Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones

1. Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones • Números críticos • Estrategia para localizar extremos • Teorema de Rolle • Teorema del Valor Medio • Regla de Bernouilli-Hôpital • Funciones crecientes y decrecientes • Criterio de crecimiento y decrecimiento • El criterio de la primera derivada • Aplicación del criterio de la 1ª derivada • Concavidad y convexidad • Criterio de concavidad • Aplicación del criterio de concavidad • Puntos de inflexión • El criterio de la 2ª derivada • Aplicación del criterio de la 2ª derivada • Problemas de aplicación de máximos y mínimos • Análisis de gráficas • Índice • La derivada y la recta tangente • Definición de derivada • Derivadas laterales • Derivabilidad y continuidad • Ritmos de cambio • Reglas básicas de derivación • Derivadas de orden superior • La regla de la cadena • Extremos de una función Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva 1

2. y (c+Dx , f(c+Dx)) Cambio en y f(c+Dx)-f(c) Cambio en x Pendiente de la recta secante Dx x Recta secante que pasa por (c, f(c)) y (c+Dx , f(c+Dx)) Si f está definida en un intervalo abierto que contiene a c y además existe el límite Definición entonces, la recta que pasa por (c,f(c)) con pendiente m se llama recta tangente a la gráfica de f en el punto (c,f(c)) La Derivada y el problema de la recta tangente (c ,f(c)) Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Recta secante Recta tangente Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 2

3. Notaciones de la derivada Derivada de y con respecto de x La derivada de f en x viene dada por Definición de derivada Definición supuesto que exista ese límite Una función es derivable en x si su derivada en x existe, y derivable en un intervalo abierto (a,b) si es derivable en todos y cada uno de los puntos de ese intervalo Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 3

4. Fórmula alternativa para la derivada (x,f(x)) (c, f(c)) deben existir x-c f(x)-f(c) c x Derivada por la izquierda Derivada por la derecha Derivadas laterales Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Una función es derivable en un intervalo cerrado [a,b] si es derivable en (a,b) y además existen la derivada por la derecha en a y la derivada por la izquierda en b Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 4

5. Derivable  continua Si f es derivable en x=c, entonces es continua en x=c Es posible que una función sea continua en x=c sin ser derivable Ejemplos Continua  Derivable 2 Continua en x=0 1 2 -3 -2 -1 Continua en x=2 pero no es derivable en x=2 1 2 3 -1 -2 No es continua en x=0  No es derivable en x=0 La recta tangente en x=0 es vertical. Por tanto, f no es derivable en x=2 Derivabilidad y continuidad Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 5

6. S(t) función de posición: Da la posición (respecto del origen) de un objeto como función del tiempo t Dt: lapso de tiempo Ds: cambio de posición Obtenemos la velocidad instantánea cuando t=1, aproximando por las velocidades medias sobre pequeños intervalos de tiempo [1 , 1+Dt] , tomando límite cuando Dt0 La función velocidad es la derivada de la función posición. La posición de un objeto en caída libre es: S0 altura inicial , v0 velocidad inicial, g-9,8 m/s2 aceleración gravedad La derivada sirve para calcular el ritmo de cambio de una variable con respecto a otra • Ritmos de crecimiento de poblaciones • Ritmos de producción • Flujo de un líquido • Velocidad y aceleración Ritmos de cambio Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 6

7. Reglas básicas de derivación • Regla de la constante • Regla de las potencias • Regla del múltiplo constante • Reglas de suma y diferencia • Derivadas de las funciones seno y coseno • Regla del producto • Regla del cociente • Derivadas de funciones trigonométricas Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 7

8. Podemos definir derivadas de cualquier orden entero positivo ............... Ejemplo Derivadas de orden superior a (t) es la segunda derivada de s (t) Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 8

9. Aplicaciones • Regla general para potencias • Derivación de funciones con radicales • Derivación de cocientes con numeradores constantes • Aplicación de la regla de la cadena a funciones trigonométricas • Aplicaciones reiteradas de la regla de la cadena Si y = f(u) es una función derivabe de u, y si además u=g(x) es una función derivable de x, entonces y=f(g(x)) es una función derivable, con La Regla de la cadena y sus aplicaciones Regla de la cadena Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 9

10. Máximo relativo (0,0) 1. Si existe un intervalo abierto que contiene a c y en el que f(c) es máximo, entonces f(c) se llama un máximo relativo de f. 2. Si existe un intervalo abierto que contiene a c y en el que f(c) es mínimo, entonces f(c) se llama un mínimo relativo de f. Mínimo relativo (2,-4) máximo (2,5) Sea f definida en un intervalo I que contiene a c 1. f(c) es el mínimo de f en I, si f(c)  f(x) para todo x en I. 2. f(c) es el máximo de f en I, si f(c)  f(x) para todo x en I. El máximo y mínimo de una funcion en un intervalo son los valores extremos Extremos de una función - - - - - - 5 3 1 - - - - - - - 1 2 3 -2 -1 f continua en [-1,2] Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 10

