第二讲 （第二章）

1. 第二讲（第二章） 数学证明 与 公理化体系

2. 形式逻辑的奠基人 墨子 468-376 BC 亚里斯多德 384-322BC 公孙龙 325-250BC

3. 数理逻辑的大师 莱布尼兹 1646-1716 布尔 1815-1864 怀特海德 王浩 1861－1947 1921－1995

4. 辩证逻辑的奠基人 黑格尔 1770－1831

5. 集合论复习 • 集合与元素 2.有限集，空集与无限集 3.集合的并与交 4.等集，子集与真子集 5.两个集合的关系 康托尔 1845 – 1918 6.全集与余集

6. 与数有关的常见集合 • 自然数集合N • 整数集合Z • 有理数集合Q • 实数集合R • 复数集合C • 奇数集合；偶数集合； • 素数（也称“质数”）集合

7. 概念―反映事物特有属性的思维形式 • 概念的“内涵”：指概念所反映的事物的特有属性。 • 概念的“外延”：指具有概念所反映特性的所有事物。 • 虚假概念

8. 概念间的关系 • 全同关系 A = B • 从属关系即蕴含关系 • 交叉关系 • 全异关系

9. 定义―揭示概念内涵的逻辑方法 定义的一般形式是： Ds 是 Dp 其中 Ds 代表被定义项， Dp 代表定义项。

10. 公孙龙提出“白马非马”的命题 中国古代逻辑学家公孙龙 指出：“马者，所以命 形也；白者，所以命 色也。命色者非命形 也。故曰： ‘白马非马’。” 325-250BC

11. 东京审判案例之一：战争定义 开庭不久，被告律师清濑一郎 以中日直到1941年12月9日才宣战的事 实，辩称在此之前，不存在战争，自然 谈不上战争罪。 向哲浚：“这是一个关于战争的正确 定义的问题。从1931年9月18日起，日 本就在中国采取了军事行动，杀死了数 以万计的中国人，包括士兵和平民。 1937年7月7日，日本在卢沟桥发动了战争，一晚就杀死了几百人。 随后，日本出兵中国各地，杀死了数以百万计的中国士兵、儿童、 妇和手无寸铁的无助的平民。这些是全世界都知道的事实，如果 这不是战争，我想问，那什么是战争？”

12. 东京审判案例之二：智斗板垣 日本关东军的《奉天特务机关报》，该报 首页盖有土肥原的名章。其中一页载有 “华南人士一闻土肥原和板垣之名，有谈 虎色变之慨” 美籍辩护律师华伦 ：这个文件讲的是一只 老虎，与案情无关，法庭应拒绝接纳作为 证据。 倪征燠：这是典型的偷换概念，因为“谈虎色变”中的“虎”已由“凶恶的老虎”引申为“令人害怕憎恶的人或事”。 “谈虎色变”是一句中国成语，意思是中国人一谈起土肥原、板垣两人，有如提到猛虎，足见这两人的凶恶。

13. 关于东京审判的两段视频

14. 纪录片选录：46年5月14日向哲浚法庭讲话

15. 倪征燠舌战板垣征四郎

16. 判断―对事物有所肯定或否定的思维形式 逻辑的主要作用是判断一个命题是否成 立，非真即假。 数学的重要功能也是证明一个命题是否 成立。 “命题”必须是一个陈述句，而不能是疑 问句或感叹句 。 一个命题有两种可能的取值：“真” （记为T)或“假”（记为F)，两者必居其一， 也只居其一。

17. A、E、I、O 四种直言命题 全称肯定判断（A判断）：“所有的S都是P” 全称否定判断（E判断）：“所有的S都不是P” 特称肯定判断（I判断）：“有的S是P” 特称否定判断（O判断）：“有的S不是P”

18. 两个表示量词的全称和特称的逻辑符号 ： “所有的”、“一切的” ： 有的”、“存在着”

19. 四种直言命题的关系 A 真 I 必真； I 假 A 必假 E 真 O 必真； O 假 E 必假 A、E 不同真; A、E 可同假 A、O 不同真也不同假 E、I 不同真也不同假 I、O 可同真；但 I、O 不可同假

20. 东京审判案例之三：南京大屠杀举证

21. 东京审判案例之三：南京大屠杀举证

22. 东京审判案例之三：南京大屠杀举证 证人罗伯特威尔逊， 金陵医学院医生 证人约翰·马奇， 美国圣公会牧师

23. 南京大屠杀

24. 南京大屠杀

25. 侵华日军南京大屠杀遇难同胞纪念馆

26. 数学定理举例 数学定理举例 费马大定理 没有整数解 当

27. 数学定理举例 哥德巴赫猜想猜想1：如果一个偶数大于等于6，那么它一定可以表示为两个奇素数之和。猜想2：如果一个奇数大于等于9，那么它一定可以表示为三个奇素数之和。 陈景润1933-1996

