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第六章 中心力场

第六章 中心力场. §1 中心力场中粒子运动的一般规律. 例. ( 1 )引力场中的运动. 如 Kepler 运动:. 地球同步卫星. ( 2 )库仑场中的运动 ( 经典理解 ). 如 原子体系:. 电子的运动. 共同特点 :. 角动量守恒. 在中心力场中角动量概念非常重要。. 是中心力场, 梯度方向就是径向. 角动量的经典表示 :. 则. 所以,经典角动量是守恒量. 而. 又是守恒量,. 故粒子的运动必为平面运动,. 这从 与 和 的方向关系上能看出来。. 平面的法线方向即为. 的方向。. 考虑角动量的经典表达式,有.

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第六章 中心力场

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  1. 第六章 中心力场 §1 中心力场中粒子运动的一般规律 例 (1)引力场中的运动 如Kepler运动: 地球同步卫星

  2. (2)库仑场中的运动(经典理解) 如原子体系: 电子的运动 共同特点: 角动量守恒 在中心力场中角动量概念非常重要。

  3. 是中心力场, 梯度方向就是径向 角动量的经典表示: 则 所以,经典角动量是守恒量

  4. 又是守恒量, 故粒子的运动必为平面运动, 这从 与 和 的方向关系上能看出来。 平面的法线方向即为 的方向。 考虑角动量的经典表达式,有 下面我们看量子力学中的角动量问题。 1、角动量守恒与径向运动 若势场为V(r),粒子的质量为μ,则哈密顿量 可以写为

  5. 此时,角动量是否为守恒量? 由角动量分量与动量各分量对易式 容易证明 则有 由角动量只与角度θ、φ有关, 这样 所以,与经典力学中一样,角动量也是守恒量

  6. 因为所研究的问题具有球对称性,故 一般采用球坐标系。此时

  7. 故能量本征值方程可以写为 或 径向动能 离心势能(Centrifugal potential)

  8. 所以 构成守恒量的完全集合。 根据上述讨论,有

  9. 其中

  10. [注]: (1)不同的中心力场V(r)决定不同的波函 数R(r)及能量本征值E。 (2)由于中心力场的球对称,致使径向方 程中不含磁量子数 m,因此能量与m 无关 试比较圆周和球面的对称性 对称元素越多,对称性越强 改变这些元素不影响某物理量的描述 一般说来,中心力场中粒子的能量是 (2l+1)重简并。

  11. 代入上述径向方程,则有 [注]: (1)当l=0时,方程类似粒子一维运动方程 (2)方程中出现一项由轨道角动量引起的 附加势能——离心势能 动量愈大,则离心势能愈大,能级愈 高,离心势能是正定的。因此,中心 力场中粒子的基态必属于l=0的态。

  12. x=a点为正则奇点; 若在x=a处解析,则 2、径向波函数在r→0邻域的渐近行为 在研究具体问题以前,先简介奇点概念 对方程 如果 在x=a处不解析, 则x=a点为非正则奇点; 比如对方程 为正则奇点, 为非正则奇点。

  13. 现在设V(r)满足条件 其中 通常的中心力场都满足这种条件,如 谐振子势 库仑势 Yukawa势 等

  14. 在此条件下,Rl(r)满足的径向方程 再取极限,利用极限条件 先乘r2 最后除以r2 可写为 ( ?) 显然,r=0为正则奇点。 (此处不涉及另一奇点r→∞)

  15. 代入上述径向方程 得r最低次幂所满足的指标方程: s=l 和 s=-(l+1) 故当r→0时,有

  16. 此时 满足 根据波函数的统计解释,当r→0时,若 则s<3/2。很显然,当l≥1时,(l+1)不满足 s具备的条件,所以取 根据 这是个重要的条件,以后会经常用到。

  17. 3、两体问题化为单体问题 实际问题中出现的中心力场问题,常为 二体问题。 设二粒子的质量分别为m1和m2,相互作用势 为 二粒子体系的能量本征方程为

  18. 引入质心坐标 及相对坐标 可以证明 其中 M = m1+m2(总质量) (约化质量)

  19. 这样,能量本征值方程化为

  20. 代入上式,分离变量后,得 描述质心运动 描述相对运动 其中 E = Et- Ec 作变换的优点是:分成两部分,分别求解 化整为零

  21. 对方程 说明: (1)描述质心运动的是一个自由粒子的波动 方程,Ec是质心运动能量,这一部分与 我们研究的体系的内部结构无关,常常 不考虑。 (2)描述相对运动部分的方程与单体波动方程 完全一样,其中E是相对运动能量,只不过 把理解为约化质量。

