1 / 75

Matematika Diskret I

Matematika Diskret I. Diterjemahkan dari http://www.cise.ufl.edu/cot3100/lects/Module-1-Logic.ppt Oleh Michael P. Frank , diakses 3 Sept 2004 Slides for a Course Based on the Text Discrete Mathematics & Its Applications (5 th Edition) by Kenneth H. Rosen. Modul 1: Logika.

lanelle
Download Presentation

Matematika Diskret I

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Matematika Diskret I Diterjemahkan dari http://www.cise.ufl.edu/cot3100/lects/Module-1-Logic.ppt Oleh Michael P. Frank, diakses 3 Sept 2004 Slides for a Course Based on the TextDiscrete Mathematics & Its Applications (5th Edition)by Kenneth H. Rosen (c)2001-2003, Michael P. Frank

  2. Modul 1:Logika Rosen 5th ed., Sub Bab 1.1-1.4 (c)2001-2003, Michael P. Frank

  3. Modul #1: Logika(Sub bab 1.1-1.3, ~3 topik) Logika matematika adalah sebuah alat untuk bekerja dengan pernyataan (statement) majemuk yang rumit. Terimasuk di dalamnya: • Bahasa untuk merepresentasikan pernyataan • Notasi yang tepat untuk menuliskan sebuah pernyataan • Metodologi untuk bernalar secara objektif untuk menentukan nilai benar-salah dari pernyataan • Dasar-dasar untuk menyatakan pembuktian formal dalam semua cabang matematika (c)2001-2003, Michael P. Frank

  4. Logika: Sekilas Pandang • Logika Proposisi (§1.1-1.2): • Definisi (§1.1) • Aturan ekivalensi dan penurunan (§1.2) • Logika Predikat (§1.3-1.4) • Predikat. • Ekspresi predikat terkuantifikasi (Quantified predicate expressions) • Ekivalensi & penurunan (c)2001-2003, Michael P. Frank

  5. Topic #1 – logika proposisi Logika Proposisi (§1.1) Logika proposisi adalah logika pernyataan majemuk yang disusun dari pernyataan-pernyataan sederhana yang dihubungkan dengan penghubung Boolean (Booleanconnectives) Beberapa aplikasinya dalam ilmu komputer: • Merancang sirkuit elektronik digital • Menyatakan kondisi/syarat pada program • Query untuk basisdata dan program pencari (search engine) George Boole(1815-1864) Chrysippus of Soli(ca. 281 B.C. – 205 B.C.) (c)2001-2003, Michael P. Frank

  6. Topic #1 – logika proposisi Definisi Proposisi Sebuah proposisi (p, q, r, …) adalah suatu kalimat (sentence) yang memiliki nilai kebenaran (truth value)benar (true), dengan notasi T, atau nilai kebenaran salah (false) dengan notasi F tetapi tidak kedua-duanya (Namun demikian, kadang kita tidak tahu nilai kebenarannya karena kasusnya tergantung situasi, dalam kasus ini kita harus mengggunakan asumsi) (c)2001-2003, Michael P. Frank

  7. Topic #1 – logika proposisi Contoh-contoh proposisi • “Hari ini hujan.” (Situasinya diberitahukan) • “Beijing adalah ibu kota China.” • “1 + 2 = 3” Berikut ini yang BUKAN proposisi: • “Siapa itu?” (pertanyaan) • “La la la la la.” (kata-kata tak bermakna ) • “Lakukan saja!” (perintah) • “Ya, sepertinya begitu” (tidak jelas) • “1 + 2” (expresi tanpa nilai benar/salah) (c)2001-2003, Michael P. Frank

  8. Topic #1.0 – logika proposisi: Operators Operator / Penghubung Sebuah operator atau penghubung menggabungkan satu atau lebih ekspresi operand ke dalam ekspresi yang lebih besar. (seperti tanda “+” di ekspresi numerik.) Operator Uner bekerja pada satu operand (cth,−3); Operator biner bekerja pada 2 operand (cth 3  4). Operator Proposisi atau Boolean bekerja pada proposisi-proposisi atau nilai kebenaran, bukan pada suatu angka (c)2001-2003, Michael P. Frank

  9. Operator Boolean Umum (c)2001-2003, Michael P. Frank

  10. Topic #1.0 – logika proposisi: Operators Operator Negasi Operator negasi uner “¬” (NOT) mengubah suatu proposisi menjadi proposisi lain yang bertolak belakang nilai kebenarannya Contoh: Jika p = “Saya cantik” maka ¬p = “Saya tidak cantik.” Tabel kebenaran untuk NOT: T :≡ True; F :≡ False “:≡” artinya “didefinisikan sebagai” Kolom operan Kolom hasil (c)2001-2003, Michael P. Frank

