2. ブール代数と論理ゲート

ディジタル回路 2. ブール代数と論理ゲート五島正裕

ディジタル回路 今日の内容 • 本論 • 論理ゲート • ブール代数 • 論理関数 • 論理関数の完全性「すべての論理回路は，AND，OR，NOT の組み合わせでできる」 • 今日のまとめ

ディジタル回路 論理ゲート

ディジタル回路 論理ゲート NOT AND OR （論理否定）（論理積）（論理和） MIL記号 MIL symbol a a z z a z b b 論理式 logic expression z = a∙b z = a’ z = a + b z = a z = ¬ a 真理値表 truth table

論理ゲート buffer? NAND NOR MIL記号 MIL symbol a a z z a z b b 論理式 logic expression z = a z = (a∙b)’ z = (a + b)’ 真理値表 truth table ディジタル回路

論理ゲート XOR (EOR) XNOR (EQ) （排他的論理和） MIL記号 MIL symbol a a z z b b 論理式 logic expression b b z = a z = a 真理値表 truth table ディジタル回路

ディジタル回路 余談 1/2 • MIL 記号 • MIL : 米国軍用規格（Military Standard） • JIS の論理記号もある（が，誰も使わない）

ディジタル回路 余談 2/2 • OR と XOR • OR : （包含的）論理和 (inclusive-OR) • XOR : 　排他的　論理和 (exclusive-OR) • 日常の「または」は，どっち？ • 1年以下の懲役または 100万円以下の罰金 • x = 0, 1 • 英語の Aand/orB

ディジタル回路 組み合わせ回路 (Combinational Circuit) a b z c d z = a∙b + c∙d

ディジタル回路 ブール代数

ディジタル回路 ブール代数 • ブール代数 (Boolean Algebra) • George Bool • 論理計算のために考案 • Claude Shannon • 論理回路に応用

ディジタル回路 ブール代数の公理 • 交換則 • x∙y = y∙x • x+y = y+x • 結合則 • (x∙y)∙z = x∙(y∙z) • (x + y)+ z = x+ (y+z) • 分配則 • x∙(y+z) = x∙y+x∙z • x+y∙z= (x+y)∙(x+z) • 単位元 1 が存在する • ∀x, x∙1 = x • 零元 0 が存在する • ∀x, x + 0 = x • 補元x’ が存在する • ∀x, x∙x’ = 0 • ∀x, x + x’ = 1

ディジタル回路 ブール代数の例 ― 論理演算 • 論理演算 • 単位元： 1 • 零　元： 0 • 論理積： 0・0= 0, 0・1= 0, 1・0= 0, 1・1= 1 • 論理和： 0＋0 = 0, 0＋1 = 1, 1＋0 = 1, 1＋1 = 1 • 補　元： 0’=1,1’ = 0

ディジタル回路 ブール代数の定理 • 対合則 • (x’)’= x • べき等則 • x∙x= x • x+x = x • 吸収則１ • x∙(x+y) = x • x+(x∙y) = x • 吸収則２ • x∙(x’+y) = x∙y • x+ (x’∙y) = x+y • ド・モルガンの定理 • (x∙y)’= x’+ y’ • (x + y)’= (x’)∙(y’)

ド・モルガンの法則 • (x∙y)’ = x’ + y’ • (x + y)’ = (x’)∙(y’) ベン図ディジタル回路

ディジタル回路 双対性 (Duality) • ブール代数の公理は「ペア」 • “∙”(AND) ⇔ “＋”(OR)，“0” ⇔ “1” を入れ替えると入れ替わる • 分配則：“＋” も分配する • x∙(y+z) = (x∙y) + (x∙z) • x+ (y∙z) = (x+y)∙(x+z) • 双対とは，いわば，「対等」

ディジタル回路 論理関数

ディジタル回路 論理関数 • f : (i1, i2, …, in) → o (i1, i2, …, in, o : ブール変数） • 2入力論理関数：先ほどの AND，OR 等 • 1入力論理関数：NOT ，BUF 等 • 真理値表 (truth table) • 関数の定義

