Determination of Forward and Futures Prices

1. Determination of Forward and Futures Prices Chapter 5

2. Futures og forward priser • Hittil har vi ikke sett på hvordan futures prisene bestemmes. • I dette kapitlet skal vi gå inn på prisdannelsen på disse instrumentene og sammenheng mellom spotpriser og futures priser • Det er nær sammenheng mellom terminpriser og futures priser • Vi skal først se på finansielle aktiva og deretter varer (commodities)

3. Konsum- vs investeringsgoder • Investeringsgoder (investment assets) kjøpes av mange investorer for å oppnå avkastning (Eksempler: gull og sølv) • Konsumgoder (consumption assets) eies vanligvis for å brukes (Eksempler: kobber, olje) • I noen tilfeller er grenseovergangene uklare • Vi kan bruke arbitrasjerelasjoner for å finne prisene på investeringsgodene men ikke for konsumgodene

4. Short Selling (Page 104-105) • Arbitrasje kan innebære short salg • “Short selling” betyr å selge noe man ikke eier • Man kan for eksempel selge aksjer man ikke eier (de må i mellomtiden lånes av andre) og håpe at kursen faller • På et eller annet tidspunkt må aksjene kjøpes tilbake for å tilbakeleveres til eier • Avkastning som utbytte o.l. tilfaller eier

5. Short sale, eksempel • En investor shorter 500 aksjer i april når kursen er 120 og stenger posisjonen i juli ved å kjøpe aksjene tilbake, kurs 100 • I mai betales dividende på 1 pr. aksje, totalt 500 • Hva er netto gevinst? • 60 000 – 500 – 50 000 = 9 500

6. Forutsetninger og notasjon • For å forenkle analysen noe må vi ta noen forutsetninger som gjelder for i alle fall noen investorer • Ingen transaksjonskostnader ved kjøp og salg • Identisk skattesats for alle investorer • Lån eller plassering kan skje til risikofri rente • Arbitrasjemuligheter kan utnyttes når de oppstår

7. Notasjon

8. Terminpris for investeringsgode • For enkelthets skyld skal vi starte med en eiendel som ikke gir inntekt, for eksempel aksjer som ikke gir utbytte, eller gull • Anta at en aksje som ikke gir utbytte kan kjøpes på termin for levering om 3 mnd. Kurs nå er 40, risikofri rente 5 % og terminpris 43. Er dette mulig? • En investor kan låne 40 i 3 mnd til 5 % rente, kjøpe aksjen spot og selge den på termin. Lånet inkludert renter utgjør 40e0.05●3/12 = 40.50, slik at det oppstår en risikofri profitt på 2.50

9. Terminpris for investeringsgode • Hva hvis terminprisen er 39? • En investor kan shorte aksjen, plassere salgssummen i 3 mnd til 5 % rente, og inngå en long avtale på aksjen • Salgssummen vokser til 40e0.05●3/12 = 40.50 • Om 3 mnd kjøper investoren aksjen for 39 • Gevinst er 40,50 – 39 = 1,50 • Hva er riktig terminpris på aksjen?

10. Generelt uttrykk for terminpris • Hvis en eiendel ikke gir inntekt finnes terminprisen på denne måten (cost of carry):Hvis kan arbitrasjører kjøpe eiendelen og shorte terminkontrakter og hvis kan arbitrasjører shorte eiendelen og kjøpe long kontrakter på eiendelen. Riktig pris på termin-kontrakten for å eliminere arbitrasje er 40e0.05●3/12 = 40.50

11. Hva hvis eiendelen gir inntekt? • Vi skal nå anta at eiendelen gir en sikker inntekt, for eksempel en aksje som gir utbytte eller renter på en obligasjon • Anta at det eksisterer en terminkontrakt på en obligasjon som forfaller om 9 mnd. Kurs nå er 900 og obligasjonen gir rente på 40 om 4 mnd. Vi antar at 4 mnd og 9 mnd risikofri rente er 3 % og 4 % p.a. • Hva er riktig pris på obligasjonen? Er 910 en riktig pris?

12. Obligasjon som gir rente • En investor kan kjøpe obligasjonen nå for 900 og shorte terminkontrakten. • Obligasjonen gir en rente på 40, nåverdi 40e0.03●4/12 = 39.60 • Investoren låner derfor 39.60 til 3 % rente og resten (900 – 39.60) = 860.40 til 4 % rente. Lånet på 39.60 tilbakebetales med dividenden om 3 mnd og det andre lånet tilbakebetales med 860.40e0.04 ● 9/12 = 886.60 om 9 mnd • Sikker gevinst er 910 – 886.60 = 23.40 • Terminprisen på 910 er for høy

13. Obligasjon som gir rente • Kan 870 være en riktig terminpris? • Obligasjonen kan shortes nå for 900 og investoren inngår en long for obligasjonen. • Av salgssummen plasseres 39.60 til 3 % for å betale renten og resten (900 – 39.60) = 860.40 til 4 % rente, som vokser til 860.40e0.04 ● 9/12 = 886.40 om 9 mnd • Sikker gevinst er 886.60 – 870 = 16.60 • Terminprisen på 870 er for lav

