TBF 121 - Genel Matematik I DERS – 6 : Türev Hesabı ve Bazı Uygulamalar Marjinal Analiz

1. TBF 121 - Genel Matematik IDERS – 6 : Türev Hesabı ve Bazı Uygulamalar Marjinal Analiz Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş Başkent Üniversitesi

2. Türev. y (a+h , f(a+h)) (a , f(a)) x y = f(x) denklemi ile verilen f fonksiyonu ve bir a sayısı düşünelim. f ninayı içine alan bir aralıkta tanımlı olduğunu kabul edelim ve bu aralıkta bir a+hsayısı alarak aşağıdaki oranı oluşturalım. f ninx = a civarındakideğişim oranı Bu oranı grafikle yorumlamaya çalışalım. Eğim: f(a+h) f(a) a a+h Yukarıdaki oran, f (x) in x = adan x = a+h ye kadar ortalama değişim oranı (average rate of change) dır. Bu oran, aynı zamanda, (a , f(a)) ve (a+h , f(a+h)) noktalarını birleştiren doğrunun eğimidir.

3. y (a+h , f(a+h)) (a , f(a)) f(a+h) x f(a) a a+h Aynı şekil üzerinde gözlemlerimizi sürdürelim. Eğim: h sıfıra yaklaşırken, yeşil doğru değişerek teğet durumuna gelir. ile tanımlanan f '(a) değerine(limit varsa) f fonksiyonunun x = a dakitürevi (derivative of f at x = a) denir. f '(a) değeri f fonksiyonunun x = adakianlık değişimoranını (instantaneous rate of change) verir.

4. Daha önceki şeklimize tekrar bakalım. y (a+h , f(a+h)) (a , f(a)) f(a+h) x f(a) a a+h Eğim: teğet durumuna gelir. yeşil doğru değişerek h sıfıra yaklaşırken, Başka bir deyimle, f '(a) değeri y = f (x) in grafiğinin (a,f (a))noktasındaki teğetinin eğimidir. Böylece, y = f (x) in grafiğinin (a,f (a))noktasındaki teğetinin denklemi y = f '(a) (x - a) + f (a) olur.

5. Örnek.f (x) = x2 + 2 , f '(1) = ? Böylece, y = x2+ 2ningrafiğinin (1,f (1)) = (1,3)noktasındaki teğetinin denklemi y = 2 (x - 1) + 3 y = 2 x+ 1 olur. Her hangi bir f fonksiyonu için ile tanımlanan f 'fonksiyonuna ffonksiyonununtürevi denir. Örneğimizde

6. Örnek., f '(1) = ? , f ´(-2) = ? Örnek.f (x) = |x + 2| , f '(1) = ? , f ´(-2) = ? YOK!..

7. Örnek., f ´(1) = ? , f '(x) = ? Örnek.f (x) = c , f '(x) = ?

8. Örnek.f (x) = x3 , f '(x) = ? Bir f fonksiyonu için fninx teki türevi varsa f fonksiyonu xtetürevlenebilir (differentiable) denir. f fonksiyonunun türevini hesaplama işlemine türev alma (differentiation) denir. f fonksiyonunun türevini hesaplama eylemine türev almak (todifferentiate) denir.

9. Türev kavramının somut bir uygulaması: Örnek. Çocuk bisikleti üreten bir şirketin x adet bisiklet üretmek için toplam gideri olarak veriliyor. Para birimi TL dir. a)Üretilen bisiklet sayısı 400 den 500 e yükseldiğinde giderdeki değişim nedir? b)Üretilen bisiklet sayısının bu değişimi için giderdeki ortalama değişim oranı nedir? c) 500 bisiklet üretildiği anda giderdeki anlık değişim oranı nedir? Bu soruları sırasıyla şöyle yanıtlayabiliriz: a) TL dir. TL dir. b) c) TL dir.

10. Türev Hesabı. Herhangi bir f fonksiyonunun x teki türevinin olduğunu anımsayalım. y = f ( x) denklemi ile tanımlanmış birf fonksiyonu içinf ´( x)yerine aşağıdakigöste-rimler de kullanılır: f '(x) = ? f(x) = c , c sabit. Sabit Fonksiyonun Türevi. Diğer gösterimle, Böylece, türev hesabında kolaylık sağlayacak bir kural elde etmiş olduk. İzleyen sılaytlarda, tanım kullanılarak elde edilebilecek benzer kuralları listeleyeceğiz:

11. Kuvvet Fonksiyonunun Türevi. f(x) = xn , n  R f '(x) =n xn-1 Diğer gösterimle yazılırsa şu formül elde edilir: f(x) = x5 Örnek.  f '(x) = 5x4 ; Örnek. Örnek. Örnek. Bir Sabit ile bir Fonksiyonun Çarpımının Türevi. y = k . f(x) y´ = k . f '(x) Diğer gösterimle yazılırsa şu formül elde edilir: Örnek. , f(x) = 3x-2 f '(x) f(x) = 3x5 f '(x) = 3.5x4 = 15x4 = 3.(-2 )x-3= -6x-3. Örnek.