  11. Topic #1.0 – logika proposisi: Operators Operator Konjungsi Operator konjungsi biner “” (AND) menggabungkan dua proposisi untuk membentuk logika konjungsinya Cth: Jika p=“Saya suka sayuran” and q=“Saya suka daging”, maka pq=“saya suka sayuran dan daging” ND Ingat: “” mirip seperti huruf “A”, dan artinya “ND” (c)2001-2003, Michael P. Frank

  12. Topic #1.0 – logika proposisi: Operators Tabel Kebernaran Konjungsi Kolom operan • Perhatikan bahwa konjungsip1p2  … pndari n proposisi akan memiliki 2n barispada tabelnya • Operasi ¬ dan  saja cukup untuk mengekspresikan semua tabel kebenaran Boolean! (c)2001-2003, Michael P. Frank

  13. Topic #1.0 – logika proposisi: Operators Operator Disjungsi Operator biner disjungsi “” (OR) menggabungkan dua proposisi untuk membentuk logika disjungsinya p=“Mesin mobil saya rusak” q=“Karburator mobil saya rusak” pq=“Mesin atau karburator mobil saya rusak.” Setelah kapak “”membelah kayu, Anda dapat mengambil hanya satu belahannya, atau belahan lainnya, ATAU keduanya Maknanya seperti “dan/atau” dalam bahasa Indonesia (c)2001-2003, Michael P. Frank

  14. Topic #1.0 – logika proposisi: Operators Tabel Kebenaran Disjungsi • Perhatikan bahwa pq berarti p benar, atau qbenar, atau keduanya benar! • Jadi, operasi ini juga disebut inclusive or, karena mencakupkemungkinan bahwa both p dan q keduanya benar. • “¬” dan “” keduanya membentuk opearator universal. Lihat bedanya dengan AND (c)2001-2003, Michael P. Frank

  15. Topic #1.0 – logika proposisi: Operators Proposisi bertingkat • Gunakan tanda kurung untuk mengelompokkan sub-ekspresi:“Saya baru saja bertemu teman lama, dan anaknya sudah dua atau tiga.” = f (g  s) • (f g)  s artinya akan berbeda • f g  s artinya akan ambigu • Menurut perjanjian, “¬” presedensinya lebih tinggi dari “” dan “”. • ¬s  f artinya (¬s) f , bukan ¬ (s  f) (c)2001-2003, Michael P. Frank

  16. Topic #1.0 – logika proposisi: Operators Latihan Misalkan p=“Tadi malam hujan”, q=“Tukang siram tanaman datang tadi malam,” r=“Pagi ini kebunnya basah.” Terjemahkan proposisi berikut dalam bahasa Indonesia: ¬p = r ¬p = ¬ r  p  q = “Tadi malam tidak hujan.” “Pagi ini kebunnya basah dan tadi malam tidak hujan.” “Pagi ini kebun tidak basah, atau tadi malam hujan, atau tukang siram tanaman datang tadi malam.” (c)2001-2003, Michael P. Frank

  17. Topic #1.0 – logika proposisi: Operators Operator Exclusive Or Operator biner exclusive-or “” (XOR) menggabungkan dua proposisi untuk membentuk logika “exclusive or”-nya p = “Saya akan mendapat nilai A di kuliah ini,” q =“Saya akan drop kuliah ini,” p q = “Saya akan mendapat nilai A atau saya akan drop kuliah ini (tapi tidak dua-duanya!)” (c)2001-2003, Michael P. Frank

  18. Topic #1.0 – logika proposisi: Operators Tabel Kebenaran Exclusive-Or • Perhatikan bahwa pq berarti p benar, atau q benar tapi tidak dua- duanya benar! • Disebut exclusive or,karena tidak memungkinkan p dan q keduanya benar • “¬” dan “” tidak membentuk operator universal Lihat Bedanya Dengan OR. (c)2001-2003, Michael P. Frank

  19. Topic #1.0 – logika proposisi: Operators Bahasa Alami sering Ambigu Perhatikan bahwa kata “atau” dapat bermakna ambigu berkenaan dengan kasus keduanya benar. “Tia adalah penulis atau Tia adalah aktris.” - “Tia perempuan atauTia laki-laki” - Perlu diketahui konteks pembicaraannya!   (c)2001-2003, Michael P. Frank