14. Terminpris for eiendel som gir inntekt • Dersom eiendelen gir en sikker inntekt med nåverdi på I i løpet av kontraktstiden, er riktig terminpris • Dette gir i vårt eksempel at riktig terminpris er

15. Terminpris for eiendel som gir en sikker avkastning • Vi skal nå anta at eiendelen gir en bestemt avkastning eller yield q i løpet av kontraktstiden, og ikke et fast beløp I. Terminprisen blir da Anta at yield 4 % med halvårlig renteberegning eller 3.96 % med kontinuerlig rente, S0 = 25, r = 0.10 og T = 0.5 F0 = 25e(0.10 – 0.0396)*0.5 = 25.77

16. Verdsetting av terminkontrakterPage 111 • Når en kontraktinngåserforventetverdi 0, men detkanendresiløpetavkontrakttidenfordi de underliggendestørrelseneendres. Anta at • Kleveranseprisikontrakten • F0erterminprissomvilleblittbrukti dag • Verdienpå en long forward kontrakt, ƒ, erƒ = (F0 – K )e–rTevt. ƒ = S0– Ke–rT • Påsammemåteerverdienpå en short kontrakt(K – F0)e–rT • Se ogsåoppsummeringtabell 5.6 side 127

17. Eksempel – verdsetting termin • En long kontrakt på en aksje som ikke betaler utbytte ble inngått for en tid siden. Det er nå 6 mnd igjen av kontraktsperioden. Risikofri rente er 10 %, aksjekurs 25 og terminpris 24. Hva er verdien av kontrakten, ƒ?

18. Aksjeindekser(Page 115) • Aksjeindekser kan ses på som en eiendel som gir avkastning (yield q) • Sammenhengen mellom spotpris og termin er dermed F0 = S0 e(r–q )T

19. Indeksarbitrasje • Hvis F0 > S0e(r-q)Tvil en arbitrasjør kjøpe aksjene i indeksen og selge futures • Hvis F0 < S0e(r-q)Tvil en arbitrasjør kjøpe futures og shorte eller selge aksjene i indeksen • Dette kalles indeksarbitrasje

20. Futures og terminer på valuta (Page 116-120) • En fremmed valuta er analogt med et verdipapir som gir en sikker dividende ved at det er mulig å opptjene rente på et valutainnskudd • Det følger da at hvis rfer utenlandsk risikofri rente er terminpris eller terminkurs

21. Renteparitet Figure 5.1, page 117

22. Renteparitet • Anta at to-års rente i Australia og USA er hhv 5 % og 7 % og spotkurs er 0.62$/A$ • Terminkurs er 0.62e(0.07 – 0.05) ● 2 = 0.6453 • Anta at en bank gir en terminkurs på 0.63. • Hvordan kan man tjene penger på arbitrasje?

23. Arbitrasjegevinst

24. Futures på varer (commodities) • Først skal vi se på investeringsvarer og deretter skal vi se på konsumvarer. Det prinsipielt nye er at det kan være lagringskostnader på varer, som prinsipielt er en negativ inntekt. Hvis U er nåverdien av lagringskostnadene har vi følgende cost of carryHvis lagringskostnadene er proporsjonale med prisen

25. Eksempel gull • Anta at gull ikke gir inntekt og at det koster 2 pr. unse å lagre gull og at lagringskostnadene betales etterskuddsvis. Spotpris = 600, risikofri rente 5 % og T = 1. Hva er riktig futures pris?Hva hvis futures pris for eksempel er 700 eller 610?

26. Futures på konsumvarer • Konsumvarer gir normalt ingen inntekt men lagringskostnadene kan være høye. Cost of carry modellen kan igjen brukes. Hva skjer dersom:

27. Futures på konsumvarer • I noen tilfeller kan det være en fordel å faktisk ha en vare på lager enn å ha en long futures. Denne gevinsten kalles en ”convenience yield”. Hvis lagringskostnaden har en kjent nåverdi U defineres convenience yield y slik eller hvis lagringskostnaden er proporsjonal med pris u

28. Cost of Carry (Page 123) • Cost of carry, c, er lagringskostnad pluss rentekostnad minus inntekt fra eiendelen • For et investeringsgode F0 = S0ecT • For et konsumgode F0S0ecT • Convenience yield på et konsumgode, y, defineres slik at F0 = S0 e(c–y )T

29. Futurespriser og forventede spotpriser (Page 124-125) • Anta at k er forventet avkastning på en eiendel • Vi kan investere F0e–r Tnå og få STtilbake når futureskontrakten løper ut • Dermed har vi at F0 = E (ST )e(r–k )T

30. Futurespriser og forventede spotpriser • Hvis eiendelen har • Ingen systematisk risiko, er k = r og F0 er en forventningsrett estimator på ST • positiv systematisk risiko, da er k> r og F0 < E (ST ) • negativ systematisk risiko, da er k< r og F0> E (ST )