第七章 材料力学基础

1. 第七章 材料力学基础 第一节 材料力学的基本概念 一、材料力学的任务 二、变形固体与基本假设 三、弹性和塑性变形 四、杆件变形的基本形式 第二节 拉伸和压缩 一、拉伸与压缩的概念 二、拉伸与压缩应力 三、拉伸（压缩）时材料的机械性能 四、拉伸（压缩）时的强度计算 第三节 剪切和挤压 一、剪切的概念及实用计算 二、挤压的概念及实用计算 第四节 圆轴的扭转 一、圆轴扭转的概念 二、圆轴扭转外力偶矩、扭矩 三、圆轴扭转时的应力 四、圆轴扭转的强度计算 第五节 直梁的弯曲 一、平面弯曲概念 二、梁的内力——剪力和弯矩 三、纯弯曲时的正应力 四、梁的弯曲强度计算 第六节 材料力学其他常用知识简介 一、组合变形 二、压杆稳定性知识 三、动荷应力和交变应力概述

2. 第一节 材料力学的基本概念 • 一、材料力学的任务 • 工程上各种机器设备和结构物，都是由许许多多构件组成的，构件工作时往往承受载荷作用。在载荷作用下，构件必然产生变形——形状和大小发生变化，并可能发生破坏。为保证机器设备和结构物的正常工作，构件应满足以下要求： • ⒈　足够的强度 • 构件在载荷作用下抵抗破坏的能力，称为强度。构件具有足够的强度就是指在规定的使用条件下构件不会被破坏。

3. ⒉　足够的刚度 • 构件抵抗变形的能力，称为刚度。构件具有足够的刚度就是在规定的使用条件下，构件不会产生过大的变形。 • ⒊　足够的稳定性 • 受压力作用的细长杆、薄壁杆，当载荷增加时，还可能出现突然失去初始平衡状态的现象，称为丧失稳定。所谓稳定性是指细长压杆保持原有直线平衡形式的能力。

4. 材料力学的任务 工程设计中，构件不仅要满足强度、刚度和稳定性的要求，同时还必须符合经济方面的要求。前者往往要求加大构件的横截面，多用材料，用强度高的材料；而后者却要求节省材料，尽量降低成本；因此安全与经济两者之间是存在矛盾的。材料力学是研究构件强度、刚度和稳定性的学科，它的任务就是在满足强度、刚度和稳定性的前提下，为构件选择适宜的材料，确定合理的形状和尺寸；为构件设计提供基本理论和计算方法。

5. 二、变形固体与基本假设 • 在理论力学中，刚体是理论力学的理想模型。对材料力学而言，变形正是它所研究的主要内容之一，因而它的研究对象是受力会变形的固体，简称为变形固体。并以下列假设将其简化为理想模型。 • ⒈均匀连续性假设 假设变形固体的内部是连续不断地充满了物质，而且各处力学性质都相同； • ⒉各向同性假设 假设变形固体在各个方向上具有相同的力学性质； • ⒊小变形假设 假设变形固体与物体本身的尺寸相比，是很微小的。

6. 三、弹性和塑性变形 • 变形固体在解除外力后，具有恢复原形的性质，称为弹性。卸载后消失的变形，称为弹性变形。一般工程材料，当外载未超过某限度时，仅产生弹性变形，称为完全弹性体；当外力超过某极限时，还将产生卸载后的不消失的塑性变形，称为弹塑性体。材料力学研究的主要问题是完全弹性体的小变形问题。

7. 四、杆件变形的基本形式 • 实际构件的形状是各种各样的。简化后可大致归纳为四类：杆、板、壳和块。凡是长度远大于其它两个方向尺寸的构件，称为杆。材料力学主要研究对象是杆件，且大多是等截面直杆。 • 杆受力后，其变形基本形式有四种： • ⑴ 轴向拉伸和压缩 构件受到沿轴线方向的两个大小相等而方向相反的拉力或压力时，构件就会沿轴向伸长或缩短。这种变形叫拉伸或压缩； • ⑵ 剪切和挤压变形 构件受到大小相等、方向相反、作用线不重合且相距较近的两个力的作用时，构件的两个力中间部分产生各截面的相互错动，即剪切变形 。机械中联接件的局部承受较大的压力，而出现塑性变形，这种变形叫挤压变形。