12. y = u(x)  v(x) y´ = u´(x)  v´(x) Toplam ve Farkın Türevi. Diğer gösterimle yazılırsa şu formüller elde edilir: Örnek. f(x) = x5 + x-2  f '(x) = 5x4 + (-2 )x-3. Örnek. f(x) = x5 - x-2  f '(x)= 5x4- (-2 )x-3 = 5x4+2x-3 Toplam ve farkın türevi ile ilgili kuralların ikiden çok fonksiyonun toplam ve farkı için de geçerli olduğunu görmek kolaydır. Örnek. Diğer gösterimle

13. Elde edilen kuralları özetleyelim: (n < 0ise x  0.) Buraya kadar elde edilen kurallardan polinom fonksiyo- nunun türevini hesaplayabiliriz:

14. Türev ve Hız.y - ekseni üzerinde hareket eden bir nesneninx anındaki yeri y = f(x) denklemi ile verilmişse, bu nesneninx = a anından x = a +h anına kadar ortalama hızı ve x = a anındakianlık hızı dır. Örnek.y - ekseni üzerinde hareket eden bir nesneninx anındaki yeri y = f(x) = x3- 6x2 + 9 olarak veriliyor. Aşağıdakileri bulunuz a) a)x = 2denx = 5ekadar geçen sürede ortalama hız b)f '(x) = 3x2 - 12x b) anlık hız fonksiyonu c) f '(2) = -12ve f ´ (5) = 15 c)x = 2ve x = 5’te (anlık) hız  x = 0veya 4 d) f '(x) = 0 d) hızın sıfır olduğu zamanlar.

15. Çarpımın Türevi.u vevfonksiyonlar olmak üzerey = f(x) = u(x)· v(x) denklemi ile tanımlanan fonksiyonun türevi formülü ile bulunur. Bu formülün değişik yazılışları: Örnek. Örnek.

16. Örnek. Örnek. Örnek.

17. denklemi ile Bölümün Türevi.u ve vfonksiyonlar olmak üzere tanımlanan fonksiyonun türevi formülü ile bulunur. Bu formülün değişik yazılışları şöyledir: Örnek.

18. Örnek. Örnek. Parçalı Tanımlı Fonksiyonların Türevleri. Örnek. , Parçaların birleşim yerine karşılık gelen x = -1 ve x =1 içinf '(-1) vef '(1) tanım kullanıla-rak hesaplanır.

19. f(a+h) y f(a) a a+h (a+h , f(a+h)) (a , f(a)) x (a+h,f ´(a) h +f(a)) Yaklaşık Değerler.f fonksiyonunun(a , f(a))noktasındaki teğetinin eğimininf ´(a)ve teğetin denkleminin dey = f ´(a)(x – a) + f(a)olduğunu biliyoruz. a ya yakın bira+hdeğeri içinf (a+h)değerini düşünelim.(Şekil-den izleyiniz).Teğet üzerinde apsi-sia+holan noktanın ordinatı olanf ´(a) h +f(a)değerif(a+h)için yaklaşık değer olarak alınabilir. f (a+h) f ´(a) h +f(a) Örnek. Yukarıdaki fikir kullanılarak için bir yaklaşık değer bulunabilir. alınırsa, olur ve formülden elde edilir.

20. sayısına bir yaklaşık değer bulalım. Örnek. alınırsa, olur ve formülden elde edilir.

21. Marjinal Değerler. Şimdiekonomide karşılaştığımız fonksiyonları ele alalım. Örneğin gider fonksiyonu M(x). M(x): x ürün için toplam gider M(x+1) – M(x):x+1’inciürün için yapılan gider Yukarıdaki yaklaşık değer formülünüM(x)için yazalım: M(a+h) M'(a) h +M(a) Bu formüldea = x , h = 1 alınırsa M(x+1) M'(x) +M(x) ya da M(x+1) -M(x) M'(x) elde edilir. Buradan görüyoruz ki,x tane üründen sonrax+1’inci ürünü üretmek içinyapılan gider yaklaşık olarakM'(x) tir. Bu nedenleM'(x) e marjinal gider (marginalcost) fonksiyonu denir. Marjinal gelir fonksiyonu ve Marjinal kâr fonksiyonu benzer biçimde tanımlanır.