  20. Topic #1.0 – logika proposisi: Operators Operator Implikasi Hipotesa/anteseden/premis Konklusi/konsekuensi Implikasi p  q menyatakan bahwa p mengimplikasikan q. Jika p benar, maka q benar; tapi jika p tidak benar, maka q bisa benar bisa tidak benar Cth, misalkan p = “Kamu giat belajar.”q = “Kamu akan dapat nilai bagus.” p  q = “Jika kamu giat belajar, maka kamu akan mendapat nilai bagus” (c)2001-2003, Michael P. Frank

  21. Topic #1.0 – logika proposisi: Operators Tabel Kebenaran Implikasi • p  q salah hanya jikap benar tapi q tidak benar • p  q tidak mengatakan bahwa hanya p yang menye- babkan q! • p  q tidak mensyaratkan bahwa p atau qharus benar! • Cth. “(1=0)  kucing bisa terbang” BENAR! Satu-satunya kasus SALAH! (c)2001-2003, Michael P. Frank

  22. Topic #1.0 – logika proposisi: Operators Contoh-contoh implikasi • “Jika saya rajin kuliah hari ini, matahari akan bersinar esok hari” True / False? • “Jika hari ini Selasa, maka saya adalah seekor pinguin.” True / False? • “Jika 1+1=6, Maka SBY adalah presiden.” True / False? • “Jika bulan dibuat dari keju, maka saya lebih kaya dari Bill Gates.” True or False? (c)2001-2003, Michael P. Frank

  23. “p menyebabkan q” “jika p, maka q” “jika p, q” “kalau p, q” “setiap saat p, q” “q jika p” “q ketika p” “q kapanpun p” “p hanya jika q” “p cukup untuk q” “q perlu untuk p” “q mengikuti p” “q disebabkan p” Topic #1.0 – logika proposisi: Operators Makna dari p  q (c)2001-2003, Michael P. Frank

  24. Topic #1.0 – logika proposisi: Operators Converse, Inverse, Contrapositive Beberapa terminologi dalam implikasi p  q: • Converse-nya adalah: q  p. • Inverse-nya adalah: ¬p ¬q. • Contrapositive-nyaadalah: ¬q  ¬p. • Salah satu dari ketiga terminologi di atas memiliki makna yang sama (memiliki tabel kebenaran yang sama) dengan p q. Bisa Anda sebutkan yang mana? Contrapositive (c)2001-2003, Michael P. Frank

  25. Topic #1.0 – logika proposisi: Operators Bagaimana menunjukkannya? Membuktikan eqivalensi antara p  q dan contrapositive-nya dengan tabel kebenaran: (c)2001-2003, Michael P. Frank

  26. Topic #1.0 – logika proposisi: Operators Operator Biimplikasi Operator biimplikasi p q menyatakan bahwa p benar jika dan hanya jika (jikka) q benar p = “SBY menang pada pemilu 2004” q =“SBY akan menjadi presiden mulai tahun 2004.” p q = “Jika dan hanya jika SBY menang pada pemilu 2004 maka dia akan menjadi presiden mulai tahun 2004.” 2004 2005 (c)2001-2003, Michael P. Frank

  27. Topic #1.0 – logika proposisi: Operators Tabel Kebenaran Biimplikasi • p  q benar jika p dan qmemiliki nilai kebenaran yang sama. • Perhatikan bahwa tabelnya adalah kebalikan dari tabel exclusive or ! p  q artinya ¬(p  q) (c)2001-2003, Michael P. Frank

  28. Topic #1.0 – logika proposisi: Operators Ringkasan Operator Boolean (c)2001-2003, Michael P. Frank

  29. Topic #1.0 – logika proposisi: Operators Notasi Alternatif (c)2001-2003, Michael P. Frank

  30. Topic #2 – Bits Operasi Bit • Bit adalah binary (basis 2) digit: 0 atau 1. • Bit dapat digunakan untuk merepresentasikan tabel kebenaran • Sesuai kesepakatan: 0 berarti “false”; 1 berarti “true”. • Boolean algebra sama seperti aljabar biasa hanya saja variabelnya adalah bit, + berarti “or” dan perkalian berarti “and” John Tukey(1915-2000) (c)2001-2003, Michael P. Frank