11. Sea f definida en c. Si f´(c)=0 o si f´ no está definida en c, se dice que c es un número crítico de f. Números críticos f´(c)=0 Tangente horizontal f´(c) no está definido Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva c c c es un número crítico de f LOS EXTREMOS RELATIVOS SOLO OCURREN EN LOS NÚMEROS CRÍTICOS: Si f tiene un máximo relativo o un mínimo relativo en x=c, c es un número crítico de f Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 11

12. Ejemplo Hallar los extremos de en el intervalo [-1,3] f´(0) no está definido  x=0 punto crítico f(a) punto críticopunto crítico f(b) f(-1)=-5 f(0)=0 f(1)=-1 f(3)-0,24 mínimo máximo f´(x)=0  x=1 punto crítico Estrategia para localizar extremos relativos en un intervalo cerrado Para hallar los extremos relativos de una función continua f en un intervalo cerrado [a,b] : 1. Hallar los números críticos de f en [a,b] 2. Evaluarf en cada número crítico de (a,b) 3. Evaluarf en a y en b 4. El más grande de esos valores es el máximo. El más pequeño es el mínimo. Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 12

13. Sea f continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b). Si f(a) = f(b) Existe al menos un número c en tal que f´(c)=0 Teorema de Rolle Máximo relativo Máximo relativo f es continua en [a,b] y derivable en (a,b) f es continua en [a,b] Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva a c b a c b El teorema de Rolle asegura que existe al menos un punto entre a y b en el que la gráfica de f tiene tangente horizontal Si se suprime la hipótesis de dervabilidad f tiene un número crítico en (a,b), pero quizá no tenga en el tangente horizontal Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 13

14. Sea f continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b), existe un número c en (a,b) tal que • Importante teorema del Cálculo; útil para demostrar otros teoremas • Geométricamente garantiza la existencia de una recta tangente paralela a la secante que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). • En términos de ritmo de cambio asegura que debe haber algún punto en (a,b) en el que el ritmo instantáneo de cambio es igual al ritmo medio de cambio en [a,b] Teorema del Valor Medio Pendiente de la recta tangente = f´(c) Recta tangente Recta secante (b, f(b)) Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva (a, f(a)) a c b Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 14

15. La regla de Hôpital también es válida cuando: Sean f y g continuas y derivables en un entorno reducido del punto c. Si g no se anula en ningún punto del entorno y las funciones f´y g´no se anulan simultáneamente en ningún punto, en caso de existir Regla de Bernouilli- Hôpital también existe y ambos coinciden: Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 15

16. Una función f es creciente en un intervalo si para cualquier par de número x1, x2 del intervalo x1  x2 f(x1)  f(x2) creciente decreciente Una función f es decreciente en un intervalo si para cualquier par de número x1, x2 del intervalo x1 x2 f(x1)  f(x2) constante f´(x) 0 f´(x) =0 f´(x)  0 La derivada está realacionada con la pendiente de la función Observación Funciones crecientes y decrecientes Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 16

17. Sea f continua en [a,b] y derivable en (a,b) [Con a,b, reales,  o - ] 1. f´(x)  0,  x (a,b)  f es creciente en [a,b] 2. f´(x)  0,  x (a,b)  f es decreciente en [a,b] 3. f´(x) = 0,  x (a,b)  f es constante en [a,b] Ejemplo Hallar los intervalos abiertos en los que f es creciente o decreciente Nótese que f es continua en toda la recta real. Para hallar sus números críticos, igualamos a cero su derivada Hacer f´=0 Factorizar Números críticos Intervalo Valor prueba Signo de f´(x) Conclusión - x  0 0x  1 1 x   x=1/2 x=-1 x=2 f´(-1)=60 f´(1/2)=-3/4  0 f´(2)=60 creciente decreciente creciente Criterio de crecimiento y decrecimiento Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 17

18. Sea c un número crítico de una función f definida en un intervalo abierto(a,b) que contiene a c. Si f es derivable en ese intervalo, excepto quizá en c, entonces f(c) puede clasificarse así: 1. Si f´(x) cambia en c de negativa a positiva, f(c) es un mínimo relativo de f 2. Si f´(x) cambia en c de positiva a negativa, f(c) es un máximo relativo de f (-) mínimo relativo (+) (+) (-) máximo relativo f´(x)  0 f´(x)  0 f´(x) 0 f´(x)  0 a c b a c b (+) (-) (-) (+) f´(x)  0 f´(x)  0 f´(x)  0 f´(x)  0 Ni máximo ni mínimo a c b a c b El criterio de la primera derivada Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 18

19. Derivando, simplificando y factorizando (-1,2) Mínimo relativo (1,2) Mínimo relativo x = 1 Números críticos, f´(x)=0 x = 0 0 no está en el dominio de f Intervalo Valor prueba Signo de f´(x) Conclusión -1x  0 - x -1 0x  1 1 x   x=1/2 x=-1/2 x=-2 x=2 f´(-2)  0 f´(1/2) 0 f´(2)0 f´(-1/2)  0 decreciente decreciente creciente creciente Ejemplo Hallar los extremos relativos de Aplicación del criterio de la primera derivada Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 19

