranice in oglišča.

  11. Triangulirana ploskev • Ploskev s triangulacijo imenujemo triangulirana ploskev. • IZREK (T. Radó,1925) Vsaka ploskev je homeomorfna triangulirani ploskvi.

  12. Poligoni • Poligon je homeomorfna slika zaprtega enotskega kroga v ravnini, kiima rob z roglišči razdeljen na r stranic, r > 0. • Orientacijo poligona določimo z izbiro smeri obhoda. • Dva poligonas skupno stranico sta skladno orientirana, če na tej skupni straniciinducirata nasprotni orientaciji.

  13. Celulacija ploskve • Celulacija ploskve- pri triangulaciji ploskve dovolimo združitev več trikotnikov sskupnimi stranicami v poligone . • Orientacija celulacijeje izbira orientacij vseh poligonov na tak način, da sta poljubna dva poligona sskupno stranico orientirana skladno.

  14. Orientacija celulacije • Z orientacijo ene celulacije C dane ploskve so določene orientacije vsehnjenih subdivizij. • Obratno, orientacija subdivizije določa orientacijo prvotne celulacije. • To pomeni, da so z izbiro orientacije ene celulacije določene orientacijevseh celulacij dane ploskve.

  15. Orientabilna ploskev • Ploskev je orientabilna, če ima orientacijo s celulacijo. • Orientacija ploskve je izbira orientacije ene celulacije te ploskve.

  16. 3.1 Kombinatorni pogled na ploskve

  17. (Topološki) polieder • F=končna družina paroma disjunktnih poligonov v ravnini. • Naj bo skupno število stranic sodo. Razdelimo jih na pare in jih označimos črkami. Dve stranici označimo z isto črko pripadataistemu paru. • Stranice poljubno usmerimo. • Sedaj identificiramo parestranic z istimi črkami na tak način, da se usmeritve stranic ujemajo. • Če je dobljeni topološki prostor povezan: polieder • Polieder je ploskev.

  18. Zgled poliedra 1 • F={abc-1,fdb-1,ecd-1,a-1e-1f-1} b b d c c f e d a a f e

  19. Zgled poliedra 2 • F={afb-1,chd-1,eij-1,gkl-1,aik-1c-1,blj-1d-1,efgh} b b d c c f e d a e a f k j g h c d i l f a b e

  20. Zgled 3: knjiga s tremi listi • F={abcd, aefg, aijk} c f j d g k b e i a a a

  21. Shema • A={a1,a2,...,an} množica simbolov • AA-1= {a1,a2,...,an ,a1-1,a2-1,...,an-1} • w= x1,x2,...,xd , xd AA-1, w je vrstica. •  ={w1,w2,...,wp } je shema • Vrstica določa usmerjen večkotnik (poligon).

  22. Zgled za vrstico • w = abc-1 = =bc-1a = c-1ab • w -1 = cb-1a-1 = =a-1c b-1 = b-1a -1c b c a

  23. Abstraktni polieder •  - shema • u  v : v dobimo iz u na naslednje načine - u ciklično permutiramo - u zapišemo v nasprotnem vrstnem redu - zamenjamo eksponente 1 in –1 •   ’, če imata ekvivalentne vrstice •  /  je abstraktni polieder

  24. Vprašanja Katere sheme opisujejo • povezane prostore? • ploskve (ploskve z robom) ? • orientabilne ploskve?

  25. Podshema •  - shema z množico simbolov A() • ’   je podshema . •  in  sta trivialni podshemi. • ’   je odprta,če A(’)A(\ ’)=  • Shema je povezana, če nima netrivialnih odprtih podshem.

  26. Odgovor 1 Katere sheme opisujejo • povezane prostore? • Povezane sheme - nimajo netrivialnih odprtih podshem.

  27. Odgovor 2 Kateri sheme opisujejo • ploskve (ploskve z robom) ? • #(,a) ... število pojavitev simbola a v  •  je ploskev, če je povezana in za vsak a  A() velja #(,a) =2. •  je ploskev z robom, če je povezana in za vsak a  A() velja #(,a)  2.