ディジタル回路 表による定義

ディジタル回路 n入力論理関数の数 • n入力の論理関数は 22nとおり • 入力は 2nとおり • そのそれぞれに，0 または 1 を指定できる 2n

ディジタル回路 すべての1，2入力論理関数すべての1入力論理関数 21 = 2 すべての2入力論理関数 221= 4 22 = 4 222 = 16

ディジタル回路 すべての1，2入力論理関数すべての1入力論理関数 21 = 2 すべての2入力論理関数 221= 4 XOR NOR 22 = 4 AND OR XNOR NAND

ディジタル回路 完全性

ディジタル回路 完全性（Completeness，完備性） • 完全集合 (Complete Set) • 論理関数の集合で，その要素の組み合わせによって，すべての論理関数を表現できる • 完全集合の例 • {AND, OR, NOT} • {AND, NOT} • {OR, NOT} • {NAND} • {NOR}

ディジタル回路 完全性の証明 {AND, OR, NOT} • 数学的帰納法： • 1入力の論理関数は {AND, OR, NOT} の組合せで表現できる • n入力の関数を {AND, OR, NOT} の組合せで表現できたと仮定して，(n + 1)入力の関数が表現できることをいう

ディジタル回路 完全性の証明 {AND, OR, NOT} • 1入力の論理関数はすべて，{AND, OR, NOT} の組合せで表現できる． o0 = 0 o1 = i1 o2 = i’1 o3 = 1 0 1

ディジタル回路 すべての1，2入力論理関数すべての1入力論理関数すべての2入力論理関数

ディジタル回路 完全性の証明 {AND, OR, NOT} • 1 入力の関数が {AND, OR, NOT} の組合せで表現できたので，2 入力の関数が表現できることをいう f = i’2∙ f10 + i2∙ f11 0 f10 i1 f11 1 i2 = 0

ディジタル回路 完全性の証明 {AND, OR, NOT} • 1 入力の関数が {AND, OR, NOT} の組合せで表現できたので，2 入力の関数が表現できることをいう f = i’2∙ f10 + i2∙ f11 0 f10 i1 f11 1 i2 = 1

ディジタル回路 たとえば AND すべての1入力論理関数すべての2入力論理関数 AND

ディジタル回路 たとえば AND • 1 入力の関数が {AND, OR, NOT} の組合せで表現できたので，2 入力の関数が表現できることをいう f = i’2∙ f10 + i2∙ f11 0 f10 i1 f11 1 i2 = 0

ディジタル回路 たとえば AND • 1 入力の関数が {AND, OR, NOT} の組合せで表現できたので，2 入力の関数が表現できることをいう f = i’2∙ f10 + i2∙ f11 0 f10 i1 f11 1 i2 = 1

ディジタル回路 完全性の証明 {AND, OR, NOT} • n 入力の関数を {AND, OR, NOT} の組合せで表現できたと仮定して，(n + 1) 入力の関数が表現できることをいう f = i’n+1∙ fn0 + in+1∙ fn1 fn0 i1 • … i2 • … in fn1 • … in+1

ディジタル回路 LUT による完全性の証明 1/3 • LUT : Look-Up Table • ハードウェアで，真理値表そのものを作る方法 • 1-bit×2n-word のメモリ • FPGA (Field-Programmable Gate Array) で多用される

ディジタル回路 i2i1i0：アドレス LUT による完全性の証明 2/3 o i0 i1 i2

ディジタル回路 LUT による完全性の証明 3/3 • … • … o • … • … i1 • … in in+1

ディジタル回路 完全性の証明一般の場合 • {AND, OR, NOT} が作れることを言う • ex) {NAND} AND OR NOT

ディジタル回路 今日のまとめ

ディジタル回路 ブール代数 • 完全集合： • すべての論理関数が作れる • 完全集合の例： • {AND，OR，NOT} • {NAND} • 完全集合をディジタル回路で作ればよい！ • 実際は，{NAND，NOR，NOT, XOR (XNOR)}

2. ブール代数 と 論理ゲート