20. Concavidad y Convexidad Sea fderivable en un intervalo abierto I. La gráfica de f es cóncava en I si f´es creciente en I y convexa en I si f´es decreciente en I. convexa f´ decreciente cóncava f´ creciente Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva La gráfica de f queda por debajo de su recta tangente La gráfica de f queda por encima de su recta tangente Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 20

21. Para aplicar este criterio: • Localizar los x en los que f´´(x)=0 • Localizar los x en los que f´´(x) no está definida • Ensayar el signo de f´´ en cada uno de los intervalos de prueba Sea funa función cuya segunda derivada existe en un intervalo abiertoI. Criterio de concavidad 1. Si f´´(x)  0 para todo x en I, la gráfica de f es cóncava en I 2. Si f´´(x)  0 para todo x en I, la gráfica de f es convexa en I Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 21

22. f es contínua en toda la recta real. Hallamos f´y f´´ f´´ 0 Cóncava f´´ 0 Cóncava f´´  0 Convexa x = 1 Intervalo Valor prueba Signo de f´´(x) Conclusión -1x  1 - x -1 1 x   x=0 x=-2 x=2 f´´(-2)  0 f´´(2)0 f´´(0)  0 cóncava cóncava convexa Ejemplo Hallar los intervalos abiertos para los que la gráfica es cóncava o convexa Aplicación del criterio de concavidad Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 22

23. Si (c,f(c)) es un punto de inflexión de la gráfica de f, entonces o bien f´´(c)=0 o f´´(x) no está definida en x = c Ejemplo Hallar los ptos. de inflexión y discutir la concavidad de Hallamos f´y f´´ Cóncava f está definida y es continua en todos los reales Cóncava Convexa x = 0, x = 2 Posibles ptos. de inflexión Intervalo Valor prueba Signo de f´´(x) Conclusión 0x  2 - x 0 2 x   x=1 x=-1 x=3 f´´(-1)  0 f´´(3) 0 f´´(1)  0 cóncava cóncava convexa Puntos de Inflexión Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 23

24. Sea f una función tal que f´(c)=0 y cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto que contiene a c. 1. f´´(c)  0, entonces f(c) es un mínimo relativo 2. f´´(c)  0, entonces f(c) es un máximo relativo Si f´´(c) = 0, este criterio no decide y ha de recurrirse al criterio de la primera derivada El criterio de la segunda derivada cóncava convexa Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva c c f´(c) = 0, f´´(c)  0 f´(c) = 0, f´´(c)  0  f(c) es mínimo  f(c) es máximo Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 24

25. (1,2) Máximo relativo Calculamos la derivada Los números críticos de f : x = -1, 1, 0 (-1,-2) Mínimo relativo Punto Signo de f´´ Conclusión Criterio de la 1ª derivada (-1,-2) f´´(-1) = 30  0 Mínimo relativo f´´(1) = -30  0 Máximo relativo ( 1, 2 ) El criterio no decide Como f crece a la izda y dcha de x=0, no es máximo ni mínimo ( 0, 0 ) f´´(0 ) = 0 Ejemplo Hallar los extremos relativos de Aplicación del criterio de la segunda derivada Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 25

26. Estrategia x número de cabezas de más a partir de 20 1. Asignar signos a todas las magnitudes B(x)=(20+x)(120-5x) Beneficio que deseamos maximizar 3. Reducir la ecuación primaria a una ecuación con solo una variable independiente. Esto puede exigir ecuaciones secundarias que relacionen las variables independientes de la ecuación primaria B´(x)= (120-5x)+(20+x)(-5)= -10x+20= 0  x=2 4. Determinar el dominio de la ecuación primaria. Esto es, hallar valores para los que la ecuación primaria tiene sentido 5. Determinar el máximo o mínimo mediante las técnicas de Cálculo estudiadas Un ganadero desea trasladar al matadero su producción de cerdos. El transportista cobra 1,20 € por cabeza si traslada en cada camión 20 cerdos exactamente, mientras que si traslada más de 20 le descuentan 5 céntimos por cada uno que pase de 20. Hallar el número de cerdos que el transportista propondrá trasladar al ganadero para obtener el máximo beneficio Problemas de aplicación de máximos y mínimos 2. Escribir una ecuación primaria para la magnitud que debe ser optimizada Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva B´´(x)= -10  0 , x=2máximo Se transportarán 22 cerdos Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 26

27. Análisis de Gráficas Conceptos estudiados útiles al analizar gráficas de funciones • Dominio y recorrido • Intersección con los ejes • Simetrías • Continuidad • Asíntotas • Derivabilidad • Extremos relativos • Concavidad y convexidad • Puntos de inflexión Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 27

28. Bibliografía Cálculo y Geometría Analítica Larson, Hostetler, Eduards. Volumen 1, 1999 (6ª edición), Ed. McGraw-Hill Ejercicios y problemas Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Problemas de Matemáticas para ingeniería técnica agrícola y veterinaria Alejandre, Allueva,González. Tomo 1, 2000 Ed. Copy Center Zaragoza (C/. Doctor Cerrada nº 2) Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 28