NETIESINIŲ LYGČIŲ SPRENDIMO METODAI

1. NETIESINIŲ LYGČIŲ SPRENDIMO METODAI Šaknų atskyrimo uždavinys Šaknų tikslinimo uždavinys Pusiaukirtos metodas Liestinių metodas BirutėJarašiūnienė

2. Netiesinių lygčių sprendimo metodai Sakykime, duota lygtis F(x)=0. Reikia rasti tokias x reikšmes s, su kuriomis F(s) reikšmė būtų lygi nuliui. Lygčių F(x)=0, kurių šaknis galima išreikšti lygties koeficientais naudojant elementarias operacijas (aritmetines, kėlimo laipsniu, šaknies traukimo, logaritmavimo ir pan.), yra nedaug. Todėl, sprendžiant lygtis, šaknų ieškojimo uždavinys paprastai suskaidomas į du: 1) šaknų atskyrimo uždavinį, 2) šaknies tikslinimo uždavinį, kai žinomas tos šaknies izoliacijos intervalas.

3. Šaknų atskyrimo uždavinys Apibrėžimas. Intervalas (a;b) yra šaknies izoliacijos intervalas, jei lygtis F(x)=0tame intervale turi vienintelę šaknį. Šaknų atskyrimo uždavinys formuluojamas taip: duota lygtis F(x)=0; reikia rasti jos šaknų izoliacijos intervalus.Bendrų šio uždavinio sprendimo metodų nėra, todėl aptarkime dažniausiai taikomus jo sprendimo būdus: - grafinį būdą, - fizikinį būdą,- specialius būdus.

4. Grafinis būdas. Lygtį F(x)=0parašykime išraiškaf1(x) = f2(x) ir tarkime, kad nesunku nubraižyti funkcijų f1(x)beif2(x) grafikus. Aišku, kad tų grafikų sankirtos taškų abscisės bus lygties F(x)=0šaknys. Braižant f1(x)irf2(x)grafikus, dažnai pakanka iš pradžių perteikti tik tų funkcijų kitimo pobūdį, paskui analiziškai nustatyti tikslesnę šaknų buvimo vietą.

5. Nustatykime lygties5x-8lnx = 8 šaknų izoliacijos intervalus. Duotąją lygtį pakeičiame ekvivalenčia lygtimi ir nubraižome funkcijų bei grafikus. Kaip matyti iš brėžinio, lygtis turi dvi šaknis, kurių izoliacijos intervalai, patikrinti analiziškai, yra (0,1; 0,5) ir (3; 4). Iš tikrųjų F(x) =5x-8lnx -8= 0 F(0,1) · F(0,5) < 0 ir F(3) · F(4) <0. Pavyzdys

6. Fizikinis būdas Sprendžiama lygtis F(x)=0 apibūdina kurį nors fizikinį reiškinį. Remdamiesi juo, galime nurodyti arba šaknų izoliacijos intervalus, arba intervalą (; ), kuriame yra sprendžiamos lygties šaknys. Tarkime kad, F(x)yra tolydžioji funkcija. Jei F(a) ·F(b)< 0ir F'(x) turi pastovų ženklą, kai x[a,b], tai (a,b) yra šaknies izoliacijos intervalas.

7. Specialūs būdai Šie būdai yra taikomi specialiųjų lygčių klasėms. Kadangi, sprendžiant fizikos, technikos ir matematikos uždavinius, dažnai tenka skaičiuoti polinomo šaknis, tai čia ir panagrinėsime, kaip ieškoma tų šaknų. Tarkime, kad F(x) yra n-tojo laipsnio polinomas: Teoremaįrodo, kad visos polinomo šaknys tenkina sąlygą

8. čia Šią sąlygą tenkina ne vien realiosios šaknys, bet ir kompleksinių šaknų moduliai. Ieškant tik realiųjų polinomo šaknų rėžių, galima remtis toliau pateikta teorema. Teorema. Tarkime, kad akyra pirmasis iš kairės neigiamas polinomo koeficientas. Tada polinomo teigiamųjų realiųjų šaknų viršutinis rėžis bus

9. Norėdami sužinoti polinomo neigiamųjų realiųjų šaknų apatinį rėžį, turime: • rasti polinomo F(-x) teigiamųjų realiųjų šaknų viršutinį rėžį, jei n- lyginis, arba -F(-x) jei n- nelyginis; • gautą rėžį paimti su minuso ženklu — tai bus polinomo neigiamųjų realiųjų šaknų apatinis rėžis.