8. ⑶ 扭转变形 构件受到垂直杆轴线的两平面内大小相等、而方向相反的两个力偶作用时，杆件所产生的变形称为扭转变形； • ⑷ 弯曲变形 构件受到与杆轴线相垂直的力作用或构件纵向平面内受到力偶的作用时，产生的变形称为弯曲变形，变形后的轴线变成曲线。 • 其他复杂的变形形式，都是上述两种或两种以上基本变形的组合，称为组合变形。

9. 第二节 拉伸和压缩 • 一、拉伸与压缩的概念 • 举例：内燃机的连杆，在工作中将产生压缩变形（如右上图），链传动中的传动链条受拉伸等。 • 这些受拉或受压的构件绝大多数是等截面直杆，可以简化成如右下图所示的计算简图。由计算简图可知，拉（压）杆的受力特点是外力（或外力合力）沿杆轴线作用；变形特点是杆件沿轴向发生伸长或缩短。

10. 二、拉伸与压缩应力 • ⒈　内力和截面法 • ⑴ 内力 以杆件为研究对象时，作用于杆件上的载荷和约束反力均称为外力。构件受到外力作用而变形时，由于材料内部颗粒之间的相对位置改变而产生相互作用的抵抗力称为内力。它是连续作用于截面上的分布力，随外力增减而变化。

11. ⑵ 截面法 设有一受拉杆件AB（如下图），在外力F的作用下处于平衡状态，为确定横截面a-a上的内力，假想沿横截面a-a处截开为左、右两部分，并且以FN和FN′分别表示左右两部分上的内力。由于内力实际上是分布在整个横截面上的，所以FN和FN′分别表示左右两部分相互作用的力，它们是一对作用力与反作用力的关系，因此只需取其中之一研究即可。

12. 对于受轴向拉伸、压缩的杆件，因为外力的作用线与杆件的轴线重合，所以内力FN作用线也必然与杆的轴线重合，并称此内力为轴力。若轴力的方向背离截面，规定为正值，称为拉力；若轴力的方向指向截面，规定为负值，称为压力。对于受轴向拉伸、压缩的杆件，因为外力的作用线与杆件的轴线重合，所以内力FN作用线也必然与杆的轴线重合，并称此内力为轴力。若轴力的方向背离截面，规定为正值，称为拉力；若轴力的方向指向截面，规定为负值，称为压力。 • 这种将杆件截开、任取一部分作为研究对象，应用静力学平衡方程求内力的方法称为截面法。采用截面法求内力的步骤如下： • ① 假想沿所求内力的截面将杆分成两部分； • ②任取其中一部分为研究对象，并画其受力图； • ③列研究对象的平衡方程，并求解内力。

13. ⒉　截面上的正应力 • 用截面法求出来的内力，只表示构件受力的大小，还不能判断构件某一点受力的强弱程度。例如材料相同，直径不等的两根直杆，在相同的拉力F作用下，内力相等，当F力增大时，直径小的杆必先断。这说明构件上某一点受力的强弱程度，不仅与横截面的内力有关，而且与横截面的面积有关。因此，需要引入表示截面上某点受力强弱程度的量——应力，作为判断杆件强度的依据。 • 构件在外力作用下，单位面积上的内力称为应力。根据变形固体的基本假设，内力是连续分布在截面上的，应力是说明内力在截面上的分布情况，用它的大小来判定构件的强度是否达到设计要求。

14. 如右图所示一构件，设构件横截面面积为A，轴力为FN，单位面积上的内力为FN/A，即应力用σ表示为如右图所示一构件，设构件横截面面积为A，轴力为FN，单位面积上的内力为FN/A，即应力用σ表示为 • 由于内力是垂直于横截面，所以应力也垂直于横截面，这样的应力称为正应力。 • 同轴力FN一样，拉应力σ为正；压应力σ为负。

