指數函數的導數

5.3 指數函數的導數

5.3 指數函數的導數 學習目標 • 求自然指數函數的導數。 • 用微積分分析含自然指數函數的函數圖形。 • 研究常態機率密度函數。第五章　指數與對數函數 P.5-15

在 5.2 節中提到指數函數最方便的底是無理數 e，其方便性在於函數 f (x) ＝ ex的導數等於本身 (原函數)，而其他 a≠e 的指數函數 y＝ ax皆無此性質。若要驗證 f (x) ＝ ex為自身的導數，觀察極限指數函數的導數第五章　指數與對數函數 P.5-15

對很小的 Δx 而言， e ≈ (1 ＋ Δx)1/Δx，或 eΔx ≈ 1 ＋Δx，在下列的導數推導過程中要用到此近似式。指數函數的導數第五章　指數與對數函數 P.5-15

指數函數的導數 第五章　指數與對數函數 P.5-15

指數函數的導數 • 若 u 為 x 的函數，則可用連鎖律來求 eu對 x 的導數，公式總結如下：第五章　指數與對數函數 P.5-15

範例1　求切線斜率 • 求函數 f (x) ＝ ex 在 (0, 1) 和 (1, e) 的切線斜率。可做出什麼結論？第五章　指數與對數函數 P.5-16

範例1　求切線斜率（解） • 因為 f 的導數為 f (x) ＝ ex導數所以 f 圖形在 (0, 1) 的切線斜率為 f (0) ＝ e0＝ 1 點 (0, 1) 的切線斜率在 (1, e) 的切線斜率為 f (1) ＝ e1＝ e 點 (1, e) 的切線斜率第五章　指數與對數函數 P.5-16

範例1　求切線斜率（解） • 如圖 5.9 所示。由此推論， f (x) ＝ ex圖形上任一點 (x, ex) 的切線斜率等於該點的 y 座標。第五章　指數與對數函數 P.5-16 圖5.9

檢查站 1 • 求函數 f (x) ＝ 2ex在 (0, 2) 和 (1, 2e) 的切線方程式。第五章　指數與對數函數 P.5-16

範例 2　對指數函數微分 • 微分下列函數。 a. f (x) ＝ e2xb. c. d. f (x) ＝ e－x 第五章　指數與對數函數 P.5-16

範例2　對指數函數微分（解） a. 令 u ＝ 2x，則 du/dx ＝ 2，再利用連鎖律可得 b. 令 u ＝－3x2，則 du/dx ＝－6x，再利用連鎖律可得第五章　指數與對數函數 P.5-16

範例2　對指數函數微分（解） c. 令 u ＝ x3，則 du/dx ＝ 3x2，再利用連鎖律可得 d. 令 u ＝－x，則 du/dx ＝－1，再利用連鎖律可得第五章　指數與對數函數 P.5-16

學習提示 • 從範例 2 可看出，對指數函數微分後，其指數不變。譬如，f(x)＝ e3x的導數為f (x)＝ 3e3x，這兩函數的指數皆為 3x。第五章　指數與對數函數 P.5-16

檢查站 2 • 微分下列函數。 a. f (x) ＝ e3x b. c. d. f (x) ＝e－2x 第五章　指數與對數函數 P.5-16

指數函數的導數 • 第三章所介紹的微分法則可用在指數函數上，如範例 3 所示。第五章　指數與對數函數 P.5-17

微分下列函數。 範例3　對指數函數微分第五章　指數與對數函數 P.5-17

範例3　對指數函數微分（解） 第五章　指數與對數函數 P.5-17

微分下列函數。 檢查站 3 第五章　指數與對數函數 P.5-17

應用 • 第四章介紹了如何用導數來分析函數的圖形，下個範例則要將這些技巧應用在含指數函數在內的函數上面。請注意，若 ea＝ eb則 a ＝ b。第五章　指數與對數函數 P.5-18

範例4　分析懸索線 • 當電話線懸吊在兩電線桿之間，電話線會呈 U 形的曲線，稱為懸索線(catenary)。譬如，函數 y ＝ 30(ex/60＋ e－x/60), －30 ≤ x ≤ 30 為懸吊在距離 60 呎遠的兩電線桿之間電話線形狀的模型(x 與 y以呎計)。證明此電話線的最低點是在兩電線桿間的中點，兩桿間的電話線下垂多少呎？第五章　指數與對數函數 P.5-18

