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Aula 02

Aula 02. Norma e produto interno. Norma. Já vimos que o comprimento de um vetor V é definido como sendo o comprimento de qualquer um dos segmentos orientados que o representam. Tal comprimento também é chamado de norma V e é denotado por. Norma. Exemplo 1.

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Presentation Transcript

  1. Aula 02 Norma e produto interno

  2. Norma Já vimos que o comprimento de um vetor V é definido como sendo o comprimento de qualquer um dos segmentos orientados que o representam. Tal comprimento também é chamado de norma V e é denotado por .

  3. Norma

  4. Exemplo 1 Determine a norma do vetor V = (1,−2, 3). Solução: Obs.: Um vetor de norma igual a 1 é chamado vetor unitário.

  5. Distância entre dois pontos A distância entre dois pontos é igual à norma do vetor . Como , então a distância de P a Q é dada por Se

  6. Exemplo 2 Determine a distância entre os pontos P = (2,−3, 1) e Q = (−1, 4, 5). Solução:

  7. Observação Se e é um escalar, então da definição da multiplicação de vetor por escalar e da norma de um vetor temos:

  8. Observação Dado um vetor V não nulo, o vetor é um vetor unitário na direção de V , pois

  9. Exemplo Determine um vetor unitário na direção do vetor V = (1,−2, 3) . Solução:

  10. Ângulo entre vetores O ângulo entre dois vetores não nulos, V e W, é definido pelo ângulo determinado por V e W que satisfaz 0 ≤  ≤ 

  11. Vetores ortogonais Quando o ângulo entre dois vetores V e W é reto ( = /2), ou um deles é o vetor nulo, dizemos que os vetores V e W são ortogonais ou perpendiculares entre si.

  12. Produto Escalar ou Interno O produto escalar ou interno de dois vetores V e W é definido por em que  é o ângulo entre eles.

  13. Observação Quando os vetores são dados em termos das suas componentes não sabemos diretamente o ângulo entre eles. Por isso, precisamos de uma forma de calcular o produto escalar que não necessite do ângulo entre os vetores.

  14. Lei dos cossenos

  15. Cálculo do Produto interno em (1) os termos e são cancelados e obtemos

  16. Resultado O produto escalar ou interno, V⋅W, entre dois vetores é um número dado por se e e por se e .

  17. Exemplo Sejam V = (0, 1, 0) e W = (2, 2, 3). Determine o produto escalar de V por W. Solução:

  18. Ângulo entre vetores

  19. Exemplo Determinar o ângulo entre uma diagonal de um cubo e uma de suas arestas. Solução:

  20. Propriedades

  21. Projeção Ortogonal

  22. Projeção Ortogonal

  23. Projeção Ortogonal

  24. Demonstração

  25. Exemplo , .

  26. Solução

  27. Obrigado !

  28. Obrigado! Aula disponível em www.mat.ufam.edu.br/Disney

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