在发明中学习线性代数概念引入之四 : 矩阵运算

在发明中学习 线性代数概念引入之四: 矩阵运算李尚志中国科学技术大学

矩阵乘法 1. 线性函数 • 例1在平面上建立直角坐标系. • 将平面上每个点P绕原点 • 向逆时针方向旋转角α到点P'. • 写出点P的坐标(x,y)与点P‘的 • 坐标(x',y')之间的函数关系式.

(2) 将x轴绕原点向逆时针方向旋转角α得到直线lα. 平面上任一点P关于直线 lα的对称点为 P'. 写出点P的坐标(x,y)与点P'的坐标(x',y')之间的函数关系式.

解设原点O到P的距离|OP|=r, 由射线OX(即x轴正方向) 到OP所成的角 . 则|OP'|=|OP|=r, x=rcosθ, y=rsinθ. • (1) • x'=rcos(θ+α) =rcosθcosα-rsinθsinα =xcosα-ysinα • y'=rsin(θ+α) =rcosθsinα+rsinθcosα =xsinα+ycosα

(2)

在旋转变换的表达式 中, x’是x,y的线性函数(一次齐次函数) 可以表示成可以直接写 f1 = (cosα,-sinα). 类似地有

一般地, 任意一个n元线性函数 可以由它的一次项系数组成的行向量(a1,…,an)来表示, 称为这个线性函数 f 的坐标. • 可直接写 f = (a1,…,an) • n 个自变量看成一个整体 X, 写成列向量 • 函数 f 在自变量 X 上的作用可以看作行 f 与列 X 相乘:

2. 线性映射的矩阵 • f : 自变量  因变量 • 旋转 • 轴对称

一般地, 考虑映射f: X=  Y= • 如果每个yi都是x1 ,…, xn的一个线性函数 • 决定, 则映射 f: X Y由 m 个行向量 fi 决定. • f 称为线性映射. 写成看作矩阵 A= 与列 X 相乘的结果.

3. 线性映射的合成: Y= Z= 是X的m个线性函数f1,…,fn的线性组合, 仍是X 的线性函数 ,其坐标的坐标(即A的各行)的相应的线性组合 Z=CX=BAX,C=BA的第i行元素分别乘A的各行相加得到.

4. 利用分块运算理解矩阵乘法 1、 AB = A (B1,,B2,…,Bk), A 依次乘 B 的各列。例. 对可逆方阵 A ，解矩阵方程 AX=B. 将 X,B 按列分块, A(X1, … ,Xk)=(B1,…,Bk) 即 (AX1,…,AXk)=(B1,…,Bk), AXj = Bj (j=1,2,…,k) 相当于同时解 k 个有公共系数矩阵A的线性方程. 同时对k个增广矩阵 (A Bj) 做同样的初等行变换。可以合并到一起作初等行变换: (A B)  (I X），X=A-1B。 2、 A = (A1,…,An) = x1A1+…+xnAn.

3、行变换: B  AB 列变换: B  BA A：施工方案，B：被施工的材料

5. 初等变换与初等矩阵 解。 B AB 与 I AI 经过相同的行变换。

谢谢

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