首先求函數的導數 範例4　分析懸索線（解）第五章　指數與對數函數 P.5-18

為了求臨界數，則令導數為零， 範例4　分析懸索線（解）第五章　指數與對數函數 P.5-18

範例4　分析懸索線（解） • 利用一階導數檢定法可得函數在臨界數 x ＝ 0 有相對極小值。再從圖 5.10 可看出，該相對極小值其實是區間 [－30, 30] 的絕對極小值。若要知道兩電線桿間電話線下垂的長度，則比較兩電線桿與電線中點的高度。第五章　指數與對數函數 P.5-18

範例4　分析懸索線（解） y = 30(e－30/60 + e－(－30)/60) 67.7呎左邊電線的高度 y = 30(e0/60 + e－(0)/60) 60呎電話線中點的高度 y = 30(e30/60 + e－(30)/60)  67.7呎右邊電線的高度由此可知，電話線下垂約 7.7 呎。第五章　指數與對數函數 P.5-18

範例4　分析懸索線（解） 第五章　指數與對數函數 P.5-18 圖5.10

檢查站 4 • 畫出範例 4 之函數的圖形，並驗證電線桿中點為電話線的極小值。第五章　指數與對數函數 P.5-18

範例5　求最大收入 • 某產品的需求函數可表示為 p ＝ 56e－0.000012x需求函數其中 p 為每單位的價格 (美元)，且 x 為銷售量。試問可得最大收入的價格為何？第五章　指數與對數函數 P.5-19

範例5　求最大收入（解） • 收入函數為 R ＝ xp ＝ 56xe－0.000012x收入函數若要以分析法求最大收入，首先計算邊際收入再令邊際收入 dR/dx 等於零， 56xe－0.000012x(－0.000012)＋e－0.000012x(56)＝0 並解出 x。第五章　指數與對數函數 P.5-19

範例5　求最大收入（解） • 其實，以分析法解題比較麻煩，而以圖形解法解題中較為容易。另外，求得 R 的圖形與圖 5.11 類似。當 x 約為 83,300 單位時有最大收入，再將 x ≈ 83,300 代入需求函數，就可得到對應的價格， p ≈ 56e－0.000012(83,333) ≈ $20.60 即，約 $20.61 的價格可得最大收入。 R ≈ 56(83,333)e－0.000012(83,333) ≈ $1,716,771最大收入第五章　指數與對數函數 P.5-19

範例5　求最大收入（解） 第五章　指數與對數函數 P.5-19 圖5.11

若以分析法求解範例 5 的問題時須解方程式 請說明如何求解此方程式，其解答為何？應用第五章　指數與對數函數 P.5-19

檢查站 5 • 某產品的需求函數可表示為 p ＝ 50e－0.0000125x 其中 p 為每單位的價格 (美元)， x 為數量，試問可得最大收入的價格為何？第五章　指數與對數函數 P.5-19

在統計課或在商業計量分析課程裡，都有篇幅介紹常態機率密度函數(normal probability density function) 的性質，其函數為其中 σ是希臘字 sigma 的小寫字母，而 μ是希臘字 mu 的小寫字母。此公式的 為機率分配的標準差(standard deviation)，且 為機率分配的平均值(mean)。常態機率密度函數第五章　指數與對數函數 P.5-19

證明常態機率密度函數 圖形的反曲點在 x ＝ ±1 。範例6　探討機率密度函數第五章　指數與對數函數 P.5-20

首先計算函數的二階導數。 令二階導數為零，可解得 x ＝ ± 1，再以圖形凹性的檢定法，可確定這兩個 x 值為反曲點，如圖 5.12 所示。範例6　探討機率密度函數（解）第五章　指數與對數函數 P.5-20

範例6　探討機率密度函數（解） 第五章　指數與對數函數 P.5-20 圖5.12

試畫出常態機率密度函數 的圖形並求反曲點。檢查站 6 第五章　指數與對數函數 P.5-20

總結 (5.3 節) • 寫出自然指數函數的導數，參考範例 2 和 3。 • 描述在生活實例中，如何以自然指數函數來分析懸索線 (範例 4)。 • 描述在生活實例中，如何以自然指數函數來求公司的最大收入 (範例 5)。 • 描述自然指數函數在統計學上的應用，參考範例 6。第五章　指數與對數函數 P.5-20

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