  31. Topic #2 – Bits String Bit • String bit dengan panjang n adalah barisan n0 bit. • Lebih lanjut mengenai barisan dapat dilihat di §3.2. • Menurut kesepakatan, string bit ditulis dari kiri ke kanan: cth. bit pertama dari “1001101010” adalah 1. • Jika sebuah string bit merepresentasikan bilangan basis 2, maka sesuai kesepakatan, bit pertama adalah the most significant bit. • Contoh: 11012=8+4+1=13. (c)2001-2003, Michael P. Frank

  32. Topic #2 – Bits Menghitung Bilangan Biner • Tahukah Anda bahwa Anda dapat menghitung sampai 1.023 hanya dengan menggunakan dua tangan? • Caranya? Hitung dalam biner!  • Setiap jari (up/down) menunjukkan 1 bit. (c)2001-2003, Michael P. Frank

  33. Topic #2 – Bits Operasi Bitwise • Operasi Boolean dapat diperluas pada string bit seperti pada bit tunggal. • E.g.:01 1011 011011 0001 110111 1011 1111 Bit-wise OR01 0001 0100Bit-wise AND10 1010 1011Bit-wise XOR (c)2001-2003, Michael P. Frank

  34. Anda telah belajar: Proposisi: apa itu? Operator Logika Proposisi Notasi simbolis Ekivalensi dengan bahasa sehari-hari. Makna logis. Tabel kebenaran. Proposisi atomic vs. proposisi majemuk Notasi alternatif Bit dan string bit Next section: §1.2 Ekivalensi proposisi Bagaimana membuktikannya. Akhir dari sub bab §1.1 (c)2001-2003, Michael P. Frank

  35. Topic #1.1 – logika proposisi: Equivalences Ekivalensi Proposisi (§1.2) Dua buah proposisi majemuk yang secara sintaksis (tertulis) berbeda dapat memiliki makna semantik yang sama. Kedua proposisi tersebut dikatakan “ekivalen” Kita akan pelajari: • Aturan dan hukum ekivalensi • Bagaimana membuktikan ekivalensi menggunakan symbolic derivations. (c)2001-2003, Michael P. Frank

  36. Topic #1.1 – logika proposisi: Equivalences Tautologi dan Kontradiksi Tautology adalah proposisi majemuk yang selalu bernilai true tidak peduli apa nilai kebenaran proposisi penyusunnya! Contoh: p  p [Apa tabel kebenarannya?] Kontradiksi adalah proposisi majemuk yang selalu bernilai false tidak peduli apapun! Contoh: p  p [tabel kebenaran?] Proposisi majemuk selain itu disebut contingencies. (c)2001-2003, Michael P. Frank

  37. Topic #1.1 – logika proposisi: Equivalences Ekivalensi Logika Proposisi majemuk p ekivalen dengan proposisi majemuk q, ditulis pq, JIKKAproposisi majemuk pq adalah tautologi. Proposisi majemuk p dan q ekivalen satu sama lain JIKKAp dan q memilili nilai kebenaran yang sama pada semua barisnya di tabel kebenaran (c)2001-2003, Michael P. Frank

  38. Topic #1.1 – logika proposisi: Equivalences Membuktikan ekivalensi dengan Tabel Kebenaran Contoh. Buktikan pq  (p  q). F T T T F T T F F T T F T F T T F F F T (c)2001-2003, Michael P. Frank

  39. Topic #1.1 – logika proposisi: Equivalences Hukum Ekivalensi - Contoh • Identity: pT  p pF  p • Domination: pT  T pF  F • Idempotent: pp  p pp  p • Double negation: p  p • Commutative: pq  qp pq  qp • Associative: (pq)r  p(qr) (pq)r  p(qr) (c)2001-2003, Michael P. Frank

  40. Topic #1.1 – logika proposisi: Equivalences Hukum Ekivalensi lainnya • Distributif: p(qr)  (pq)(pr)p(qr)  (pq)(pr) • De Morgan: (pq)  p  q (pq)  p  q • Trivial tautology/contradiction:p  p  Tp  p  F AugustusDe Morgan(1806-1871) (c)2001-2003, Michael P. Frank

  41. Topic #1.1 – logika proposisi: Equivalences Definisi Operator dengan Ekivalensi Menggunakan ekivalensi, kita dapat mendefinisikan operator dengan operator lainnya • Exclusive or: pq  (pq)(pq)pq  (pq)(qp) • Implikasi: pq  p  q • Biimplikasi: pq  (pq) (qp)pq  (pq) (c)2001-2003, Michael P. Frank