15. ⒊　拉伸（压缩）变形与虎克定律 • ⑴　拉伸（压缩）变形 设一长为L的等直杆，在轴向力F的作用下，变形后的长度为L1。以△L表示杆沿轴向的变形量，即 • △L =L－L1 • △L称为绝对变形：如受拉力为正值；受压力为负值。 • 在同样大小的外力作用下，对不同长度的构件，其绝对变形量是不一样的，就是说绝对变形不能准确地反映构件的变形程度。故常以单位长度的变形量来度量构件的变形程度，即 • ε称为构件的轴向相对变形或轴向线应变。应变是个比值，无单位。拉伸时，ε＞０；压缩时ε＜０。

16. ⑵ 虎克定律 • 当杆内的应力不超过某一限度时，杆的绝对变形△L与轴力Ｎ、杆长Ｌ成正比，与杆的横截面面积Ａ成反比，即 • △L还与杆的材料性能有关，引入与材料有关比例常数Ｅ，得 • 上式称为虎克定律。式中Ｅ称为弹性模量。 • 结论：当其它条件不变的情况下，E越大，材料变形越小。因此，E表示材料抵抗拉、压变形的能力，是材料的刚度指标。长度与受力相同的杆，EA值愈大，其变形就愈小，说明EA可表示杆件抵抗拉压变形的能力， EA称为杆的抗拉（压）刚度。

17. 上式可整理为 • 将△L/L=ε，N/A=σ代入上式得虎克定律的另一种表示形式，即 • σ=Εε • 它表明，在弹性限度内，应力与应变成正比。应用这个关系式可以从已知的应力求变形，也可以用测量变形来求应力。

18. 三、拉伸（压缩）时材料的机械性能 • 材料的机械性能是指材料受外力时，在强度和变形方面表现出的性能，是解决强度、刚度和稳定性问题所不可缺少的依据。它是由实验来测定的。 • 常温、静载条件下，材料常分为以低碳钢为代表的塑性材料和以铸铁为代表的脆性材料。 • ⒈塑性材料的机械性能 材料的机械性能可按国家标准《金属拉力试验法》(GB228-76）测定。拉伸试验后，绘制P-△L曲线，称为拉伸图。为了消除试件尺寸的影响，可以用正应力σ来表示材料的受力程度。为消除标距长短的影响，可用单位长度的变形，即线应变ε来表示材料的变形程度。即得到σ-ε关系曲线，称为应力-应变图，它反映了材料的力学性质。 • 塑性材料压缩性能只有在屈服极限内与拉伸时相重合，屈服极限后产生明显的塑性变形，随着压力的增加，越压越扁，故得不到材料压缩时的抗压强度。

19. ⑴ 弹性阶段 包括Oa和aa‘两段，对应应力比例极限σP、弹性极限σe。 • ⑵ 屈服阶段 包括bc段，对应应力屈服极限σs 。 • ⑶ 强化阶段 包括cd段，对应应力强度极限σb 。 • ⑷ 颈缩阶段 包括de段。

20. ⒉　脆性材料的机械性能 • 以灰铸铁为例，拉伸时灰铸铁无明显的直线部分，应力与应变的关系不符合虎克定律，无屈服现象，也不产生颈缩，变形小，突然断裂；灰铸铁的压缩性能也无明显的直线部分，近似符合虎克定律，无屈服极限，强度极限大大超过拉伸时强度极限4～5倍，故抗压性能强，适用受压零件。因此，塑性和脆性材料的机械性能主要区别是： • ⑴　塑性材料破坏时有显著的塑性变形，断裂前有的出现屈服现象。 • ⑵　塑性材料在拉伸和压缩时的比例极限、屈服极限和弹性模量都是相同的。说明拉压时具有相同的强度与刚度。而脆性材料的抗拉能力远远低于抗压能力。

21. 四、拉伸（压缩）时的强度计算 • ⒈　许用应力与安全系数 • 任何工程材料能承受的应力都是有一定限度的，使材料丧失正常工作能力的应力称为极限应力。一般认为，对于塑性材料的极限应力是其屈服极限σs；对于脆性材料的极限应力是其强度极限σb。 • 由于构件承受的载荷难以精确估计，以及材料质地的不均匀性，计算方法的近似和构件在工作时的腐蚀与磨损等，这些都要求材料具有一定的强度贮备。所以在工程计算中允许材料承受的最大应力，通常称为许用应力，用［σ］表示，其值应将极限应力除以大于1的系数n。

