1 / 70

BAB VII INTEGRAL TAK TENTU

BAB VII INTEGRAL TAK TENTU. 7.1 Anti turunan dan integral tak tentu Pada bab terdahulu kita telah membahas turunan dari suatu fungsi , yaitu jika dikatahui f(x) maka proses differensiasi dari f(x) akan menghasilkan turunan f(x) dan ditulis dengan f’(x).

lea
Download Presentation

BAB VII INTEGRAL TAK TENTU

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. BAB VII INTEGRAL TAK TENTU

  2. 7.1 Anti turunandan integral taktentu Padababterdahulukitatelahmembahasturunandarisuatu fungsi, yaitujikadikatahui f(x) makaprosesdifferensiasi dari f(x) akanmenghasilkanturunan f(x) danditulisdengan f’(x). • Padababinikitaakanmembahaskebalikandariprosesdifferensiasiataulebihdikenaldenganprosesintegrasi . • Jikapadaprosesdifferensiasimenghasilkanturunanmaka • padaprosesintegrasiakanmenghasilkan anti turunan. Misaldiketahuifungsi f makaprosesintegrasiadalahprosesmenentukan F(x) sedemikianrupasehingga F’(x) = f(x). F(x) dinamakan anti turunandari f(x).

  3. Sebagaicontoh F(x) = x3adalah anti turunan f(x) = 3x2 , karena , Akantetapimasihterdapatbanyak anti turunandari x3, seperti x3 + 1, x3 + , x3 – e dll. Jadidapatdisimpulkanbahwasetiap (x3 + bilangankonstan) merupakan anti turunan ( disebutjuga primitif ) dari 3x2. Jikabilangankonstankitalambangkan dengan C maka anti turunandari 3x2adalah x3 + C. • Prosesuntukmenentukan anti turunandari f(x) disebutprosesintegrasidanditulisdalambentuk,

  4. Simbol “∫”disebuttanda integral danpersamaan 7.1 dibaca “integral taktentudari f(x) terhadap x adalah F(x) ditambah bilangankonstan”. f(x) adalahintegran, F(x) + C adalah anti turunandari f(x), C adalahkonstantaintegrasi, sedangkan faktordxmenunjukkanbahwapeubahintegrasiadalah x. 7.2 Rumus-rumus integral taktentu

  5. V. Rumus-rumusteknis Berikutdiberikanrumus-rumusteknik integral yang bersifat standardandapatdipakailangsunguntukmenentukan anti turunan (primitif) darisuatufungsi.

  6. Contoh 7.1 Selesaikan Penyelesaian

  7. Contoh 7.2 Penyelesaian Contoh 7.3

  8. 7.3 Integrasidengansubstitusi Rumus-rumus integral taktentu yang telahdijelaskanpada pasal 7.2 hanyadapatdigunakanuntukmengevaluasi integral- integral darifungsi yang sederhanasaja. • Sehinggatidakdapatdigunakanuntukmengevaluasi integral seperti ∫ dxatau ∫sin3x dx. Padapasalinikitaakanmenggunakanmetodeuntukmngubah variabeldariintegran agar menjadibentukstandar. • Dari rumusterdahulutelahdiketahuibahwa, Jika h(x) adalahfungsikomposisiFog maka h(x) = F(g(x)). • Sehingga,

  9. (*) Jika u = g(x)  du = g’(x)dx (**) • Substitusi (*) ke (**) didapat,

  10. Contoh 7.4 Penyelesaian • Misal u = 1–2x  du = –2 dx Contoh 7.5 Penyelesaian

  11. Misal u = x2 – 1  du = 2x dx • 7.4 Integrasibagiandemibagian (Integration by parts) Dalammengevaluasi integral sering kali kitamenjumpaiintegran dalambentukperkalianfungsi-fungsi. Salahsatuteknikuntuk mengevalusai integral tersebutadalahdenganmenggunakan teknikintegrasibagiandemibagianatauseringjugadigunakan istilah integral parsial. Padasaatkitamempelajariturunan, kitatelahmengetahuibahwa,

  12. Misal u = g(x) dan v = h(x) Persamaan 7.3 digunakanuntukmenyelesaikan integral bagian demibagianatau integral parsial. Dalammembuatpermisalan u, biasanyakitatentukanprioritas- prioritas agar penyelesaianmenjadilebihsederhana. Prioritastersebutadalahsebagaiberikut. • i) ln x • ii) xn n = bilanganbulatpositif • iii) ekx

  13. Contoh 7.6 Penyelesaian Misal u = x  du = dx v = ex dv = ex Contoh 7.7 • Penyelesaian • Misal u = ln2x dv= (x-1)dx

  14. Contoh 7.8 Penyelesaian Misal u = x2 dv = sinxdx du = 2x dx v = –cosx

  15. Misal u = 2x dv = cosxdx du = 2 dx v= sin x = 2x sinx + 2 cosx +C (**)

  16. Substitusi (**) ke (*) didapat Contoh 7.9 Penyelesaian : Misal u = ex dv = cosxdx du = ex dx v = sinx

  17. Misal u = ex dv = sinxdx du = ex dx v = –cos x Substitusi (**) ke (*) didapat,

  18. 7.5. Integrasifungsipecah Fungsipecahadalahfungsirasional yang mempunyaibentuk P(x)/Q(x), dimana P(x) dan Q(x) adalahpolinomialdan Q(x)  0. • Dalambentukrumusfungsipecahdapatditulisdalambentuk,

