Sissejuhatus kvantmehaanika numbrilistesse meetoditesse

1. Sissejuhatus kvantmehaanika numbrilistesse meetoditesse Introductory Numerical Methods in Quantum Mechanics bakalaureusetöö 1. juuni 2005 Reeno Reeder

2. Töö eesmärk • Tutvuda kvantmehaanika põhimõtetega • Uurida numbrilisi lahendusmeetodeid ja luua nendele rakendusnäiteid • Toetada õppeainet “Tahkiselektroonika”

3. Sissejuhatus: kvantmehaanika • 1920. aastatel tekkinud teadusharu • Pooljuhtelektroonika alus • Tulevikutehnoloogiate alus (kvantkeemia, nanotehnoloogia) • Orbitaalidest arusaamise tähtsus kasvab

4. Schrödingeri võrrand • Seob elektroni energia ja lainefunktsiooni vastavalt etteantud potentsiaalijaotusele • Energia on diskreetne, igale energia omaväärtusele vastab omalainefunktsioon • Lainefunktsiooni ruut on elektroni jaotustihedus

5. Mida me otsime? kompleksne reaalne kompleksne Ajast sõltuv lainefunktsioon Ajast mittesõltuv lainefunktsioon (otsime) Ajast mittesõltuv Schrödingeri võrrand

6. Lahendid • Lahend (lainefunktsioon) on • võnkuv, kui E > V • eksponentsiaalne, kui E < V • Eksponentsiaalseid lahendeid iseloomustab lainefunktsiooni karakteristlik pikkus barjäärialas (V = const korral):

7. Schrödingeri võrrandi diskreetne kuju • Diskreetne kuju seob 3 naaberpunkti: • Tähtis on algtingimuste valik • Sümmeetrilise lainefunktsiooni korral on kaks esimest väärtust 1 ja 1 • Antisümmeetrilise lainefunktsiooni korral on väärtused 0 ja 1

8. Efektiivse lõpmatuse küsimus • Numbriliste meetodite korral pole olemas lõpmatust • Efektiivne lõpmatus on piisav lähendus lõpmatusele

9. Tulistamismeetodiga barjääri sisse liikudes hakkab ψ barjääri sees taas kasvama või kahanema - varjatud komponendi mõju Täpsuse probleemid

10. Läbitöötatud meetodid ja loodud näitelahendused (1) • Tulistamismeetod • Näide 1D nelinurksele kvantaugule • Näide piiratud kõrgusega 1D paraboolsele kvantaugule • Näide vesiniku aatomile • Näide 1D kaksik-kvantaugule • Näide 1D kolmik-kvantaugule

11. Läbitöötatud meetodid ja loodud näitelahendused (2) • Piiritingimustega tulistamismeetod ribamaatriksi alusel • Näide 1D nelinurksele potentsiaaliaugule • Piiritingimustega üldine formuleering (koos energia omaväärtuste leidmisega) ääristatud ribamaatriksi alusel • Näide 1D nelinurksele potentsiaaliaugule

12. Läbitöötatud meetodid ja loodud näitelahendused (3) • Häirituste meetod • Näide 1D kvantaugule • Variatsioonmeetod • Näide vesiniku aatomile

13. Rakenduste realiseering • Rakendatud Paul Harrison ideid raamatust Computational Methods in Physics, Chemistry and Biology • Kasutatakse programmeerimisvahendeid C (gcc-3.3)ja Linuxi shell scripting • Tulemuste graafiliseks väljastamiseks kasutatakse Gnuploti graafikujoonistustarkvara (versioon 4.0)

14. Tulistamismeetodi näide kaksik-kvantaugule Esitatud lainefunktsioonid vastavad parameetritele: Lbarj = 10 ÅE1 = 0,298 eVE2 = 0,298 eV Lauk = 2 × 10 ÅVauk = 10 eV