22. 常温、静载条件下，塑性材料拉伸和压缩时的屈服极限基本相同，故拉、压许用应力同为常温、静载条件下，塑性材料拉伸和压缩时的屈服极限基本相同，故拉、压许用应力同为 • 脆性材料的拉伸和压缩强度极限一般不同，故许用应力分别为许用拉应力［σl］与许用压应力［σy］。 • 式中ns称为屈服安全系数，nb称为断裂安全系数。安全系数的大小直接影响构件的工作情况，在确定安全系数n值时，要兼顾安全和经济两个方面。一般的机械，采取经验选取：塑性材料ns =1.2～2.2;脆性材料nb=2～3.5(或更大) 。

23. ⒉　拉伸（压缩）强度计算 • 为保证构件能安全正常的工作，在外力作用下杆件内产生的最大工作应力不超过材料的许用应力，即： • 上式称为拉伸或压缩时的强度条件。根据强度条件，可解决以下三方面的问题： • ⑴强度校核 就是验算构件强度是否足够。如已知A，N和［σ］，求出最大工作应力。若上式成立，说明构件强度足够，否则强度不能满足； • ⑵设计截面 已知N和［σ］，确定截面面积 A≥N/［σ］，确定出横截面的尺寸； • ⑶确定构件的许可载荷 已知［σ］及A，根据N≤A［σ］，确定构件能承受的载荷，以确定构件所能承受的最大轴力。再根据静力学关系，确定结构所能承担载荷。

24. 第三节 剪切和挤压 一、剪切的概念及实用计算 • ⒈　剪切的概念 • 当构件受到两组大小相等，方向相反而且彼此很接近的平行力的作用时，两组力间的截面处发生相对错动而变形，这种变形称为剪切变形。剪切变形的受力特点是外力大小相等，方向相反，作用线相距很近。变形特点是截面沿外力的方向发生相对错动。产生相对错动的截面称为剪切面，剪切面总是平行外力作用线，且在两个反向外力作用线之间。

25. 剪切变形多数发生在工程结构和机械零件的联接件上。例如，联接两个零件的销、铆钉、键和螺栓等，都是一些常见的受剪零件（如下图所示）。在外力作用下，沿剪切面发生剪切变形，当外力过大时，沿剪切面将连接件剪断。因此，必须进行剪切强度计算。剪切变形多数发生在工程结构和机械零件的联接件上。例如，联接两个零件的销、铆钉、键和螺栓等，都是一些常见的受剪零件（如下图所示）。在外力作用下，沿剪切面发生剪切变形，当外力过大时，沿剪切面将连接件剪断。因此，必须进行剪切强度计算。

26. ⒉　剪切应力 • 构件受到剪切力的作用时，在它的剪切面上就要产生沿截面作用抵抗剪切变形的内力，称为剪力，用字母“Q”表示。剪力Q的大小仍用截面法求得，单位是牛（N）或千牛（KN）。 • 单位面积上剪力的大小就叫做剪应力，用字母“τ”表示。单位是帕（Pa）或兆帕（MPa）。 • 剪应力在剪切面上分布规律较复杂。工程上常采用以实验、经验为基础的“实用计算法”。“实用计算法”是指假设剪应力τ均匀分布在剪切面上。 • 设剪切面的面积为A，剪力为Q，则剪切面上的平均剪应力为

27. ⒊　剪切的强度条件 • 为了保证剪切变形构件工作时安全可靠，剪切强度条件为 • 上式许用剪切应力［τ］，可从有关手册中查得，也可按下列近似的经验公式确定。 • 其中 塑性材料［τ］=（0.6～0.8）［σl］； • 脆性材料［τ］=（0.8～1）［σl］。 • 式中的［σl］为材料的许用拉应力