  28. Odgovor 3 Katere sheme opisujejo • orientabilne ploskve? • +(,a) ... število pojavitev a v  • -(,a) ... število pojavitev a-1 v  • Ploskev je orientirana, če za vsak a  A() velja +(,a) = -(,a) . • Ploskev je orientabilna, če obstaja orientirana ploskev ’   /

  29. Enorazsežna subdivizija •  shema, • A={a1,a2,...,an,x} množica simbolov • Enorazsežna subdivizija(xyz) : x povsod zamenjamo z yz, x-1 pa z z-1y-1 • Inverzna operacija (kompozicija) (yzx) ni vedno izvedljiva.

  30. Dvorazsežna subdivizija •  shema, • x  A() • w = uv   • Dvorazsežna subdivizija(uv{ux, x-1v}) • Inverzna operacija (kompozicija) ({ux, x-1v}  uv)

  31. Ekvivalenca shem •  in ’ sta ekvivalnetni, če lahko ’ dobimo iz  s končnim zaporedjem eno- in dvorazsežnih subdivizij ter eno- in dvorazsežnih kompozicij. • Ekvivalentni shemi opisujeta (do homeomorfizma natančno) isti polieder • Ekvivalenčni razred je abstraktna ploskev.

  32. Graf poliedra •  shema • Množica lic shemeF - vrstice • Množica povezav E - različni simboli • VozliščaV - krajišča povezav • X() =(V, E) – pripadajoči graf

  33. Eulerjeva karakteristika • ______ ()= |V| - |E| + |F| Pri eno- in dvorazsežni subdiviziji ter eno- in dvorazsežni kompoziciji se ohranja •  () • orientabilnost, neorientabilnost

  34. Fundamentalni poligon • Če pri povezanem poliedru zadostikrat združimo po dve vrstici sheme (naredimodvorazsežno kompozicijo), dobimo eno samo vrstico (poligon) • To je fundamentalni poligon (poliedra)

  35. Sfera

  36. Torus (sfera z enim ročajem) a b b-1 a-1

  37. Večkratni torus (sfera z g ročaji)

  38. Projektivna ravnina

  39. Kleinova steklenica b a b a

  40. Neorientabilna ploskev roda q

  41. Nehomeomorfnost ploskev • Ploskve S0, S1,..., Sp,.., N1, N2,… so paroma nehomeomorfne.

  42. Preprosta normalizacija • P in Q neprazna niza simbolov •  = Paa-1Q shema, • ´ = PQ je ekvivalentna shemi  • Ko shemo prevedemo na eno samo vrstico in izvedemo preprosto normalizacijo, kolikorkrat se da, ima shema obliko aa-1 ali pa vsebuje vsaj dva različna simbola.

  43. Prevedba na ročaj • Naj opisuje orientabilno ploskev. • v  naj nastopata vsaj dva različna simbola v vrstnem redu a…b…a-1…b-1 •  = PaQbRa-1S b-1T • ´ = PSRQTaba-1b-1je ekvivalentna shemi 

  44. Prevedba na standardne modele • Ko na shemi z eno vrstico, ki opisuje orientabilno ploskev, dovoljkrat uporabimo preprosto noramlizacijo in prevedbo na ročaj, dobimo shemo oblike a1b1a1-1b1-1... agbgag-1bg -1 • Podobno prevedemo shemo, ki opisuje neorientabilno ploskev, na obliko a1a1a2a2...aqaq

  45. Klasifikacija sklenjenih ploskev • Vsaka sklenjena orientabilna ploskev je homeomorfna eni od ploskev Sg, g  0. • Vsaka sklenjena neorientabilna ploskev je homeomorfna eni od ploskev Nq, q  0.

  46. Razpoznavanje sklenjenih ploskev • Naj  določa sklenjeno ploskev. • Ugotovimo, ali je orientabilna ali ne • Izračunamo  (); rod izračunamo iz formule  () = 2-2g za orientabilne ploskve in () = 2-q za neorientabilne ploskve

More Related