KÜMELER

1. KÜMELER KAZANIMLAR1-Bir kümeyi modelleri ile belirler, farklı temsil biçimleri ile gösterir.2-Boş küme ve evrensel kümeyi modelleriyle açıklar.3-Bir kümenin alt kümelerini belirler.4-Kümelerde birleşim, kesişim, fark ve tümleme işlemlerini modelleriyle açıklar, şema ve sembol kullanarak gösterir, problemleri çözmede kullanır.

2. İÇİNDEKİLER • Kümelerin Gösterimi1. Kümenin Elemanı ve Eleman Sayısı2. Kümelerin Gösterilişia-) Şema Yöntemi (Venn Şeması)b-) Liste Yöntemic-) Ortak Özellik Yöntemi • Kümelerde İşlemler1. Kümelerde Birleşme İşlemi2. Kümelerde Kesişme İşlemi3. Kümelerde Fark İşlemi4. Kümelerde Tümleme İşlemi

3. Küme: İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. Buradaki iyi tanımlanmış, herkes tarafından aynı şekilde bilinen, belirli olan varlıklar demektir. Kümeler genellikle büyük harflerle isimlendirilir ve gösterilirler.Ör: A kümesi.Küme BelirtmezÇalışkan öğrencilerUzun boylu insanlarBazı hayvanlarBirkaç günKüme BelirtirBoyu 1.50m’den uzun olan öğrencilerUçan hayvanlarP harfi ile başlayan günler

4. Kümenin Elemanı ve Eleman SayısıKümeyi oluşturan varlıklara veya sembollere eleman denir. Eleman € sembolü ile gösterilir.Bir A kümesinin eleman sayısı sembolle s(A) şeklinde gösterilir.Ör: A kümesi haftanın P harfi ile başlayan günleri olsun. Pazartesi € A , Pazartesi A kümesinin elemanıdır. Salı A kümesinin elemanı değildir.Öyleyse;s(A)=3 , A kümesinin eleman sayısı 3'tür.

5. Kümelerin GösterilişiKümeler Liste Yöntemi, Ortak Özellik Yöntemi ve Venn Şeması olmak üzere 3 şekilde gösterilir.Not:Küme içinde eleman tekrarı yapılmaz. Örneğin ATATÜRK kelimesinin harflerinin oluşturduğu küme { A, T, Ü, R, K } olur.a-) Şema Yöntemi (Venn Şeması)Küme, kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ile gösterilip noktanın yanına elemanın adı yazılarak gösterilir. Bu gösterime Venn Şeması ile gösterim denir.Yanda A = { a, b, c } kümesi Venn şeması ile gösterilmiştir. Şema ile gösterilirken her elemanın başına nokta konulur ve kümenin adı şeklin hemen yanına yazılır. A .a .b .c

6. b-) Liste YöntemiKümenin elemanlarının küme parantezi içine yani { } sembolü içine, her bir elemanın arasına virgül konularak yazılmasına liste yöntemi denir. Örnek: A = { 1, 2, 3 } - A kümesinin eleman sayısı 3'tür. B = { 123 } - B kümesinin eleman sayısı 1'dir. Çünkü rakamlar arasında virgül olmadığından tek elemanı vardır o da 123'tür. c-) Ortak Özellik YöntemiKümenin elemanlarını; daha somut ya da daha kolay algılanır biçimde, gerektiğinde sözel, gerektiğinde matematiksel bir ifade olarak ortaya koyma biçimidir.

7. A = {x : (x in özeliği)}Burada “x :” ifadesi “öyle x’lerden oluşur ki” diye okunur. Bu ifade “x |” biçiminde de yazılabilir.Örnek: A = { 0, 2, 4, 6, 8 } ise bu küme A = { Çift rakamlar} olarak gösterilebilir. K = { 0, 1, 2, 3 } ise bu küme K = { x | x Î N ve x < 4 } olarak gösterilebilir. P = { a, b, c } ise bu küme P = { Alfabemizin ilk 3 harfi } olarak gösterilebilir.

8. BOŞ KÜMEHiç bir elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş küme{ } ya da Ø sembolü ile gösterilir.NOT: {Ø} ve {0} kümeleri boş küme olmayıp birer elemana sahip iki denk kümedir.Örnek: 5 ile 6 arasında bulunan doğal sayılar kümesini yazabilir misiniz ? 5 ile 6 arasında doğal sayı olmadığı için, böyle bir kümenin elemanı yoktur. Bu yüzden bu küme "boş küme"dir.

