Limite

1. Limite Autores: Sílvia Maria Medeiros Caporale João Paulo Rezende Karine Angélica de Deus Colaboradores: José Antônio Araújo Andrade Marielle Aparecida Silva

2. A ideia intuitiva de limite O estudo de funções exige, em diversas situações, certos cuidados.

3. A função f: R -> R, definida por, f(x) = x², por exemplo, não tem restrições em seu domínio.

7. Observamos que quando o lado do quadrado tende a zero (l -> 0) , a área também tende a zero(A -> 0) sendo este o valor limite dessa aproximação. Podemos reescrever essa informação usando a notação de limite da seguinte forma: ou

8. ou Lê-se: Limite de A, quando x tende a zero é zero, ou Limite de l² , quando x tende a zero é zero.

9. Essa mesma análise pode ser feita com a função f(x) = x², basta fazer os valores de x se aproximarem de zero e observar o que acontece com a função. A função está definida tanto para valores negativos quanto para valores positivos

10. Por isso podemos fazer x se aproximar de zero, por qualquer um dos lados, ou seja, pela esquerda ou pela direita. x se aproxima de zero pela esquerda x se aproxima de zero pela direita ou seja, x assume valores cada vez mais próximos de zero, mas sempre maiores que zero. ou seja, x assume valores cada vez mais próximos de zero, mas sempre menores que zero

11. Façamos então, nossas aproximações para a função f(x) = x². x se aproxima de zero pela esquerda Quando x tende a zero pela esquerda f(x) tende a zero 4 - 2 - 1 1 - 0,5 0,25 - 0,25 0,0625 - 0,05 0,0025

12. Façamos então, nossas aproximações para a função f(x) = x². x se aproxima de zero pela direita Quando x tende a zero pela direita f(x) tende a zero 4 2 1 1 0,5 0,25 0,25 0,0625 0,05 0,0025

13. Observamos que quando x -> 0, y -> 0 , tanto pela direita como pela esquerda, o limite dessa aproximação é zero, assim como acontecia no caso do quadrado. Podemos reescrever essa informação usando a notação de limite da seguinte forma: ou

14. ou Lê-se: Limite de f(x), quando x tende a zero é zero, ou Limite de x² , quando x tende a zero é zero.

15. Definição de limite –um ponto de vista informal Dada uma função f, se tomarmos valores de x tão próximos de b quanto quisermos e f(x) se aproximar cada vez mais de um valor L, dizemos que: Observação: O fato de Não implica na função estar definida no ponto b. ou

16. Exemplo 1: Seja a função

17. Não existe um número L que é limite da função f(x), pois essa cresce sem cota quando x se aproxima de 0. Portanto, trata-se de um limite infinito.

18. Limites laterais

19. Anteriormente para a função f(x) = x^2, mostramos que: Quando x se aproxima de 0 pela direita, observamos que f(x) também se aproximava de 0. E quando x se aproxima de 0 pela esquerda, observamos que f(x) também se aproximava de 0. Podemos denotar essas situações da seguinte forma:

20. Definição: Limites laterais

21. Limite bilateral

22. Vimos anteriormente que para a função

23. Como Dizemos que é bilateral

24. Definição: Limite bilateral Então, é um limite bilateral

25. Existência de um limite Dizemos que o limite bilateral de uma função em um ponto b existe, se e somente se, os limites laterais existem e são iguais.

26. Vejamos um exemplo... Explique por que não existe Os limites laterais existem, mas são diferentes.

27. Cálculo de limitese técnicas de determinação

28. Como calcular o seguinte limite? Observe que bastava substituir o valor x=5 na função f(x)=x²-4x+3 Logo, lim p(x) = p(5)

30. Para qualquer polinômiotemos que

31. Determine o lim 5x = 4 O método utilizado no último exemplo não funciona para funções racionais em que o denominador é nulo.

32. Há dois casos a considerar: sendo

33. sendo O limite pode ser pela direita e pela esquerda ou vice-versa.

34. Vejamos alguns exemplos...

37. Há dois casos a considerar: sendo

38. Função racional

43. Limites infinitos

44. F(x) cresce sem cota quando x tende a b pela esquerda ou pela direita, logo

45. F(x) decresce sem cota quando x tende a b pela esquerda ou pela direita, logo

46. Vejamos alguns exemplos...