22. Örnek. Çelik kapı üreten bir firmanın aylık toplam giderix kapı için TL olarak veriliyor. • a) Marjinal gider fonksiyonunu bulunuz. • b)Ayda 30 kapı üretilirse toplam gider nedir? • c)31 inci kapının üretilmesi için yapılması gereken gideri yaklaşık olarak belirle-yiniz ve gerçek değeri ile karşılaştırınız. Çözüm. TL TL TL TL TL

23. 51’inci makinenin üretilmesi için yapılacak giderin yaklaşık değeri Örnek. Bir firma küçük çiftçiler için çapa makinesi üretiyor.x adet çapa üretmek için toplam gideri TL olarak veriliyor. • a) Marjinal gider fonksiyonunu bulunuz. • b)M'(50) değerini bulunuz ve yorumlayınız. • c)51’inci makinenin üretilmesi için yapılacak gerçek gideri bulunuz ve marjinal gider ile karşılaştırınız. Çözüm. TL TL TL TL TL 50 ürün için marjinal gider olan 775 TL ile51’inci ürün için gerçek gider olan774.75 TL arasında 0.25 TL fark vardır.

24. Marjinal Analiz. Belli bir zaman aralığında üretilen ürün sayısıx ise Toplam Gider : M(x) , Marjinal Gider : M' (x) Toplam Gelir : G(x) , Marjinal Gelir : G´(x) Toplam Kâr : K(x) , Marjinal Kâr : K´(x) x ürün üretilince toplam gider: M(x) x+1ürün üretilince toplam gider :M(x+1) x+1’inci ürünü üretmek için gerçek gider: M(x+1)-M(x) x+1’inci ürünü üretmek için yaklaşık gider: M'(x) M'(x)M(x+1)-M(x) Benzer şekilde G´(x)G(x+1)-G(x) K´(x)K(x+1)-K(x)

25. Örnek. Özel olarak tasarlanmış bir MP-3 çalarp TL den satılması durumundax adet talep görüyor vex ileparasında aşağıdaki bağıntı tespit ediliyor: a)Fiyatı gösterenp yi talep, yanixin fonksiyonu olarak ifade ediniz ve bu fonksiyo-nun tanım kümesini belirleyiniz. b)Gelir fonksiyonunu ifade ediniz ve bu fonksiyonun tanım kümesini belirleyiniz. c)100 cihaz satılması durumunda marjinal geliri belirleyiniz ve bu değeri yorumlayınız. ç)250 cihaz satılması durumunda marjinal geliri belirleyiniz ve bu değeri yorumlayınız. Dolayısıyla, Çözüm.a) fiyat fonksiyonu veonun tanım kümesi şöyledir: b) Toplam gelir satılan ürün sayısı ile satış fiyatının çarpımıdır. Dolayısıyla, gelir fonksi-yonu biçiminde elde edilir.

26. olur. Dolayısıyla, 100 cihaz satılması c) Marjinal gelir fonksiyonu TL olur. O halde, 101’inci durumunda marjinal gelir cihazdan sağlanacak gelir yaklaşık olarak 205 TL olur. TL ç)250 cihaz satılması durumunda marjinal gelir olur. O halde,251’inci cihazdan sağlanacak gelir yaklaşık olarak 200 TLdir.

27. Örnek.xadet radyolu alarm saatinin satışından elde edilen kâr TL olarak veriliyor. a)1501’inci saatin satışından elde edilecek gerçek kârı bulunuz. b)Marjinal kârı kullanarak1501’inci saatin satışından sağlanacak kârı yaklaşık olarak belirleyiniz. c)2001’inci saatin satışından elde edilecek gerçek kârı bulunuz. ç) Marjinal kârı kullanarak 2001’inci saatin satışından sağlanacak kârı yaklaşık olarak belirleyiniz Çözüm. a)1501’inci saatin satışından elde edilecek gerçek kâr TL olur.

28. b) Marjinal kâr fonksiyonu ve1501’ inci saatin satışından sağlanacak kârın yaklaşık değeri TL olur. c)2001’inci saatin satışından elde edilecek gerçek kâr TL olur. Demek ki, 2001’inci saatin satışından zarar ediliyor, ancak bu zarar çok kü-çüktür. ç)2001’inci saatin satışından elde edilecek gerçek kârın yaklaşık değeri TL olur.

