1 / 19

Rappel...

Rappel. Solution itérative de systèmes linéaires (suite et fin). Application à l’infographie. Aujourd’hui. Sous-espaces de R n : Définition; Sous-espaces associés à une matrice; Bases; Coordonnées; Dimension; Rang. 8. Sous-espaces de R n. Espaces et sous-espaces vectoriels.

kelton
Download Presentation

Rappel...

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Rappel... • Solution itérative de systèmes linéaires (suite et fin). • Application à l’infographie.

  2. Aujourd’hui • Sous-espaces de Rn: • Définition; • Sous-espaces associés à une matrice; • Bases; • Coordonnées; • Dimension; • Rang.

  3. 8. Sous-espaces de Rn • Espaces et sous-espaces vectoriels. • Sous-espaces: souvent liés à une matrice A. • Nous donnent des indications sur l’équationAx = b.

  4. Définition: sous-espace de Rn Un sous-espace de Rn est un ensemble H dans Rn ayant les trois propriétés: a. Le vecteur zéro est dans H. b. Pour chaque u et v dans H, la somme u + v est dans H. c. Pour chaque u dans H et chaque scalaire c, le vecteur cu est dans H.

  5. Col A = {b| et b = Ax pour un quelconque } Définition: espace des colonnes Soit une matrice A m´n, l’espace des colonnes (ou image) de A est l’ensemble, dénoté Col A, de toutes les combinaisons linéaires des colonnes de A. En langage mathématique, on écrit

  6. b est-il dans Col A? • Il faut déterminer si le système Ax = b a une solution (i.e. s’il est compatible). • Méthode: matrice augmentée [Ab] et réduction sous forme échelon.

  7. Nul A = {x| et Ax = 0} Définition: noyau de A Soit une matrice Am´n, le noyau de A est l’ensemble, dénoté Nul A, de toutes les solutions de l’équation matricielle homogène Ax = 0. En langage mathématique, on écrit

  8. Noyau d’une matrice Le noyau d’une matrice Am´n est un sous-espace de Rn. De même, l’ensemble de toutes les solutions d’un système Ax = 0 de m équations linéaires homogènes à n inconnues est un sous-espace de Rn.

  9. x est-il dans Nul A? • Facile! • On fait Ax. Si Ax = 0, alors x est dans Nul A.

  10. Nul A et Col A • Nul A: définition implicite, on doit vérifier chaque vecteur. • Col A: définition explicite, on peut construire les vecteurs en combinant linéairement les colonnes de A.

  11. Définition: base Une base pour un sous-espace H de Rn est un ensemble linéairement indépendant dans H qui engendre H.

  12. Base pour Col A Les colonnes pivot d’une matrice A forment une base pour Col A.

  13. Définition: coordonnées B de x Supposons que l’ensemble B = {b1, ... , bp} soit une base d’un sous-espace H. Pour chaque x dans H, les coordonnées de x relativement à la base B (ou les coordonnées B de x) sont les coefficients c1, ... , cp tels que x = c1b1 + ... + cpbp,

  14. Coordonnées B de x (suite) et le vecteur dans Rp est appelé le vecteur de coordonnées de x relativement à la base B.

  15. Définition: dimension La dimension d’un sous-espace non-nul H, dénotée dim H, est le nombre de vecteurs dans une base quelconque de H. La dimension du sous-espace zéro, {0}, est définie comme étant égale à 0.

  16. Définition: rang d’une matrice Le rang d’une matrice A (Rang A) est la dimension de l’espace des colonnes de A.

  17. Rang d’une matrice Les dimensions des espaces des colonnes et des espaces des lignes d’une matrice Am´n sont égales. Cette dimension commune, le rang de la matrice A, est aussi égale au nombre de positions pivot de A et satisfait l’équation rang A + dim Nul A = n

  18. Théorème sur les bases Soit H un sous-espace de Rn de dimension p. Tout ensemble linéairement indépendant contenant exactement p éléments dans H est automatiquement une base pour H. Également, tout ensemble de p éléments de H qui engendre H est automatiquement une base pour H.

  19. Prochain cours... • Déterminants: • définition; • propriétés; • règle de Cramer; • calcul de l’inverse d’une matrice; • aire et volume; • transformations linéaires.

More Related