28. 二、挤压的概念及实用计算 • 一般情况下，构件发生剪切变形的同时，往往还伴随着挤压变形。挤压变形是两构件在相互传递压力的接触面上，由于局部受较大的压力，而出现塑性变形的现象——压陷、起皱（如下图所示）。这种现象称为挤压破坏。作用于接触面间的压力，称为挤压力，用符号Pjy表示。构件上发生挤压变形的表面称为挤压面。挤压面就是两构件的接触面，一般是垂直于外力的作用线。上图所示钢板上的铆钉孔，由于挤压产生显著的局部塑性变形，原来的圆孔被挤压成长圆孔。 • 由挤压力引起的应力称为挤压应力，用σjy表示。 • 必须注意，挤压应力与压缩应力是不同的。挤压应力是分布在两构件接触表面上的压强；而压缩应力是分布在整个构件内部单位截面积上的内力。

29. 计算挤压应力同样采用“实用计算”的方法，即认为挤压应力在挤压面上是均匀分布的。由此得挤压的强度条件为计算挤压应力同样采用“实用计算”的方法，即认为挤压应力在挤压面上是均匀分布的。由此得挤压的强度条件为 • 式中Pjy——挤压面上的挤压力； • Ajy——挤压面积； • ［σjy］——材料许用挤压应力，对于塑性较好的低碳钢材料一般取［σjy］=（1.5～2.5）［σl］；对于脆性材料一般取［σjy］=(0.9～1.5)［σl］。

30. 第四节 圆轴的扭转 • 一、圆轴扭转的概念 • 在工程实际及日常生活中，我们常遇到承受扭转的构件。如下图所示，汽车中传递发动机动力的传动轴AB，其受力特点：载荷是一对力偶，力偶作用面均垂直杆的轴线，但方向相反，因而产生相同的变形形式，各横截面绕杆轴线发生相对转动，这种变形称为扭转变形。 • 在生产中，象丝锥、钻头等，工作时都主要产生扭转变形。

31. 二、圆轴扭转外力偶矩、扭矩 • ⒈ 外力偶矩的计算 • 计算轴的扭转内力，首先要知道轴上所受的外力偶矩。当已知轴的转速和传递的功率时，外力偶矩可按理论力学中建立的公式计算。 • 式中 m——为外力偶矩，单位为牛顿·米； • P——为轴传递的功率，单位为千瓦（KW）； • n——为轴的转速，单位为转/分（r/min）。 • 若功率的单位为马力（hp），则上式改写为

32. ⒉ 轴横截面上的内力——扭矩 • 圆轴发生扭转变形时，横截面上将有内力产生，求内力的方法仍然是截面法。 • 如图所示AB轴，在其两端垂直轴线的平面内，作用着一对方向相反、力偶矩均为M的力偶，要求任意截面上的内力。取任一段为研究对象，可以得到，扭转时任意截面上扭矩的大： • T（T＇）=截面一侧所有外力偶矩的代数和

33. 扭矩的正负规定如下：按右手螺旋法则把扭矩用矢量（即四指弯向表示力偶的方向，大拇指的指向表示扭矩矢量的方向）表示，若矢量的指向离开截面时，扭矩为正；反之为负。按此规定，不论取左段还是取右段研究，其扭矩符号相同。扭矩的正负规定如下：按右手螺旋法则把扭矩用矢量（即四指弯向表示力偶的方向，大拇指的指向表示扭矩矢量的方向）表示，若矢量的指向离开截面时，扭矩为正；反之为负。按此规定，不论取左段还是取右段研究，其扭矩符号相同。

34. 三、圆轴扭转时的应力 • 为了掌握圆轴扭转变形的规律和横截面应力的分布，首先让我们观察圆轴的扭转实验。 • 取一等截面圆轴（如下图所示），在其表面画一组平行于轴线的纵向线和代表横截面边缘的圆周线，形成许多矩形。然后在垂直于轴线的平面内施加力偶矩m，使轴产生扭转变形。由此可以得到圆轴表面的变形情况： • ⑴　各圆周线绕轴线发生了相对转动，但形状、大小及相互之间的距离均无变化； • ⑵　所有纵向线倾斜了同一微小角度γ，原来的矩形均变为平行四边形，但纵向线仍近似为直线。

