14 多重積分

1. 14 多重積分 Multiple Integration

2. 14.1 逐次積分和平面上的面積 14.2 重積分和體積 14.3 積分變數變換：極坐標 14.4 質心和慣性矩 14.5 曲面面積

3. P.621 Ch14 多重積分 14.2 二重積分和體積(Double integrals and volume) 一個在 xy-平面中區域 R上的非負連續函數 f (x, y)。 欲求出介於 xy-平面和 z = f (x, y) 曲面之間立體區域的體 積，如圖14.8。先在區域 R上畫好長方形的小格子，如 圖14.9，其中完全落在 R 內的長方形構成 R 的一個內部 分割Δ，Δ的範數 ||Δ|| 就定義為所有Δ中各長方形對 角線長的最大值。然後，在第 i 個長方形中任選一點 (xi, yi)，向上架一個以 f (xi, yi) 為高的長方柱體，如圖 14.10。由於第 i 個長方形的面積是ΔAi，因此第 i 個長 方柱體的體積是 f (xi, yi)ΔAi。這些柱體體積的和稱為一 個黎曼和，可作為立體區域體積的近似值，如圖14.11 所示。

4. P.621 Ch14 多重積分 圖14.8

5. P.621 Ch14 多重積分 圖14.9在R內的長方形形成R的一個內部分割。

6. P.621 Ch14 多重積分 圖14.10長方柱體的底面積是ΔAi，高是f (xi, yi)。

7. P.621 Ch14 多重積分 圖14.11以長方柱體的體積和近似立體區域的面積。

8. P.622 Ch14 多重積分 例 1近似立體的體積 請用邊長為 ¼的正方形分割求在拋物面 之下，正方形區域 R(0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤1) 之上立體體積 的近似值。 解　先將 R 分割為邊長 ¼ 的小正方形。為方便起見， 我們選擇小正方形的中心來計算相關的 f (x, y)。

9. P.622 Ch14 多重積分 圖14.14

10. P.622 Ch14 多重積分 例 1（續） 由於每一個正方形的面積都是，作為近似值的黎曼和是 圖14.14 顯示此一近似立體區域的長方柱。體積的準確 值是 2/3（見例 2）。如果選取更細的分割，近似的程 度會更佳。例如，若取邊長為 1/10 的正方形分割，近 似值是0.668。

11. P.621 Ch14 多重積分 圖14.11以長方柱體的體積和近似立體區域的面積。

12. P.622 Ch14 多重積分 圖14.13

13. P.623 Ch14 多重積分 二重積分的定義 f 是定義在 xy-平面中一個有界閉區域 R 上的函數， 如果極限 存在，我們就稱 f 在 R 上可積（分），而以 表此極限值，稱為 f在 R上的二重積分。

14. 如果 f (x, y) ≥ 0，並且在平面區域 R 上可積，則定義 在 R 之上，在 f 的圖形之下的立體區域體積為 P.623 Ch14 多重積分 立體區域的體積

15. P.623 Ch14 多重積分 定理14.1二重積分的性質

16. P.623 Ch14 多重積分 圖14.14如果兩個區域的交集面積為 0，就稱它們互不重疊。在此圖中，R1和 R2的交集是一條線段，線段的面積為 0。

17. 如圖14.15 所示，有一個以平面z =f (x, y)= 2 –x – 2y 和三個坐標平面為界的立體區域。此立體的每一個與yz 平面平行的鉛直截痕都是一個三角形，它的底是 y = (2 –x)/2，高是z = 2 –x。這表示對一個固定的x， 上述三角形截痕的面積是 由7.2 節，已知截痕面積的立體區域體積公式是： P.624 Ch14 多重積分 計算二重積分

18. P.624 Ch14 多重積分 不管 A(x) 如何求得，均可依照上述過程進行。當然也 可用積分求 A(x)，如圖14.16 所示。也就是說把 x 看成 常數，將 z = 2 – x – 2y 從 y = 0 積到 y = (2 – x)/2 得到 若將上述過程寫成一個式子，就得到下面這個逐次積分 若要深入瞭解將二重積分改寫為逐次積分的步驟，最好 把上述的積分想像成「展線以為面，積面以為體」的兩 階段動作。對內層的積分來說，是由鉛垂線掃出一個截 痕的面積；對外層的積分來說，三角形截痕又掃出整個 的體積，如圖14.17 所示。

19. P.624 Ch14 多重積分 圖14.15

20. P.624 Ch14 多重積分 圖14.16三角形截痕。

21. P.624 Ch14 多重積分 圖14.17

22. P.625 Ch14 多重積分 定理14.2Fubini 定理(Fubini’s theorem)

23. P.625 Ch14 多重積分 例 2以逐次積分計算二重積分 計算 式中 R 是由不等式 0 ≤x ≤1, 0 ≤ y ≤ 1 定出的區域。 解　由於 R 是一單純的正方形，既是鉛直也是水平單 純形，因此可任取一順序求逐次積分。若選擇 dy dx， 並在 R 上架一個鉛直的樣本長方形，如圖14.18 所示。 進行逐次積分得到

24. P.625 Ch14 多重積分 例 2（續）

25. P.625 Ch14 多重積分 圖14.18立體區域的體積是2/3。

26. P.626 Ch14 多重積分 例 3以二重積分求體積 求以拋物面 z = 4 – x2 – 2y2和 xy-平面為界的立體區域 體積。 解　令 z = 0，可以看出立體區域立基於 xy-平面上的橢 圓 x2 + 2y2 = 4，如圖14.19(a) 所示。此一平面區域既是 鉛直又是水平單純形，我們選 dy dx 來進行。

27. P.626 Ch14 多重積分 例 3（續） 計算體積如下：

28. P.626 Ch14 多重積分 圖14.19

29. P.627 Ch14 多重積分 例 4比較積分的順序 如圖14.20，求以曲面 f (x, y) = e–x2 平面 y = 0，平面 y =x 和平面 x = 1 為界的立體區域體 積。 解　立體區域 R 在 xy-平面上的基礎是以直線 y = 0， x = 1 和 y =x 為界的三角形，圖14.21 顯示兩個可能的 積分順序。

30. P.627 Ch14 多重積分 圖14.20以 y = 0，y = x和 x = 1 為界的基礎。

31. P.627 Ch14 多重積分 圖14.21

32. P.627 Ch14 多重積分 例 5以兩曲面為界的立體區域體積 如圖14.22 立體區域 R 的上緣是拋物面 z = 1 – x2 – y2， 下緣是平面 z = 1 – y，請求 R 的體積。 解　先求 z 的公解，以決定兩曲面相交的曲線落在正圓 柱面上，其方程式為 1 – y = 1 – x2 – y2x2 = y – y2 由於 R 的體積是拋物面之下覆蓋的體積和平面之下覆 蓋的體積之差，其相關的積分式如下：

33. P.628 Ch14 多重積分 例 5（續）

34. P.628 Ch14 多重積分 圖14.22立體區域的體積是π/32。