  42. Topic #1.1 – logika proposisi: Equivalences Contoh • Buktikan dengan symbolic derivation apakah • (p  q)  (p  r)  p  q  r. (p  q)  (p  r) [Expand definition of ] (p  q)  (pr) [Defn. of ]  (p  q)  ((p  r)  (p  r)) [DeMorgan’s Law]  (p  q)  ((p  r)  (p  r))  [associative law] cont. (c)2001-2003, Michael P. Frank

  43. Topic #1.1 – logika proposisi: Equivalences Sambungan Contoh (p  q)  ((p  r)  (p  r)) [ commutes]  (q  p)  ((p  r)  (p  r))[ associative]  q  (p  ((p  r)  (p  r))) [distrib.  over ]  q  (((p  (p  r))  (p  (p  r))) [assoc.]  q  (((p  p)  r)  (p  (p  r))) [trivial taut.]  q  ((T  r)  (p  (p  r))) [domination] q  (T  (p  (p  r))) [identity]  q  (p  (p  r)) cont. (c)2001-2003, Michael P. Frank

  44. Topic #1.1 – logika proposisi: Equivalences Akhir Contoh  q  (p  (p  r)) [DeMorgan’s]  q  (p  (p  r)) [Assoc.]  q  ((p  p)  r) [Idempotent]  q  (p  r) [Assoc.]  (q  p)  r [Commut.] p  q  r Q.E.D. (quod erat demonstrandum) (Which was to be shown.) (c)2001-2003, Michael P. Frank

  45. Topic #1 – logika proposisi Review: Logika Proposisi (§§1.1-1.2) • Proposisi atomik: p, q, r, … • Operator Boolean:      • Proposisi majemuk: s : (p q)  r • Ekivalensi:pq  (p  q) • Membuktikan ekivalensi dengan: • Tabel kebenaran. • Symbolic derivations. p q  r … (c)2001-2003, Michael P. Frank

  46. Topic #3 – logika predikat Logika Predikat (§1.3) • Logika Predikat adalah perluasan dari logika proposisi dimana objek yang dibicarakan dapat berupa anggota kelompok. • logika proposisi (ingat kembali) menganggap proposisi sederhana (kalimat) sebagai entitas tunggal • Sebaliknya, logika predikat membedakan subjek dan predikat dalam sebuah kalimat. • Ingat tentang subjek dan predikat dalam kalimat? (c)2001-2003, Michael P. Frank

  47. Topic #3 – logika predikat Penerapan logika predikat Merupakan notasi formal untuk menuliskan secara sempurna definisi, aksioma, teorema matematika dengan jelas, tepat dan tidak ambigu pada semua cabang matematika. Logika predikat dengan simbol-simbol fungsi, operator “=”, dan beberapa aturan pembuktian cukup untuk mendefinisikan sistem matematika apapun, dan juga cukup untuk membuktikan apapun yang dapat dibuktikan pada sistem tersebut. (c)2001-2003, Michael P. Frank

  48. Topic #3 – logika predikat Penerapan praktis • Merupakan basis untuk mengekspresikan spesifikasi formal untuk sistem kompleks apapun dengan jelas • Merupakan basis untuk automatic theorem provers dan sistem cerdas lainnya • Didukung oleh beberapa database query engines canggih dan container class libraries (c)2001-2003, Michael P. Frank

  49. Topic #3 – logika predikat Subjek dan Predikat • Pada kalimat “Kucing itu sedang tidur”: • frase “kucing itu” merupakan subjek kalimat • frase “sedang tidur” merupakan predikat kalimat- suatu properti yang bernilai TRUE untuk si subjek (objek pelaku) • dalam logika predikat, predikat dimodelkan sebagai sebuah fungsi P(·) dari objek ke proposisi. • P(x) = “x sedang tidur” (x adalah sembarang objek). (c)2001-2003, Michael P. Frank

  50. Topic #3 – logika predikat Lebih jauh tentang Predikat • Konvensi: varibel huruf kecil x, y, z... Menyatakan objek/entitas; variabel huruf besar P, Q, R… menyatakan fungsi proposisi (predikat). • Perhatikan bahwa hasil dari menerapkan sebuah predikat P kepada objek xadalah sebuah proposisiP(x). Tapi predikat Psendiri (e.g. P=“sedang tidur”) bukan sebuah proposisi • Contoh: jika P(x) = “x adalah bilangan prima”,P(3) adalah proposisi “3 adalah bilangan prima.” (c)2001-2003, Michael P. Frank

More Related