  19. Jika ∫f(x)dxtidakdapatdiselesaikandenganmetodesubstitusi, makagunakanmetodepecahanparsial. Langkah-langkah yang dapatdigunakanadalahsebagaiberikut: • 1. Periksaderajad P(x) dan Q(x). Jikaderajad P(x) lebihbesar • dariderajad Q(x) makacarihasilbagi P(x)/Q(x). Jikaderajad P(x) lebihkecildari Q(x) makalangsungkenomor 2. 2. Faktorkan Q(x) • a. Untukfaktoraxnpecahanparsialnyaditulisdalam • bentuk, • b. Untukfaktor (ax+b)npecahanparsialnyaadalah,

  20. c. Untukfaktor (ax2+bx+c)n pecahanparsialnyaadalah, Koeffisien-koeffisien A1 , A2 , A3 , … , Andapatdiganti dengan A, B, C dst. Contoh 7.10 • Penyelesaian Karenaderajad P(x) lebihkecildariderajad Q(x) maka faktorkan Q(x).

  21. Untukmenentukannilai A, B, dan C, bandingkanpembilang • pada (**) denganpembilangpadasoal, sehinggadidapat, • A+B+C = 1 • –A+2B-3C = 5 • –6A = –12 • Tigapersamaantersebutmenghasilkan • A = 2 ; B = 4/5 ; C = -9/5

  22. Denganmemasukkanharga A, B dan C ke (*) makadidapat, Selesaikan Contoh 7.11 • Penyelesaian

  23. Karenaderajad P(x) lebihtinggidariderajad Q(x) makalakukan pembagian. x + 1 x4 + 7x3 + 12x2– 10x – 7 x3 + 6x2 + 5x – 12 x4 + 6x3 + 5x2 – 12x x3 + 7x2 + 2x – 7 x3 + 6x2 + 5x – 12 x2 – 3x + 5

  24. 7.6. Integrasifungsitrigonometri 7.6.1 Integrasifungsisinu, cosu, tanu, cotu, secudancscu Bukti

  25. Bukti Bukti

  26. Bukti Bukti

  27. Bukti

  28. 7.6.2 Integrasifungsisinmudancosmu Langkahuntukmenyelesaikan∫sinmu du dan∫cosmu du adalahsebagaiberikut.

  29. Jika m adalahbilanganbulatpositifganjil yang lebihbesardarisatu, makasinmuditulisdalambentuk sinm-1 u sin u • Sedangkancosm u ditulis cosm-1 u cos u. • Selanjutnyagunakanidentitastrigonometri, • sin2u + cos2u = 1 danmetodesubstitusi • 2. Jika m adalahbilanganbulatpositifgenap yang lebihbesardaridua, makasinmuditulisdalambentuk (sin2 u)m/2 . • Sedangkancosm u ditulis (cos2 u)m/2 . • Selanjutnyagunakanidentitastrigonometri, Contoh 7.12

  30. Contoh 7.12 Penyelesaian Misal u = cosx –du = sinxdx

  31. Contoh 7.13 Penyelesaian Misal u = sinx du = cosxdx

  32. Contoh 7.14 Penyelesaian

  33. Contoh 7.15 Penyelesaian

  34. 7.6.3 Integrasifungsitrigonometrisinmucosnu Untukmenyelesaikan integral yang mengandung integransinm u cosnuberikutdiberikanlangkah- langkahpenyelesaian. • 1. Jika m adalahbilanganbulatganjil 3, maka c. Lakukansubstitusi u = cosx 2. Jika n adalahbilanganbulatganjil 3, maka c. Lakukansubstitusi u = sinx

  35. 3. Jika m dan n adalahbilangangenap 2, maka b. Gunakanidentitastrigonometri, Contoh 7.16 Penyelesaian Misal u = cosx –du = sinxdx

  36. Contoh 7.17 Penyelesaian

  37. 7.6.4 Integrasifungsitrigonometritanm u secnu Untukmenyelesaikan integral yang mengandungintegran tanmusecnuberikutdiberikanlangkah-langkahpenyelesaian • 1. Jika m adalahbiilanganbulatganjil3, maka c) Lakukansubstitusi u = sec x

  38. 2. Jika n adalahbilanganbulatgenap 2, maka : a) tanm x secn x ditulisdalambentuk tan mx secn-2x sec2x • b) Gunakanidentitastrigonometri sec2x = tan2x + 1 • c) Lakukansubstitusi u = tanx • Jika m adalahbilangangenapdan n adalahbilanganganjil, • berkemungkinanmetode yang digunakanadalah integral • parsial Contoh 7.18 Penyelesaian

  39. Misal u = sec x du = secxtanxdx Jadi 7.7. Integrasifungsitrigonometriinvers

  40. Bukti dw = du w = u Gunakanrumus integral parsial ∫v dw=vw – ∫w dv Contoh 7.19 Penyelesaian

  41. Bukti dw = du w = u Gunakanrumus integral parsial ∫v dw=vw – ∫w dv

  42. Bukti

  43. Bukti Bukti

  44. Bukti

  45. 7.8 Integrasidengansubstitusitrigonometri • 7.8.1 Integrasifungsiirrasional Langkahawaluntukmenyelesaikan integral fungsi irrasionaladalahdengan mengu8bah integran yang berbentukirrasionalmenjadirasional. Biasanyauntuk mencapaihaltersebutkitalakukansubstitusitrigonometri. • Padapasaliniakandibahasbeberapafungsiirrasional.

  46. Bukti Dari gambardisampingdidapat a x a sinu = x  a cos u du = dx u

More Related