35. 平面假设：圆轴横截面，变形后仍保持为平面，其形状、大小不变，半径仍保持为直线；相邻两横截面间的距离不变。平面假设：圆轴横截面，变形后仍保持为平面，其形状、大小不变，半径仍保持为直线；相邻两横截面间的距离不变。 • 按照平面假设，圆轴扭转变形时的特点为：各横截面象刚性圆盘似地绕轴线发生相对转动，且截面之间的距离不变。所以圆轴扭转变形时，截面上只有剪应力存在，而无正应力。剪应力的分布规律为截面上某点的剪应力的大小与该点至圆心的距离成正比，圆心处剪应力为零，圆周上剪应力最大。 • 圆轴扭转时最大剪应力为

36. 令IP/R=Wn 则 上式为圆轴扭转时横截面上最大剪应力的计算公式。 在工程上轴的横截面通常采用实心和空心圆截面两种形状。它们的极惯性矩IP及抗扭截面模量Wn分别是： ⑴ 实心圆轴 式中 D——为轴的直径。 ⑵ 空心圆轴 式中 α=d/D

37. 四、圆轴扭转的强度计算 • 为了保证圆轴在扭转时安全可靠，必须使危险截面上的最大剪应力τmax不超过材料的许用剪切应力，即 • 上式便是圆轴扭转时的强度条件。 • 式中 T——截面上的扭矩； • Wn——截面的抗扭截面模量； • ［τ］——许用剪应力，由实验测定，设计时可查手册。在静载时可采用近似关系： • 塑性材料 ［τ］=（0.5～0.6）［σl］ • 脆性材料 ［τ］=（0.8～1.0）［σl］ • ［σl］为材料的许用拉应力

38. 第五节 直梁的弯曲 • 一、平面弯曲概念 • ⒈ 平面弯曲 • 举例说明，桥式起重机的横梁、汽车的前梁等这些直杆具有相同的受力特点——外力垂直于轴线或在轴线的平面内受到力偶的作用，因而发生相同形式的变形——轴线由直线变为曲线，这种变形称为弯曲。在工程上把以弯曲变形为主的构件称为梁。常见的梁，其横截面往往具有对称轴，对称轴与梁的轴线构成纵向对称面。若作用在梁上的外力都位于纵向对称面内，且力的作用线垂直于梁的轴线，则变形后的轴线将是平面曲线，并仍位于纵向对称面内，这种弯曲称为平面弯曲。

39. ⒉ 梁的基本类型 • 梁的结构形式很多，按梁的支座形式可分为三种基本形式： • ⑴ 简支梁 梁的一端为固定铰链支座，另一端为活动铰链支座。 • ⑵ 外伸梁 梁的支座形式与简支梁相同，梁的一端或两端伸出在支座以外。 • ⑶ 悬臂梁 梁的一端为固定端支座，而另一端为自由端。

40. 二、梁的内力——剪力和弯矩 • ⒈　梁的外力 • 梁上的外力包括载荷和支座反力两部分。作用在梁上的载荷，通常简化为下列三种形式： • ⑴　集中力 • ⑵ 集中力偶 • ⑶ 分布载荷 • 工程上，一般作用于梁上的载荷是已知的，而支座反力需要借助于平衡方程求得。

41. ⒉　剪力和弯矩——截面法 • 梁在外力作用下，横截面上将有内力产生。计算内力的方法仍然是截面法。下面以简支梁为例，分析梁横截面上内力简化结果。

42. 设载荷F与支座反力FA、FB均已知，是位于梁纵向对称面内的平行力系。现运用截面法求任意截面n-n内力。假想沿n-n截面将梁分为两段，由于整个梁是平衡的，它的任一部分也应处于平衡状态。为了维持左段平衡，n-n截面必然存在两个内力分量：设载荷F与支座反力FA、FB均已知，是位于梁纵向对称面内的平行力系。现运用截面法求任意截面n-n内力。假想沿n-n截面将梁分为两段，由于整个梁是平衡的，它的任一部分也应处于平衡状态。为了维持左段平衡，n-n截面必然存在两个内力分量： • ⑴力Q（Q＇），其作用线平行于外力并通过截面形心（沿截面作用），故称为剪力。 • ⑵力偶矩M（M＇），其力偶面垂直于横截面，称为弯矩。