29. Örnek. Bilgisayar masası üreten bir firmanın bir ayda tanesipTL denxtane masa satı-labileceğini varsayarak üretim yapması durumunda toplam gideriM(x)=12500+400x TL olarakveriliyorfiyat talep fonksiyonu da şöyle belirleniyor: a)Fiyatı gösterenpyi talep, yanixin fonksiyonu olarak ifade ediniz ve bu fonksiyonun tanım kümesini belirleyiniz. b)x tane masa satılması durumunda elde edilecek gelirG(x)i hesaplayınız. Gelir fonk-siyonuGnin tanım kümesi nedir? c)x tane masa satılması durumunda elde edilecek kâr K(x)i hesaplayınız. Kârfonksi-yonuKnın tanım kümesi nedir? ç) Marjinal gider, marjinal gelir ve marjinal kâr fonksiyonlarını bulunuz. d)M′(200), G ′(200), K ′(200) değerlerini bulunuz ve yorumlayınız. Çözüm. a) Dolayısıyla, fiyat fonk- siyonu ve onun tanım kümesi şöyledir: pnin tanım kümesi (0,750) aralığıdır. Burada problemin doğası gereğix vepancak tamsayı değerler alabilir. b) Toplam gelir satılan ürün miktarı ile satış fiyatının çarpımıdır. Dolayısıyla, gelir fonk-siyonu dir.

30. c)xtane masa satılması durumunda elde edilecek kâr dir.Knın da tanım kümesi (0,750) dir. ç)Marjinal gider, marjinal gelir ve marjinal kâr fonksiyonları denklemleri ile verilir. d)M′(200)=400, 201’inci masa için yapılacak yaklaşık gideri gösterir. Burada, gider fonk-siyonununifadesinden, her bir masa için sabit gider dışında 400 TL gider olduğugörül-mektedir. Dolayısıyla, 200 masa üretildikten sonra, 201’nci masa için yapılacak gerçek gider, 400 TLdir ve bu, ilk cümlede ifade edilen yaklaşık değer ile çakışmaktadır. G′(200)=1500-800=700, 201’inci masadan sağlanacak yaklaşık geliri gösterir. K′(200)=1100-800=300, 201’ inci masa dan elde edilecek yaklaşık kârı gösterir.

31. Uygulama(Üretim Stratejisi). Fiyat - Talep Denklemi ile ve gider fonk- ile verildiğine göre siyonu • a)p= p(x)in tanım kümesini bulunuz. • b) Marjinal gider fonksiyonunu bulunuz. • c) Gelir ve marjinal gelir fonksiyonlarını belirleyiniz, gelir fonksiyonunun grafiğini çiziniz. • ç) Kâr ve marjinal kâr fonksiyonlarını belirleyiniz, kâr fonksiyonunun grafiğini çiziniz. • d) Maksimum gelir, maksimum kâr hangi üretim seviyelerinde ortaya çıkar? • e)401’inci üründen sağlanacak kârın yaklaşık değerini bulunuz . Çözüm.c) • Grafikleri diğer sayfada veriyoruz. • ç) • e) • d) Diğer sayfada veriyoruz.

32. y 1600 y (300,400) y = G(x) 100 500 300 x (0,-500) (0,0) (0,0) x 400 (800,-2900) 800 Maksimum kâr, 300 ürün üretilince, 400 birim para olarak gerçekleşir. Maksimum gelir, 400 ürün üretilince, 1600 birim para olarak gerçekleşir.

33. 10ayda satılan oyun sayısı 125000 adettir 11’inci ayboyunca satılan oyun sayısı yaklaşık 9375 adettir Örnek(Satış Analizi). Yeni üretilen bir bilgisayar oyunut ayda bin adet satıyor. • a)S´(t)yi bulunuz. • b)S(10)ve S´(10)değerlerini bulunuz ve yorumlayınız. • c)S´(10)u kullanarak11’inci ayın sonunda yapılacak satışı tahmin ediniz. • ç)S nin grafiğini çiziniz ve yorumlayınız. Çözüm. • a) • b) c)11’inci ayın sonunda, yaklaşık bin(yani134375)adet oyun satılır. Gerçek değerS(11) = 136.585

34. y 500 (0,0) t • S fonksiyonunun tanım kümesi (0, ) aralığıdır. • dır. • olduğundan, y=500 doğrusu yatay asimptottur. Grafikten görüldüğü üzere, satılan oyun sayısı her geçen ay artar. Ancak belli bir süre sonunda bu artış yavaşlar. Satılan oyun sayısı 500000 den az kalır. y=S(t)