15. Tulistamismeetodi näide kaksik-kvantaugule Esitatud lainefunktsioonid vastavad parameetritele: Lbarj = 2 ÅE1 = 0,295 eVE2 = 0,301 eV Lauk = 2 × 10 ÅVauk = 10 eV

16. Tulistamismeetodi näide kaksik-kvantaugule Esitatud lainefunktsioonid vastavad parameetritele: Lbarj = 1 ÅE1 = 0,282 eVE2 = 0,309 eV Lauk = 2 × 10 ÅVauk = 10 eV

17. Tulistamismeetodi näide kaksik-kvantaugule Esitatud lainefunktsioonid vastavad parameetritele: Lbarj = 0,5 ÅE1 = 0,254 eVE2 = 0,319 eV Lauk = 2 × 10 ÅVauk = 10 eV

18. Tulistamismeetodi näide kaksik-kvantaugule Esitatud lainefunktsioonid vastavad parameetritele: Lbarj = 0 ÅE1 = 0,084 eVE2 = 0,334 eV Lauk = 2 × 10 ÅVauk = 10 eV

19. Tulistamismeetodi näide kaksik-kvantaugule

20. Tulistamismeetodi näide kolmik-kvantaugule Esitatud lainefunktsioonid vastavad parameetritele: E1 = 0,298 eVE2 = 0,298 eVE3 = 0,298 eV Lbarj = 5 ÅLauk = 3 × 10 ÅVauk = 10 eV

21. Tulistamismeetodi näide kolmik-kvantaugule Esitatud lainefunktsioonid vastavad parameetritele: E1 = 0,294 eVE2 = 0,298 eVE3 = 0,302 eV Lbarj = 2 ÅLauk = 3 × 10 ÅVauk = 10 eV

22. Tulistamismeetodi näide kolmik-kvantaugule Esitatud lainefunktsioonid vastavad parameetritele: E1 = 0,276 eVE2 = 0,296 eVE3 = 0,314 eV Lbarj = 1 ÅLauk = 3 × 10 ÅVauk = 10 eV

23. Tulistamismeetodi näide kolmik-kvantaugule Esitatud lainefunktsioonid vastavad parameetritele: E1 = 0,237 eVE2 = 0,284 eVE3 = 0,328 eV Lbarj = 0,5 ÅLauk = 3 × 10 ÅVauk = 10 eV

24. Tulistamismeetodi näide kolmik-kvantaugule Esitatud lainefunktsioonid vastavad parameetritele: E1 = 0,165 eVE2 = 0,249 eVE3 = 0,339 eV Lbarj = 0,2 ÅLauk = 3 × 10 ÅVauk = 10 eV

25. Tulistamismeetodi näide kolmik-kvantaugule Esitatud lainefunktsioonid vastavad parameetritele: E1 = 0,038 eVE2 = 0,154 eVE3 = 0,347 eV Lbarj = 0 ÅLauk = 3 × 10 ÅVauk = 10 eV

26. Tulistamismeetodi näide kolmik-kvantaugule

27. Kokkuvõte • Analüüsitud Schrödingeri võrrandi 3 otsest ja 2 ligikaudset lahendusmeetodit • Loodud 9 rakendusnäidet erinevatele meetoditele ja ülesannetele • Ülesannet kaksik- ja kolmik-kvantaugule tutvustatud rahvusvahelise telekommunikatsioonipäeva konverentsil • Rakendusprogrammid installeeritud II-206 arvutiklassi

28. Aitäh! http://home.cyber.ee/reeno reeno@cyber.ee

29. Vastus 1 (1) • Erinevuse põhjustas liiga väike kaugus efektiivse lõpmatuse jaoks • Töös toodud näitel on selleks 10 Å • 20 Å korral on tulemused täpsemad:

30. Vastus 1 (2)

31. Vastus 2 • Harrison näitas oma raamatus [8] valemites 1.67 ja 1.68, et barjääri sees, kus E < Vkus . • Meil on defineeritud , seega