43. 通常梁的跨度比较大，剪力产生的剪应力对梁的影响很小，可以忽略不计。因此下面我们只研究弯矩的作用。通常梁的跨度比较大，剪力产生的剪应力对梁的影响很小，可以忽略不计。因此下面我们只研究弯矩的作用。 • 利用平衡条件，可以很方便地得出截面上弯矩，其大小就任等于所取研究对象上外力对该截面形心力矩的代数和。即 • M（M＇）=截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和 • 式中M与M＇是以截面n-n为界，分别取左段或右段为研究对象时截面上的弯矩，互为作用与反作用，大小相等，方向相反。

44. 梁上某截面弯矩的正负规定，由该截面附近的变形情况确定。若梁在该截面附近弯成上凹下凸，则弯矩力正，反之为负。如下图所示。

45. ⒊　弯矩方程与弯矩图 • 在一般情况下，梁横截面上的弯矩是随截面的位置而变化的。如果沿梁轴方向选取坐标x表示横截面的位置，则梁内各横截面的弯矩都可表示为坐标x函数，即M = M（x） • 该表达式称为弯矩方程。 • 为了形象地表明弯矩沿梁的轴向变化情况，可以用横坐标x表示横截面的位置，而以纵坐标表示相应截面上的弯矩，则可绘出M = M（x）的图线。该图线称为弯矩图。

46. 三、纯弯曲时的正应力 • ⒈　纯弯曲的概念 • 在一般的平面弯曲，梁的横截面上既有剪力又有弯矩，梁发生弯曲变形的同时，还伴有剪切变形，这种平面弯曲称为横力弯曲。当梁的横截面上只受弯矩时，该梁无剪切变形，只有弯曲变形，这种平面弯曲称为纯弯曲。

47. ⒉　横截面上应力分布规律 • 纯弯曲时，梁横截面上只有弯矩，而无剪力。内力在横截面上如何分布其合成结果才是弯矩？首先让我们进行实验观察。 • 取一矩形截面梁，在梁的侧面划上代表横截面的边框线的横向直线和代表平行于轴线的纵向纤维的纵向直线，且中间一条纵向直线与梁的轴线重合。然后在其对称面内施加力偶，梁发生纯弯曲变形。变形后横向线仍为直线，且仍与纵向线正交，但发生了相对转动。纵向线变成了曲线，靠近凹边的线段缩短同时，除了与轴线相重合的纵向线以外，其余各纵向线都产生了伸长或缩短，靠近凸的一边是伸长，靠近凹的一边是缩短。

48. 由纯弯曲实验可得： • 因变形后的横截面仍与纵向线正交，直角未发生变化，剪应变为零，故剪应力为零；弯曲变形时，梁的一部分纵向纤维伸长，另一部分缩短，从缩短到伸长，变化是逐渐而连续的，因此，由缩短区过渡到伸长区，必存在一层既不伸长也不缩短的纤维，称为中性层，是梁上缩短区与伸长区的分界面。中性层与横截面的交线称为中性轴（如上图）。中性轴必通过横截面的形心。

49. 由上述分析，可得正应力分布规律：梁发生纯弯曲变形后，所有横截面仍保持平面，只是绕中性轴相对转动，截面上各点伸长处受拉，缩短处受压，其大小为该点到中性轴的距离成正比分布，正应力的分布规律是横截面上各点正应力的大小与该点到中性轴的距离成正比。中性轴上的正应力等于零，离中性轴最远点上、下边缘正应力最大,如图所示。由上述分析，可得正应力分布规律：梁发生纯弯曲变形后，所有横截面仍保持平面，只是绕中性轴相对转动，截面上各点伸长处受拉，缩短处受压，其大小为该点到中性轴的距离成正比分布，正应力的分布规律是横截面上各点正应力的大小与该点到中性轴的距离成正比。中性轴上的正应力等于零，离中性轴最远点上、下边缘正应力最大,如图所示。

50. ⒊最大正应力计算公式 • 梁弯曲时截面上的弯矩，可看作整个截面上各点的内力对中性轴的力矩所组成。 • 直梁横截面上最大正应力的公式为 • 上式中，令Iz/ ymax=Wz，则 • 当弯矩M不变时，Wz愈大，σmax愈小，所以Wz是说明梁横截面抵抗弯曲破坏能力的一个几何量。