28. 代数基本定理： 数学定理举例 高斯1777-1855 在复数域内有且仅有n个根

29. 定理的四种形式 正定理：如果P，那么Q； 即 逆定理：如果Q，那么P； 即 否定理：如果 ，那么 ；即 逆否定理：如果 ，那么 ；即

30. 必要条件和充分条件 必假，或无 必无 若Q假P ， 则称 为 的必要条件 若 ，P真Q也真， 则称P为Q的充分条件 ，则称P为Q的充分必要条件

31. 福尔摩斯的推理 柯南道尔1859-1933 “这一位先生，具有医务工作者的风度，但却是一副军人气概。那么，显见他是个军医。他是刚从热带回来，因为他脸色黝黑，但是，从他手腕的皮肤黑白分明看来，这并不是他原来的肤色。他面容憔悴，这就清楚地说明他是久病初愈而又历尽了艰苦。他左臂受过伤，现在动作品来还有些僵硬不便。试问，一个英国的军医在热带地方历尽艰苦，并且臂部负过伤，这能在什么地方呢？自然只有在阿富汗了。”

32. 三段论的推理形式 • 由三个判断组成。第一个称为“大前提”，第二个称为“小前提”，第三个称为“结论”； • 一共包含也只能包含三个概念，每个概念在两个判断中各出现一次； • 在大小前提中出现而在结论中不出现的概念称为“中项”。

33. 三段论的推理形式 • 大前提： M ── P （A判断） • 小前提： S ──M （ A判断） • ――――――――――――― • 结 论： S ── P ( A判断）

34. 东京审判案例之四：法官席梅汝璈争座位

35. 东京审判最后判决

36. 1948年11月12日韦勃庭长宣读最终判决 梅汝璈 韦勃 东条英机

37. 法西斯头子东条英机被判死刑

38. 南京大屠杀罪魁松井石根被判死刑

39. 侵华特务头子土肥原贤二被判死刑

40. 板垣征四郎、广田弘毅、木村兵太郎、武藤章被判死刑板垣征四郎、广田弘毅、木村兵太郎、武藤章被判死刑

41. 执行绞刑

42. 归纳推理 门捷列夫 （1824-1907） 的元素周期表 开普勒 （1571-1630） 的天体运动定律

43. 白居易的归纳推理 白居易（772-846） “赠君一法决狐疑，不用钻龟与祝蓍。 试玉要烧三日满， 辨材须待七年期。 周公恐惧流言日， 王莽谦恭未篡时。 向使当初身便死， 一生真伪复谁知？”

44. 逻辑例题 某手机店失窃，赵、钱、孙、李四人涉嫌被调查。4人笔录如下： 赵：“窃贼是孙”； S 钱：“窃贼是李”； L 孙：“如果我作案，那么李是主犯”； S→L 李：“我没有偷。” ￣ 非L 这四人只有一人说假话，判定以下哪项为真？ A. 赵说假话，窃贼是钱； B. 钱说假话，窃贼是孙； C. 孙说假话，窃贼是孙； D. 李说假话。窃贼是孙和李。 钱、李矛盾，必有一假。若钱假，李真，由孙真，非L→非S, 与赵真矛盾，故李假，即D真。

45. 常用逻辑判断的公式 矛盾律： ，A或B必有一假； ： ，A或非A必有一真； 排中律： 命题与逆否命题等价： ； ； 德摩根定理： De Morgan （1806-1871） 。

46. 数学常用证明方法之一：三段论推理 大前提：n次代数方程在复数域有且只n个根（代数基本定理）； 小前提： 是3次代数方程； 结论： 在复数域有且只3个根

47. 代数基本定理： 数学定理的证明举例 高斯1777-1855 在复数域内有且仅有n个根

48. 求解三次方程的秘密诗 “一块蓝宝石卖了500金币，所得利润是 其成本的立方根，求其利润”。 塔塔利亚： “立方共诸物，和要写右边， 巧设两个数，差值同右和； 此法要牢记，再定两数积： 诸物三之一，还把立方计； 既知差与积，两数算容易， 复求立方根，相减题答毕。”

49. 三次方程的卡尔丹公式 A和B是一元二次方程 的根

50. 四次方程的求根公式 移项 两边加上 ， 两边再加 解出y的两个根，就可得到x的四个根