Download
1 / 8
100 likes | 339 Views
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. Permutace. VY_32_INOVACE_M4r0106. Mgr. Jakub Němec. Permutace. Permutace je jedním z kombinatorických úkonů, který nám pomáhá určit, kolik možných n - tic lze sestavit z n prvků.
E N D
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika Permutace VY_32_INOVACE_M4r0106 Mgr. Jakub Němec
Permutace • Permutace je jedním z kombinatorických úkonů, který nám pomáhá určit, kolik možných n-tic lze sestavit z n prvků. • U této operace nám záleží na pořadí prvků. Nejjednodušší bude, když si danou situaci uvedeme na příkladu: • Adam, Jirka a Tonda chtějí sedět vedle sebe. Kolik máme možností, jak je posadit? • AJT, ATJ, TAJ, TJA, JTA, JAT – tedy šest • Pro čtyři osoby by počet možností vzrostl na 24, pro pět osob na 120 atd. • Permutace nám pomáhají takovéto úlohy řešit na základě jednoduchého výpočtu.
Permutace – definice a vzorec • Definice permutace vychází z výše uvedeného, tedy: • Permutace z n prvků je uspořádaná n-tice sestavená z těchto prvků tak, že každý se v ní vyskytuje právě jednou. • V překladu: Kolik různých pětic v lavici lze vytvořit z pěti lidí apod. • Počet všech permutací z n prvků (značíme P(n)) je: , kde , jak již víme z problematiky věnující se faktoriálům. • Principy permutací si ukážeme v následujících příkladech.
Ve třídě je sedm kamarádů, kteří rádi hrají šipky.a) Kolik různých pořadí v házení mohou vytvořit?b) Kolik různých pořadí v házení mohou vytvořit, když Karel chce házet před Víťou? c) Kolik různých pořadí v házení mohou vytvořit, když Karel chce házet těsně před Víťou? V prvním případě je jasné, že pro pořadí kamarádů nemáme žádné omezení a že záleží na pořadí, v jakém budou házet. Řešení vyplývá přímo z definice permutace, řešit problém však můžeme pomocí kombinatorického pravidla součinu. V druhém případu je nutné si uvědomit, že případů, kdy je Víťa před Karlem, je stejný počet jako v opačném případě. Proto je výsledkem polovina všech permutací. U posledního případu můžeme dvojici Karel – Víťa počítat jako jeden prvek, protože budou následovat vždy za sebou, proto se zmenší počet prvků permutace na šest.
Určete počet všech desetimístných čísel, v nichž se vyskytují všechny číslice. V tomto příkladu je nutné si uvědomit, že na prvním místě dekadického zápisu nemůže být nula, protože by číslo nebylo desetimístné. Určíme tedy počet všech možností i s nulou. Poté zjistíme všechny 9-tice, které jsou tvořeny číslicemi od jedničky do devítky. Tento počet následně odečteme od prvního výsledku, čímž odečteme všechny možnosti, kdy by byla nula na prvním místě. Příklad lze řešit i pomocí kombinatorického pravidla součinu.
Všechny tři příklady vedou k jednoduchým rovnicím s faktoriálem. U první úlohy je zřejmé, že stačí objevit přirozené číslo, které lze dosadit za n. Druhý příklad musíme nejdříve převést na rovnici. Tu upravíme tak, aby zmizel faktoriál. Poté je již zřejmé, že 110 lze rozložit na součin dvou po sobě jdoucích činitelů. Třetí příklad se řeší obdobně, záleží pouze na správném sestavení rovnice. Samozřejmě lze druhý i třetí příklad řešit pomocí rovnic. Určete počet prvků n, když víte, že: a) počet permutací těchto prvků je roven 5040. b) při zvýšení prvků o dva se počet permutací zvýší 110-krát. c) při zmenšení prvků o dva se počet permutací zmenší 42-krát.
Úkol závěrem • 1) Ve skupině jsou tři dívky a tři chlapci. Kolik možností pro vytvoření šestistupu mají, když: • a) nejsou omezeni žádnou podmínkou? • b) vlevo má stát dívka? • c) mají stát na „střídačku“? • d) když Karel chce stát vedle Pavly? • 2) Určete počet prvků n, když víte, že: • a) počet permutací n prvků je 40320. • b) při zvýšení prvků o tři se počet permutací zvýší 210-krát. • c) při snížení prvků o dva se počet permutací sníží 72-krát.
Zdroje • Literatura: • Calda, Emil; DUPAČ, Václav. Matematika pro gymnázia: Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. Dotisk 4. vydání. Praha: Prometheus, 2003, 170 s. ISBN 987-80-7196-362-2. • Schémata byla tvořena v programu Malování, který je součástí operačního systému Windows.