10. Raskime polinomo realiųjų šaknų rėžius. 1 max|ai| Duotojo polinomo realiosios šaknys bei kompleksinių šaknų moduliai tenkina nelygybę: Pavyzdys

11. a kyra pirmasis iš kairės neigiamas polinomo koeficientas a0 a1 a2 a3 a4 a5 max(|ai|) Polinomo teigiamųjų realiųjų šaknų viršutinis rėžis yra  = R =1+ 25 = 6

12. Šiopolinomo teigiamųjų realiųjų šaknų viršutinis rėžis yra max(|ai|) R =1+ a kyra pirmasis iš kairės neigiamas koeficientas = a1 k=1 14 Norėdami sužinoti polinomo neigiamųjų realiųjų šaknų apatinį rėžį, turime: kadangi n=5 –nelyginis, rasti polinomo -F(-x) teigiamųjų šaknų viršutinį rėžį R: = 15

13. Tada nagrinėjamo polinomo neigiamųjų realiųjų šaknų apatinis rėžis bus  = -15. Taigi realiosios šaknys yra intervale (;) = (-15;6).

14. Šaknų tikslinimo uždavinys BirutėJarašiūnienė

15. Uždavinio formulavimas. Duota lygtis F(x)=0 ir šaknies izoliacijos intervalas(a;b). Reikia rasti šaknį s  (a;b) tikslumu . Šį uždavinį galima spręsti keliais metodais: – pusiaukirtos metodu, – stygų metodu, – liestinių metodu, – kombinuotuoju metodu, – paprastųjų iteracijų metodu, – pagreitintu iteracijų (Vegsteino ) metodu ir kt.

16. Pusiaukirtos metodas Metodo idėja labai paprasta. Šaknies izoliacijos intervalą (a;b) dalijame pusiau. Tarkime, kad c yra intervalo (a;b) vidurys. Tada šaknis yra arba intervale (a;c) , arba intervale (c;b) , arba taškas c(šiuo atveju lygties sprendimas baigtas). Vadinasi, po kiekvienos iteracijos pradinis šaknies izoliacijos intervalas sutrumpėja dvigubai. Skaičiuoti baigiama, kai šaknies intervalo ilgis pasidaro mažesnis už . Tada bet kuri reikšmė iš šio intervalo yra norimo tikslumo šaknis. Paprastai šaknies reikšmei priskiriama intervalo vidurinio taško reikšmė.

17. y=F(x) c a a c b x c b Duota: (a;b) šaknies izoliacijos intervalasšaknies apskaičiavimo tikslumas KadangiF(a) * F(c) > 0 šaknis yra intervale(c;b), tai a įgaus reikšmę c, b - nepakis. Jei dabar (a;b) ilgis yra didesnis už , tai pusiaukirtos procesą tęsime toliau. Jei (a;b) ilgis yra mažesnis už , tai bet koks intervalo (a;b) taškas yra šaknis norimu tikslumu. Todėl šaknies reikšmei suteiksime reikšmę (a+b)/2.

18. Pusiaukirtos algoritmas begin p := false; while abs(a-b)>eps and not p do begin c := a+(b-a)/2 ; if F(a) * F(c) < 0 then b := c else if F(a) * F(c) > 0 then a := c else begin s:= c; p:= true end; end; if not p then s := (a+b)/ 2 end.

19. Liestinių metodas Šis metodas literatūroje dažnai vadinamas Niutono arba Niutono ir Rafsono metodu. Tikslinant šaknį liestinių metodu, funkcija y = f(x) intervale(a;b) keičiama liestine, nubrėžta iš taško (xn;F(xn)). Todėl iš pradžių apskaičiuojamaxn reikšmė: jeiF(a)· F"(a) > 0, tai xn=a, priešingu atvejuxn=b.

20. y=F(x) a b x xn+1 xn Paveiksle pavaizduota funkcija, kurios F(b)· F"(b) > 0 Randamas liestinės ir X ašies sankirtos taškas. Liestinės lygtis yray - F(xn) = F'(xn)(x-xn)Liestinės sankirtos su X ašimi taško abscisė Jei skaičiavimo pabaigos sąlyga netenkinama, tai xn suteikiama xn+1 reikšmė ir skaičiuojama toliau. Priešingu atveju s = xn+1