9. EVRENSEL KÜMEBelirli bir alandaki tüm elemanları içeren kümeye Evrensel Küme denir. Genellikle E harfi ile gösterilir.A={ 1, 7, 9 } ve B={ 11, 13 } olsun. Bu kümelerin evrensel kümesi Tek Sayılar veya Sayılar olabilir. A={1,3,6} B={-3,-9,-11} olsunA ve B kümelerinin elemanları, tam sayılar kümesinden seçildiğine göre, burada evrensel küme, tam sayılar kümesidir.E = Z A B .1.3.6 .-3.-9.-11

10. EŞİT KÜMELERElemanları ve eleman sayıları aynı olan kümelere eşit kümeler denir.A = { 5’ten küçük doğal sayılar }B = { 0, 1, 2, 3, 4}A ve B kümeleri eflit kümelerdir. A = B şeklinde gösterilir.C ve D kümeleri eşittir. C D

11. DENK KÜMELEREleman sayıları aynı olan kümelere denk kümeler denir.s(E)=? s(F)=?E ve F kümelerinin eleman sayıları eşit olduğuna göre E ve F kümeleri denk kümelerdir.E=F şeklinde ifade edilir. E F .1 .2 .3.4 .5 .a .b .c.d .e

12. ALT KÜMELERHerhangi bir B kümesinin bütün elemanları bir A kümesinin de elemanı ise “B kümesi A kümesinin alt kümesidir.” ya da “A kümesi B kümesini kapsar.” denir.NOT: Boş küme, her kümenin alt kümesidir. Her küme, kendisinin alt kümesidir.KÜMELERDE İŞLEMLER1.Kümelerde Birleşme İşlemiA ve B gibi iki kümenin elemanlarından oluşan kümeye birleşim kümesi denir. AUB şeklinde gösterilir.Örnek: A={a,b,c,d,e} B={1,2,3} kümeleri verilsin.Bu kümelerin birleşimi AUB={a,1,b,2,c,d,3,e} şeklindedir.

13. Birleşim İşleminin Özellikleri1. AUA=A‘dır.2.Birleşim işleminin değişme özelliği vardır. AUB=BUA’dır.3.Birleşim işleminin birleşme özelliği vardır. AU(BUC)=(AUB)UC’dir.4.AUØ=ØUA’dır.5.E, evrensel küme olmak üzere, AUE=EUA=E’dir.Kümelerde Kesişme İşlemiA ve B gibi iki kümenin ortak elemanlarından oluşan kümeye kesişim kümesi denir.A∩B şeklinde gösterilir.Örnek: A={m,n,p,r} B={n,r,z,t} olsun. Bu kümelerin kesişimi A∩B={n,r} olur.

14. Kesişim İşleminin Özellikleri1.A∩A=A’dır.2.Kesişim işleminin değişme özelliği vardır. A∩B=B∩A’dır.3.Kesişim işleminin birleşme özelliği vardır. A∩(B∩C)=(A∩B)=C’dir.4.A∩Ø=Ø∩A=Ø5.E, evrensel küme olmak üzere, A∩E=E∩A=A’dır.6.A ve B ayrık kümeler ise A∩B=Ø’dir.Kümelerde Fark İşlemiA kümesinde olup, B kümesinde olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir. A fark B kümesi A – B ya da A \ B biçiminde gösterilir.

15. Örnek: A={1,5,7,9} B={5,7,a,b,k} şeklinde veriliyor.A \ B={1,9} ve B \ A={a,b,k} olur.Kümelerde Tümleme İşlemiBir E evrensel kümesi ile alt kümesi olan bir A kümesi verilsin. Evrensel kümenin olan ancak A kümesinin elemanı olmayan bütün elemanların oluşturduğu kümeye, A kümesinin tümleyeni denir. A kümesinin tümleyeni A' ile gösterilir. Taralı bölge, A′ dür. E A A´

16. Tümleme İşleminin Özellikleri1.E evrensel küme olmak üzere;Ø'=E, E'=Ø’dir.2.AUA'=A‘UA=E’dir.3.A∩A'=A'∩A=Ø’dir.4.s(A)+s(A')=s(E)’dir.5.A ile A' ayrık kümelerdir.

17. KAYNAKÇAhttp://matematikpark.com/6-sinif-matematik-konu-anlatimlari/http://www.matematikciler.org/6-sinif/matematik-konu-anlatimlari/409-kumeler-bos-kume-alt-kume-evrensel-kume-kesisim-birlesim-fark-tumleme.html Furkan TAMER 110404080 İ.ö.Matematik Öğretmenliği 2-B (Gece)