  22. 这样

  23. 同理:

  24. 同理: 从而有:

  25. a V(r) r a 0 §2 球方势阱 质量为μ的粒子,在半径 为a的球方势阱中运动, 如右图。 其势函数为: 见右图

  26. 显然属于中心力场问题,只存在束缚态 (1)先考虑l=0状态(s态) 令 此时径向方程为 而 为边界条件 非常类似一维粒子在势场中的运动。

  27. 考虑上述方程解的情况 在阱外,显然 在阱内 其中 其解可以表示为 sinkr的形式。 由边界条件 sinka=0 得 ka=(nr+1)π nr=0,1,2,... 将由此得出的k的形式代入前式,得

  28. 能量本征值 nr=0,1,2,... 相应的归一化波函数为 且

  29. (2)现在考虑l≠0的状态 此时径向方程为 边界条件为 引进无量纲变量 无量纲? 利用 及

  30. 则方程可化为 此即球Bessel方程。 其解为球Bessel函数jl(ρ)和球Niumann函数nl(ρ) 的线性组合。 球Bessel函数 球Niumann函数

  31. 为求解方便,想法将上述方程变为Bessel 方程。 为此令 代入上述球Bessel方程,得 它是l+1/2阶Bessel方程。两个线性独立的解为

  32. 这样可定义球Bessel函数和球Neumann函数 它们在ρ→0时的渐近行为是 此时由 得

  33. 对方程 其中 !!表示双阶乘,比如 5!!=5×3×1 如果把ρ=0点包括在内,nl(ρ)解必须抛弃。 因而球方势阱内有界解取 k由边界条件Rl(ka)=0或jl(ka)=0确定。

  34. 因为j与ka是三角函数关系,所以当a取有限 值时,k只能取一些分立的值。 令jl(x)=0的根依次记为 则由能量本征值 及 可得

  35. 当a有限时,与 相应的径向本征函数为 其中 且

  36. 当a→∞时,根据(见附录) 则jl(ka)=0自动满足。 因为a无任何限制 由 k无任何限制 由 E无任何限制,可连续变化

  37. 由前面的知识可知,连续变化的本征态是 不能归一化的。为了实现归一化,常取如 下径向波函数 这样 使其“归一化”为δ函数。 作为中心力场的例子,前面我们研究了球方 势阱。下面看另一个例子。

  38. §3 氢原子 氢原子是最简单的原子,Schrödinger方程可 以严格求解,从而成为研究复杂原子性质的基 础,曾为量子力学发展提供了重要线索。 1、径向波函数及其满足的方程 选择无穷远处为零势点,其库仑吸引势可表 为

  39. 满足下列方程 令 径向波函数满足方程 利用复合函数求导方法可知 边界条件为

  40. 分别为电子和质子的质量。 其中 在以下计算中采用原子单位: 计算结果出来后再添上各物理量的相关单位。 此时方程化为 显然此方程有两个奇点:

  41. 根据前面所介绍的正则奇点和非正则奇点 的知识,显然方程 中, 为正则奇点, 为非正则奇点。 上述方程可化为合流超几何方程求解。

  42. 2、径向方程的求解 根据方程 (1)当r→0时 由前面给出的条件 (一般中心力场都满足这个条件) 令 代入上述方程,得指标方程

  43. s=l 由此解出 s=-l-1 从而有 由此给出 但对后一解,有界条件要求 l<3/2 但l的取值范围 决定了这一解不符合要求,故去掉,所以 即 ﹟

  44. 方程化为 (2)当r→∞时 故 且 (以后要用到) 但 不满足∞边界条件,故

  45. 因此方程 的解可以表为 u(r)是何种形式? 问题: 将上述形式的解代入上面的方程,得 令ξ=2βr,有

  46. 标准型为 其中参数为 此方程在 邻域有界的解为 合流超几何函数 其中

  47. 中断为一个多项式。 容易证明: 不满足束缚态边界条件,因此必须要求 这只有在α=0或负整数时可得到。 单纯α=0是没有意思的。故取 现在令 且 则

  48. 及 得 添上能量自然单位 得氢原子能量本征值为 其中 是第一Bohr半径, 它是长度的原子单位,n为主量子数。

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